2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题(解析版)

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题（解析版）圆锥曲线中的范围与最值问题
思路引导
圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法：(1)不等关系法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；（2）基本不等式法：根据题意将函数变形为两项和或积的形式，利用
基本不等式求范围；(3)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．
母题呈现
考法1利用不等关系求最值（范围）
【例1】（2022·三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率为3
2
.(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．【解题指导】
【解题技巧】寻找不等关系的突破口
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围;
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围;
(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用函数值域的求法,确定所求范围.
【跟踪训练】
（2022·石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在x )
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线的左右顶点为A ，B ，且动点(),C m n ，(),D m n -在双曲线上，直线BC 与直线AD 交于点P ，
()
M
，)
N
，求PM PN →→
⋅的取值范围.
考法2利用基本不等式求最值
【例2】（2022·全国甲（理）T ）20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．（1）求C 的方程；
（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．
【例3】（2022·河南焦作·三模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5
||2
PF p =
．(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．
【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题
利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。

基本不等式求最值的五种典型情况分析【跟踪训练】
（2022·江苏淮安·模拟预测）椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设斜率存在的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3
2
，求△AOB 面积的最大值．
考点3利用函数性质求最值（范围）
【例3】（2022·湖北武汉·二模）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，点1,4Q m ⎛⎫
⎪⎝⎭
为E 上一点，且Q 到E 的准线
的距离等于其到坐标原点O 的距离.(1)求E 的方程；
(2)设AB 为圆22(2)4x y ++=的一条不垂直于y 轴的直径，分别延长,AO BO 交E 于,C D 两点，求四边形
ABCD 面积的最小值.
【解题指导】
【解题技巧】利用函数求最值、范围的方法
根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或函数求导等可分析函数的单调性，从而确定的最值或范围。

【跟踪训练】
（2022·绍兴一中模拟预测）如图所示，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2
20＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的
右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .
(1)求点P 的坐标；
(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
模拟训练
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与轨迹C
λλ的取值范围．值，并求12 4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）
圆锥曲线中的范围与最值问题
思路引导
圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法：(1)不等关系法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；（2）基本不等式法：根据题意将函数变形为两项和或积的形式，利用
基本不等式求范围；(3)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．
母题呈现
考法1利用不等关系求最值（范围）
【例1】（2022·三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率为3
2
.(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|
AN |时，求m 的取值范围．【解题指导】
【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
1，＝32
，
＝b 2＋c 2，
＝2，＝1，
＝3.
故椭圆的标准方程为x 2
4
＋y 2＝1.
(2)设P (x 0，y 0)为弦MN 的中点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
kx ＋m ，y 2
＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0.
则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4(m 2－1)
4k 2＋1.
Δ＝(8km )2－16(4k 2＋1)(m 2－1)＞0，所以m 2＜1＋4k 2.
①
所以x 0＝x 1＋x 22＝－4km 4k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝m
4k 2＋1.
所以k AP ＝y 0＋1x 0＝－m ＋1＋4k 2
4km .
又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－
m ＋1＋4k 24km
＝－1
k ，即3m ＝4k 2＋1.
②
把②代入①得m 2＜3m ，解得0＜m ＜3.由②得k 2＝
3m －14
＞0，解得m ＞13.
综上可知，m 的取值范围为1
(,3)3
.
【解题技巧】寻找不等关系的突破口
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围;
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围;
(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用函数值域的求法,确定所求范围.
【跟踪训练】
（2022·石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在x
)
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线的左右顶点为A ，B ，且动点(),C m n ，(),D m n -在双曲线上，直线BC 与直线AD 交于点P
，()
M
，)
N
，求PM PN →→
⋅的取值范围.
【解析】(1)设双曲线的标准方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，
联立2222261
1,,a b c a b c a
⎧-=⎪⎪⎪=+⎨⎪
⎪⎪⎩得23a =，2
1b =，所以双曲线的标准方程为2213x y -=.
(2)已知(),C m n ，(),D m n -
，()A
，)
B .
当m =P 与点A ，B 重合，
当m ≠:
AD y x =
，直线:BC y x =，
联立两直线方程得()2
2
2233n y x m
=--.又因为2213m n -=，即2233n m -=-，所以()22133y x =--，即2213
x y +=.
又2
2
2
2PM PN PO OM PO OM PO OM PO →
→
→→→→→→→
⎛⎫⎛⎫
⋅=+-=-=-
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
且(
PO ∈，所以(]1,1PM PN →→
⋅∈-.
考法2利用基本不等式求最值
【例2】（2022·全国甲（理）T ）20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．（1）求C 的方程；
（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．
【解题指导】（1）由抛物线的定义→=2
p
MF p +
→解方程求p ；（2）设点的坐标→直线:1MN x my =+→韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k =→差角的正切公式及
基本不等式得2
AB k =
→设直线:AB x n =
+→代入抛物线方程，韦达定理可解.
【解析】（1）抛物线的准线为2
p
x =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32
p
MF p +
=，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；
（2）设2222
31241234,,,,,,,4444
y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由2
14x my y x
=+⎧⎨
=⎩可得2440y my --=，120,4y y ∆>=-，
由斜率公式可得
12221212444MN y y k y y y y -=
=+-，3422
34344
44
AB y y k y y y y -==+-，直线112
:2x MD x y y -=
⋅+，代入抛物线方程可得()121
4280x y y y --⋅-=，130,8y y ∆>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，
所以()34124422
MN
AB k k y y y y =
==++又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22
MN AB k k α
β==
=，若要使αβ-最大，则0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则
(
)2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--=
==≤=
+++，当且仅当
1
2k k =即22
k =时，等号成立，所以当αβ-
最大时，2
AB k =
，设直线:AB x n =+，
代入抛物线方程可得240y n --=，
34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，
所以直线:4AB x =
+.
（2022·河南焦作·三模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5
||2
PF p =
．(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．
【解析】1)依题意，设()0,8P x ．
由抛物线的定义得05
||22
p PF x p =+
=，解得：02x p =，（2分）【技巧】实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，
由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．因为()0,8P x 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，
所以2
082px =，所以2822p p =⋅，解得：4p =．
故抛物线C 的方程为28y x =．
（4分）
(2)由题意可知(2,0)F ，直线AB 的斜率存在，且不为0．设直线AB 的方程为2(0)x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．
（6分）
【技巧】直线过x 轴上定点（(,0)t ），可巧设为(0)x my t m =+≠.联立228x my y x
=+⎧⎨=⎩，整理得：28160y my --=，
则128y y m +=，从而()2
1212484x x m y y m +=++=+．
因为P 是弦AB 的中点，所以()
2
42,4P m m +，
（8分）
同理可得24
42,Q m
m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．
则||PQ ==
8=≥==，当且仅当4
41m m =
且2
2
1m m =，即1m =±时等号成立，故PQ 的最小值为8．
（12分）
【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题
利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。

基本不等式求最值的五种典型情况分析【跟踪训练】
（2022·江苏淮安·模拟预测）椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设斜率存在的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3
2
，求△AOB 面积的最大值．
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ＝63
，
＝3，∴c ＝2，b ＝1，∴所求椭圆方程为x 2
3＋y 2＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知
|m |1＋k 2
＝
32，得m 2＝3
4
(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.Δ＝36k 2m 2－4(3k 2＋1)(3m 2－3)＝36k 2－12m 2＋12>0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)
3k 2＋1.
∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2
＝(1＋k 2
)]1
3)
1(12)13(36[
22222+--+k m k m k ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝
3(k 2＋1)(9k 2＋1)
(3k 2＋1)2＝3＋12k 2
9k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k 2＋6
(k ≠0)≤3＋
12
2×3＋6
＝4.
当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±3
3时等号成立．
当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取得最大值S ＝12×|AB |max ×32＝3
2
.
考点3利用函数性质求最值（范围）
【例3】（2022·湖北武汉·二模）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，点1,4Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为E 上一点，且Q 到E 的准线的
距离等于其到坐标原点O 的距离.(1)求E 的方程；
(2)设AB 为圆22(2)4x y ++=的一条不垂直于y 轴的直径，分别延长,AO BO 交E 于,C D 两点，求四边形
ABCD 面积的最小值.
【解题指导】
【解析】（1）设抛物线焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由题意QO QF =，故
1
224
p =⨯，解得：1p =.故抛物线的标准方程为22y x =.
(2)由题意，直线AC 斜率存在且不为0，
设直线AC 的方程为：y kx =，设点()()1122,,,A x y C x y ，()22
24y kx x y =⎧⎪⎨++=⎪⎩
，联立得：()
22
140k x x ++=，由10x ≠，得124
.1
x k -=
+2
2y kx y x
=⎧⎨=⎩，联立得：2220k x x -=，由20x ≠，得222
.x k
=
221231
k AC x +=-=
因为AC BD ⊥，用1k -代替k ，得
2321k BD ⎛⎫
+ ⎪==
【技巧】运用类比思想，1
k
-代替k ，求得BD
故四边形ABDC 面积(
)(
)
()
22
2
2
26
62023131
1
21
k k k k S AC BD k k k k
+
+++=
⋅==++
.令()21688
2,6t k t t S t k t t
++=≥=
=+.
设函数()()()222
8868
62,60t f t t t f t t t t
-=+≥=-=>'，故()f t 单调递增.故当2t =，即1k =时，S 取到最小值16，所以四边形ABCD 面积的最小值是16.
【技巧】利用换元,转化为函数问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定最值.
【解题技巧】利用函数求最值、范围的方法
根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或函数求导等可分析函数的单调性，从而确定的最值或范围。

【跟踪训练】
（2022·绍兴一中模拟预测）如图所示，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2
20＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的
右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .
(1)求点P 的坐标；
(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
【解析】(1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，
则AP →＝(x ＋6，y )，FP →
＝(x －4，y )，∵PA ⊥PF ，∴AP →·FP →
＝0，＋y 2
20＝1，6)(x －4)＋y 2＝0，
可得2x 2＋9x －18＝0，得x ＝3
2或x ＝－6.
由于y >0，故x ＝32，于是y ＝53
2.
∴点P 的坐标是)2
3
5,
23(.
(2)由(1)可得直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0，点B (6,0)．
设点M 的坐标是(m ,0)，则点M 到直线AP 的距离是
|m ＋6|
2
，
于是
|m ＋6|
2
＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2.
由椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，得d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－5
9
x 2
＝4
922
9(-x ＋15，由于－6≤x ≤6，
由f (x )＝4
92)2
9(-x ＋15的图象可知，
当x ＝9
2
时，d 取最小值，且最小值为15.
模拟训练
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点F 的直线与轨迹C 值，并求12λλ的取值范围．
【分析】（1）设出点的坐标，运用数量积运算可得结果（2）设直线AB 的方程，求出点由已知向量关系式可得1λ=【详解】（1）设点(),P x y ，则由QP QF FP FQ ⋅=⋅
得(x +即()()2
2121x x y +=--+，化简得故动点P 的轨迹C 的方程为：（2）设直线AB 的方程为：联立直线AB 与轨迹C 的方程得则()2
4160m ∆=-+>．
设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理知，
∴P 是12F F ''的中点，
∴12F F ''是圆的直径，∴121223F F F F =''=，∴3
c =由已知1b =，所以椭圆C 的方程为2
21
4
x y +=（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，其中12
x x <
【点睛】高考中解析几何解答题一般围绕直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系进行设题，对考生的代数运算能力、函数与方程思想等要求较高，挖掘几何图形的性质是求解几何背景下的圆锥曲线
由直线MN 与221x y +=相切，故
联立22,1,4
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
2214k x ++线段。