九年级人教版数学第二学期第27章相似三角形整章知识详解

=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′.
A′
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
B′
C′
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
A
∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB
又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA
A
D
E
∵ DE∥BC，
A
D
E ∴ △ADE∽△ABC.
B
C
B
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
九年级数学第27章相似三角形
A
三边对应成
A′
比例
B
C
B′
C′
A' B' B'C' A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A′B′C′？
九年级数学第27章相似三角形
已知:如图△ABC和△A′B′C′中A′B′:AB
成的三角形与原三角形相似.
九年级数学第27章相似三角形
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所得 的三角形与原三角形___相__似___.
“A”型 A
D
E
“X”型
D
E
O
B
C
（图1）
B
（图2）
C
九年级数学第27章相似三角形
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
图中共有__3__对相似三角形.
AB∥EF
△AOB∽△FOE
AB∥CD
△AOB∽△DOC
EF∥CD
△EOF∽△COD
A E C
B O
F
D
九年级数学第27章相似三角形
1.（滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB 外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作 MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为 152cm .
E
118°
18cm
24cm
78° 83°
B
CF
α
G
九年级数学第27章相似三角形
解析：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等.
由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118° 在四边形ABCD中， ∠β＝360°－（78°＋83°＋118°）＝81°.
21cm D A
β
18cm
78° 83°
观察下列图形，哪些是相似图形？
？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸⑹
(7) (12)
(8)
(9)
？ (10)
(11)
(13)
(14)
九年级数学第27章相似三角形
观察下面的图形(a)～(g),其中哪些是与图形(1)、(2)、 （3）相似的？
九年级数学第27章相似三角形
ABDF
九年级数学第27章相似三角形
选一选
下列图形中_(_1_)_与__(_4_) _是相似的.
对于四条线段，a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们 长度的比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)， 我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.
九年级数学第27章相似三角形
【例1】 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的
大小和EH的长度x.
x
H
21cm D
A
β
B
C
x
H
E 118°
24cm
α
F
G
九年级数学第27章相似三角形
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边的比相等．
由此可得
EH AACD

EF AB
，即
x 21

24 18
解得 x＝28（cm）
H x
21cm D
A
β
E 118°
24cm
18cm
B
78°
83° C
F
α G
九年级数学第27章相似三角形
相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
AB AC
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AC BC
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几
何图形不相似的是（ D ）
九年级数学第27章相似三角形
4.在比例尺为1：10 000 000的地图上，量得甲、乙 两地的距离是30cm，求两地的实际距离.
解析：设两地的实际距离为xcm
1 30 10000000 x
x = 300000000(cm) x = 3000千米
的相似比为 1 . k
九年级数学第27章相似三角形
如果∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F， AB AC BC k DE DF EF
即对应角相等对应边的比相等我们说△ABC与△DEF相似，
记作 △ABC∽△DEF， △ABC和△DEF的相似比为k，
△DEF与△ABC的相似比为 1 .
答：甲、乙两地的实际距离为3000千米.
九年级数学第27章相似三角形
5. 如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、 c、d
的长度．
cd
6 9
35 2
b
a
7.5
【解析】由图所示， 可知两图形的相似比为: 5 2 7.5 3
３ｂ＝３ ２ b = 4.5
c2 63
c=4
22 a3
a=3
d 2 93
D
H l3
（2）
九年级数学第27章相似三角形
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的
对应线段的比相等.
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线”. ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字.
强化“对应”两字理解和记忆如图
AB EF BD FH
左上 右上 (左下 右下)
BD FH AB EF
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
九年级数学第27章相似三角形
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
C E
解析: (1) DE ∥ BC
对应边的比相等
对于图（2）中的两个相似的正六边形，你是否也能得到 类似的结论？
能
对应角相等 对应边的比相等
A1
A
B
C B1
C1
(1)
(2)
九年级数学第27章相似三角形
图（1）是两个相似的三角形，它们的对应角有什么关系？ 对应边的比是否相等？ 对应角相等 对应边的比相等 对于图（2）中两个相似的四边形，它们的对应角、对应边 是否有同样的结论？ 有 对应角相等 对应边的比相等
EB
l2
BC EF
F
C
l3
九年级数学第27章相似三角形
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例.
l l

D l1
D
E l2
A
l2
B
C
l3
B
C l3
九年级数学第27章相似三角形
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
如图矩形草坪长20m,宽10m,沿草坪四周有1m宽的环形小路,小路内外边缘所成 的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似?
A E
F B
D H 22 12
20 10
∴不相似
G C
九年级数学第27章相似三角形
1．（德化中考）下列各组线段（单位：㎝）中，
成比例线段的是（ B ）
A.1、2、3、4
B.1、2、2、4
△ADE∽△ABC
∠AED=∠ACB=40°.
A
DB
在△ADE中, ∠ADE=180°-40°-45°=95°.
（2） △ADE∽△ABC
AE DE ,即 50 DE .
AC BC 50 30 70 所以, DE 50 70 43.75(cm).
50 30
九年级数学第27章相似三角形
1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相 似，理解相似图形概念； 2.理解相似图形的性质和判定.
九年级数学第27章相似三角形
九年级数学第27章相似三角形
九年级数学第27章相似三角形
九年级数学第27章相似三角形
九年级数学第27章相似三角形
请观察下面几组图片 你能发现它们有什么特点吗?
形状相同，大小不一定相同
通过本节课的学习，需要掌握 1.平行线分线段成比例定理及其推论的应用. 2.判定三角形相似的方法.
九年级数学第27章相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时
A
D
E
B
C
九年级数学第27章相似三角形
1.理解定理“平行于三角形一边的直线与其他两边(或 延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似”，“三 边对应成比例的两个三角形相似”； 2.培养学生与他人交流、合作的意识.
左下 右下 (左上 右上)
ab
AE
l1
B
F l2
D
H l4
九年级数学第27章相似三角形
如图l1∥l2∥l3 ，试根据图形写出成比例线段.
AB DE BC EF AC DF AB DE
BC EF AB DE BC EF AC DF
AB DE AC DF
b D
a A
l1
AC DF
九年级数学第27章相似三角形
第27章相似三角形
九年级数学
九年级数学第27章相似三角形
目录
1、图形的相似 2、相似三角形的判定（共4课时） 3、相似三角形的应用 4、相似三角形的周长与面积 5、位似图形
九年级数学第27章相似三角形
第二十七章 相似
27.1 图形的相似
九年级数学第27章相似三角形
k
D
判定两个三角形相似时，是
A
否存在简便的判定方法呢？
E
F
B C
九年级数学第27章相似三角形
问题 如图l1∥l2 ∥ l3，你能否发现在两直线a，b上截得的
线段有什么关系？
通过计算可以得到：
AB EF BD FH
AB EF AD EH
BD FH AD EH
ab
A B
E F l1
l2
AD EH 等等 由此可得到： BD FH
(1)
(2)
(3) (4)
九年级数学第27章相似三角形
将下列图形分成四块，使它们的大小、形状完全 相同，且与原图形相似,你会分吗？怎样分？
a 2a
a 2a
九年级数学第27章相似三角形
图（1）中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观察 这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边呢？
对应角相等
九年级数学第27章相似三角形
2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_:_4__. A
D E
F B
G H I
C
九年级数学第27章相似三角形
3.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点Ｏ， 则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.
d=6
九年级数学第27章相似三角形
1. 经过这节课的学习，你有哪些收获？ 2. 你想进一步探究的问题是什么？
九年级数学第27章相似三角形
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时
九年级数学第27章相似三角形
1.理解平行线分线段成比例定理； 2.知道当△ABC与△DEF的相似比为k时，△DEF与△ABC
D
E
∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC B
C
九年级数学第27章相似三角形
A A′
B
B′ C
C′
A' B' B'C' A'C' AB BC AC
C.3、5、9、13
D.1、2、2、3
九年级数学第27章相似三角形
2．（南平中考）下列说法中，错误的是( C )
A．等边三角形都相似
B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似
D．正方形都相似
3.（烟台中考）手工制作课上，小红利用一些花布的边
角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等
边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边框，其中，每个图案花
(1)
(2)
九年级数学第27章相似三角形
相似多边形的性质: 相似多边形对应角相等,对应边的比相等. 相似多边形的判断方法: 若两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等， 则这两个多边形相似.
相似多边形对应边 的比称为相似比
相似比为1时，相似的 两个图形有什么关系？
全等
九年级数学第27章相似三角形
九年级数学第27章相似三角形
我们把这些形状相同的图形叫做相似图形.
九年级数学第27章相似三角形
我们把这些形状相同的图形叫做相似图形.
九年级数学第27章相似三角形
两两相似的几何图形
九年级数学第27章相似三角形
下图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像， 它们相似吗？
九年级数学第27章相似三角形
九年级数学第27章相似三角形
1. 对应角__相__等___, 对应边 的比相等 的两个三角形,
叫做相似三角形 .
2.相似三角形的___对__应___角___相___等_____, 各对应边 的比相等 . 3.如何识别两三角形是否相似?
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）
相交，所构成的三角形与原三角形相似.