半导体物理与器件 第四章2

与此类似，当我们将费米－ 与此类似，当我们将费米－狄拉克分布几率用于受主 杂质能级时，则有： 杂质能级时，则有：
Na为受主杂质的浓度，pa为占据受主能级的空穴浓度， 为受主杂质的浓度， 为占据受主能级的空穴浓度， Ea为受主杂质能级， Na为离化的受主杂质浓度， ga为 为受主杂质能级， 为离化的受主杂质浓度， 受主能级的简并度，对于硅和砷化镓材料来说通常为4 受主能级的简并度，对于硅和砷化镓材料来说通常为 在具体的应用中， 在具体的应用中，我们往往对电离的杂 质浓度更感兴趣， 质浓度更感兴趣，而不是未电离的部分
− ( Ec − EFi ) ni = N c exp kT ( EF − EFi ) n0 = ni exp kT − ( EF − EFi ) p0 = ni exp kT
同样地： 同样地：
EF>EFi 电子浓度超 过本征载流子浓度； 过本征载流子浓度； EF<EFi 空穴浓度超 过本征载流子浓度
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发生简并的条件 大量掺杂 温度的影响（ 温度的影响（低温简 并） 简并系统的特点： 简并系统的特点： 杂质未完全电离 杂质能级相互交叠分 裂成能带， 裂成能带，甚至可能 与带边相交叠。 与带边相交叠。杂质 上未电离电子也可发 生共有化运动参与导 电。
从费米积分曲线上可以看出当η 从费米积分曲线上可以看出当 F<-2时 时 为直线， 为直线，即玻尔兹曼近似成立
*
3/ 2
∫
∞
0
η 1/ 2 dη 1 + exp (η − η F )
费米——狄拉克积分 狄拉克积分 费米
F1/ 2(ηF ) = ∫
∞
0
η 1/ 2 dη 1 + exp (η − η F )
注意当η 注意当 F>0时，实际上意味着费米能级已经进入到导带中（简并）。 时 实际上意味着费米能级已经进入到导带中（简并）。 P91给出了费米积分曲线，利用它可以计算费米积分。 给出了费米积分曲线，利用它可以计算费米积分。 给出了费米积分曲线 例4.6（E4.8）给出了一个用费米积分计算出的电子浓度。 （ ）给出了一个用费米积分计算出的电子浓度。 小于用玻尔兹曼近似计算值 典型的简并半导体电子浓度
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与此类似，热平衡状态下的空穴浓度也可以表示为： 与此类似，热平衡状态下的空穴浓度也可以表示为：
其中： 其中：
可见， >0时 可见，当η’F>0时，实际上也就意味着费米能级已 经进入到价带中。 经进入到价带中。
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简并与非简并半导体
的推导过程中，使用了玻尔兹曼假设， 在n0、p0的推导过程中，使用了玻尔兹曼假设，该假 设只能处理非简并系统。而当导带电子（价带空穴） 设只能处理非简并系统。而当导带电子（价带空穴） 浓度超过了状态密度N 浓度超过了状态密度 c（Nv）时，费米能级位于导带 价带）内部，称这种半导体为n（ ）型简并半导体。 （价带）内部，称这种半导体为 （p）型简并半导体。
该公式可推广
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费米－ 费米－狄拉克积分
在我们前面推导电子浓度n 和空穴浓度p 的过程中， 在我们前面推导电子浓度 0和空穴浓度 0的过程中，我们 都假设了玻尔兹曼近似成立的条件， 都假设了玻尔兹曼近似成立的条件，如果不满足玻尔兹曼 近似条件，则热平衡状态下的电子浓度必须表示为： 近似条件，则热平衡状态下的电子浓度必须表示为：
室温条件下n型半导体和 型半导体中杂质的完全电离状态 室温条件下 型半导体和p型半导体中杂质的完全电离状态 型半导体和
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绝对零度时E 位于E 之间， 绝对零度时 F位于 c和Ed之间，杂质原子处于完全未 电离态， 电离态，称为束缚态
的结果表明， 度的低温条件下， 例4.8的结果表明，即使在零下 的结果表明 即使在零下100度的低温条件下，仍然有 度的低温条件下 90%的受主杂质发生了电离。这表明完全电离假设在常温条件 的受主杂质发生了电离。 的受主杂质发生了电离 附近是近似成立的。 附近是近似成立的。
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§4.3 非本征半导体 非本征半导体：掺入定量的特定的杂质原子（ 非本征半导体：掺入定量的特定的杂质原子（施 主或受主）， ），从而热平衡电子和空穴浓度不同于 主或受主），从而热平衡电子和空穴浓度不同于 本征载流子浓度的半导体材料。 本征载流子浓度的半导体材料。
掺入的杂质原子会改变电子和空穴的分布。 掺入的杂质原子会改变电子和空穴的分布。费米能级 偏离禁带中心位置。 偏离禁带中心位置。 掺入施主杂质， 掺入施主杂质，杂质电离形成导带电子和正电中心 施主离子），而不产生空穴（实际上空穴减少）， ），而不产生空穴 （施主离子），而不产生空穴（实际上空穴减少）， 因而电子浓度会超过空穴，我们把这种半导体叫做n型 因而电子浓度会超过空穴，我们把这种半导体叫做 型 半导体； 型半导体中， 半导体；在n型半导体中，电子称为多数载流子，相应 型半导体中 电子称为多数载流子， 空穴成为少数载流子。 空穴成为少数载流子。 相反，掺入受主杂质，形成价带空穴和负电中心（ 相反，掺入受主杂质，形成价带空穴和负电中心（受 主离子），空穴浓度超过电子， 型 多子为空穴。 ），空穴浓度超过电子 主离子），空穴浓度超过电子，p型，多子为空穴。
有效掺杂浓度少数载流子浓度应当根半导体物理与器件不同掺杂水平下半导体中多子与少子的数量差别半导体物理与器件杂质原子不仅仅增加了多数载流子浓度而且还减少了少数载流子浓度半导体物理与器件高温下的载流子浓度由于本征载流子浓度n是温度的强函数因而随着温度的增加n迅速增大而使得本征激发载流子浓度超过杂质载流子浓度这将导致半导体的掺杂效应弱化或消在一个施主杂质浓度为514cm3的半导体材料中电子浓度随着温度的变化关系如下图所示当温度由绝对零度不断升高时图中曲线分别经历了杂质冻结区杂质部分离化区杂质完全离化区非本征激发区和本征激发区
nd nd + n0
T =0
=
1 = 1 绝对零度时，所有施主杂质 绝对零度时， − ( Ec − Ed ) Nc 能级都被电子所占据， 能级都被电子所占据，导带 1+ exp 无电子。 无电子。 2Nd kT
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§4.5 掺杂半导体的载流子浓度
前边讨论了本征半导体的载流子浓度； 前边讨论了本征半导体的载流子浓度；讨论了施主杂质和 受主杂质在半导体中的表现。 受主杂质在半导体中的表现。定性的给出了杂质在不同温 度下的电离情况， 度下的电离情况，并且定性的知道了载流子浓度和掺杂水 平的相关性。 平的相关性。这节我们要具体推导掺杂半导体的载流子浓 度和掺杂的关系。 度和掺杂的关系。
抬高费 米能级 施主杂质 施主杂质 降低费 米能级 施主杂质
Ec Ed
Ev
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载流子浓度n 的公式： 载流子浓度 0和p0的公式： 只要满足玻尔兹曼近似条件， 只要满足玻尔兹曼近似条件，该公式即可成立
− ( Ec − EF ) n0 = N c exp kT − ( EF − Ev ) p0 = N v exp kT
− ( Ed − E F ) 2 N d exp kT nd = nd + n0 − ( Ed − E F ) − ( Ec − EF ) 2 N d exp + N c exp kT kT 1 = − ( Ec − Ed ) Nc − ( Ec − Ed ) − ( Ed − E F ) exp exp 1+ exp kT kT 2Nd kT
n0 p0 = ni = Nc Nve
2
− E g / kT
只要满足玻尔兹曼近似条件， 只要满足玻尔兹曼近似条件，n0p0的乘积亦然为本征载流子浓度 和材料性质有关，掺杂无关）的平方。（ 。（虽然在这里本征载流 （和材料性质有关，掺杂无关）的平方。（虽然在这里本征载流 子很少） 子很少） 直观地说明了费米能级的移动， 例4.5直观地说明了费米能级的移动，对载流子浓度造成的影响： 直观地说明了费米能级的移动 对载流子浓度造成的影响： 费米能级抬高了约0.3eV，则电子浓度变为本征浓度的 费米能级抬高了约 ，则电子浓度变为本征浓度的100000倍， 倍 空穴浓度的100000000000倍。 空穴浓度的 倍
n0 = 4π ( 2mn h
3 * 3/ 2
)
∫∞( E − E ) E − EF 1 + exp kT
Ec
dE
仍然做变量代换
并且定义： 并且定义：
E − Ec η= kT
EF − Ec ηF = kT
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载流子浓度公式变为： 载流子浓度公式变为：
2mn kT n0 = 4π 2 h
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掺入受主杂质， 掺入受主杂质，费米 能级向下（价带） 能级向下（价带）移 动，导带电子浓度减 少，空穴浓度增加
过程： 过程：价带电子热激发到 受主能级产生空穴， 受主能级产生空穴，增加 空穴浓度； 空穴浓度；导带电子跃迁 到受主能级减少导带电子 浓度； 浓度；受主原子改变费米 能级位置， 能级位置，导致重新分布
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§4.4 施主和受主的统计学分布
我们在前边提到，费米－ 我们在前边提到，费米－狄拉克几率分布函数能够成立 的前提条件是满足泡利不相容定律， 的前提条件是满足泡利不相容定律，即一个量子态上只 允许存在一个电子， 允许存在一个电子，这个定律同样也适用于施主态和受 主态。我们将费米－狄拉克分布几率用于施主杂质能级， 主态。我们将费米－狄拉克分布几率用于施主杂质能级， 则有： 则有：
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载流子浓度n 的另一种表达方式： 载流子浓度 0、p0的另一种表达方式：
− ( Ec − EFi ) + ( EF − EFi ) − ( Ec − EFi ) ( EF − EFi ) n0 = N c exp = N c exp exp kT kT kT
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掺入施主杂质， 掺入施主杂质，费米能级 向上（导带）移动， 向上（导带）移动，导带 电子浓度增加， 电子浓度增加，空穴浓度 减少 过程： 过程：施主电子热激发跃 迁到导带增加导带电子浓 度；施主电子跃迁到价带 与空穴复合， 与空穴复合，减少空穴浓 度；施主原子改变费米能 级位置， 级位置，导致重新分布
此时对于导带电子来说， 此时对于导带电子来说，波尔兹曼假设成立 Ed-EF>>kT
− ( Ec − EF ) n0 = N c exp kT
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则占据施主能级的电子数和总的电子数（ 则占据施主能级的电子数和总的电子数（导带中和施 主能级中）的比值为： 主能级中）的比值为：
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补偿半导体： 补偿半导体：同时施有施主掺杂和受主掺杂的半导体称为 补偿半导体。 补偿半导体。
补偿的涵义： 补偿的涵义： 电子 施主杂质 空穴
本征电子 n0 施主电子 Ec 未电离施主 未电离受主 Ed Ea Ev 本征空穴 p0 受主空穴 电离施主N 电离施主 d+ 电离受主N 电离受主 a-
其中g 为施主电子能级的简并度，通常为2。 其中 d为施主电子能级的简并度，通常为 。 Nd为施主杂质的浓度，nd为占据施主能级的电子浓度， 为施主杂质的浓度， 为占据施主能级的电子浓度， Ed为施主杂质能级， Nd＋为离化的施主杂质浓度。 为施主杂质能级， 为离化的施主杂质浓度。
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Nc在1019左右，而Ec-Ed为杂质电离能，几十 左右， 为杂质电离能，几十meV，则指数项的数量级 ， 的情况下， 为1/e，因而在掺杂浓度不高（<1017)的情况下，杂质完全电离。例4.7 ，因而在掺杂浓度不高（ 的情况下 杂质完全电离。
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同样，对于掺入受主杂质的 型非本征半导体材料来说 型非本征半导体材料来说， 同样，对于掺入受主杂质的p型非本征半导体材料来说， 在室温下，对于10 在室温下，对于 16cm-3左右的典型受主杂质掺杂浓 度来说，其掺杂原子也已经完全处于离化状态。 度来说，其掺杂原子也已经完全处于离化状态。
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完全电离和束缚态
Nd nd = = Nd − Nd + 1 Ed − EF 1 + exp 2 kT
− ( Ed − EF ) Nd nd = = 2 N d exp Ed − E F 1 kT exp kT 2