军考数学高中士兵考军校综合测试卷及答案

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷
一．选择题（共9小题）
1．设集合2{|}M x x x ==，{|0}N x lgx =，则(
M N =)
A ．[0，1]
B ．(0，1]
C ．[0，1)
D ．(-∞，1]
2．函数2
21(2
x y -=的单调递减区间为(
)
A ．(-∞，0]B
．[0，)+∞C ．(-∞D ．，)
+∞3．设02
x π
<<
，则“2cos x x <”是“cos x x <”的()
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则()
A ．235x y z
<<B ．523z x y
<<C ．352y z x <<D ．325y x z
<<5．若关于x 的不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，则实数a 的取值范围是()
A ．[4-，3]
-B ．{3}
-C ．{3}
D ．[3，4]
6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，312S =，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则10(a =)
A ．33
B ．28
C ．4
D ．4或28
7．一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是()
A ．
1
4
B ．
12
C ．
18
D ．
13
8．2251
lim 25
n n n n →∞--+的值为()
A ．15-
B ．52
-
C ．
1
5
D ．
52
9．已知圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l ，2l 分别过圆心M ，N ，且1
l 与圆M 相交于A ，B 两点，2l 与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆22
149
x y +
=上任意一点，则PA PB PC PD +的最小值为()
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
二．填空题（共8小题）
10．49log 43
log 2547lg lg ++=．
11．已知22sin 3α=
，1cos()3αβ+=-，且α，(0,)2
π
β∈，则sin β=．
12．若函数3()2()f x x ax a R =--∈在(,0)-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，2]上的最小值为
．
13．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有
种安排情况．
14．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是
．
15．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，且11a =，则n a =
．
16．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有11
()()22f x f x +=-，函数(1)f x +是奇函数，当
1122x
-
时，()2f x x =，则方程1
()2
f x =-在区间[3-，5]内的所有零点之和为．
17．已知点O 为坐标原点，圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(2)4N x y ++=，A ，B 分别为圆M 和圆N 上的动点，OAB ∆面积的最大值为
．
参考答案与解析
一．选择题（共9小题）
1.【解答】解：由2{|}{0M x x x ===，1}，{|0}(0N x lgx ==，1]，
得{0M
N =，1}(0⋃，1][0=，1]．
故选：A ．
2.【解答】解：令22t x =-，则1
()2
t y =，即有y 在t R ∈上递减，
由于t 在[0x ∈，)+∞上递增，则由复合函数的单调性，可知，函数y 的单调减区间为：[0，)+∞．故选：B ．
3.【解答】解：由2x x =得0x =或1x =，作出函数cos y x =和2y x =和y x =的图象如图，则由图象可知当2cos x x <时，2
B x x π<<，当cos x x <时，2
A x x π<<，A
B x x <，
∴“2cos x x <”是“cos x x <”的充分不必要条件，
故选：A ．
4.【解答】解：1t >，0lgt ∴>．又0235lg lg lg <<<，
2202lgt x lg ∴=>，3303lgt y lg =>，505
lgt
z lg =>，∴
5321225
z lg x lg =>，可得52z x >．29138
x lg y lg =>．可得23x y >．综上可得：325y x z <<．故选：D ．
5.【解答】解：令3()41f x x ax =+-，[1x ∈-，1]．
不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，即()0f x 对任意[1x ∈-，1]都成立，取4a =-，则3()441f x x x =--，此时11
()022f -=>，排除A ．
取3a =，则3()431f x x x =+-，此时1
()102
f =>，排除CD ．
故选：B ．
6.【解答】解：设数列{}n a 为公差为d 的等差数列，当0d =时，312S =，即1312a =，即有1014a a ==；
当0d ≠时，1a ，2a ，6a 成等比数列，可得2
2
16a a a =，即2111()(5)a d a a d +=+，化为13d a =，311331212S a d a ∴=+==，11a ∴=，3d =，1019328a ∴=+⨯=．
综上可得104a =或28．故选：D ．
7.【解答】解：设三段长分别为x ，y ，1x y --，则总样本空间为01
0101x y x y <<⎧⎪
<<⎨⎪<+<⎩
．
其面积为
12
，
能构成三角形的事件的空间为111x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪
+-->⎨⎪+-->⎩，
其面积为1
8
，
则这三段可以组成三角形的概率是1
1
8142
p ==．
故选：A
．
8.【解答】解：2
2
22
15515
lim
lim 15252
2n n n n n n n n
→∞→∞-
-==-+-+．
9.【解答】解：圆22:(1)1M x y -+=的圆心(1,0)M ，半径为1M r =；圆22:(1)1N x y ++=的圆心为(1,0)N -，半径为1N r =；
所以2
2
()()()1PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM =++=+++=-，
22
()()()1PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN =++=+++=-，P 为椭圆22
149
x y +
=上的点，∴2
2
2
2
2
1022()89
y PA PB PC PD PM PN x y +=+-=+=+；由题意可知，33y -，
2
1088189
y ∴+，
即PA PB PC PD +的最小值为8．故选：B ．
二．填空题（共8小题）10.【解答】解：原式71
24
3115
310072244
log log lg -=++=-++=
．故答案为：
154
．
11.【解答】解：22sin 3α=
，(0,2πα∈，1
cos 3
α∴==，α∴，(0,2
π
β∈，(0,)αβπ∴+∈，
又1
cos()3
αβ+=-，sin()3αβ∴+=．
则11sin sin[()]sin()cos cos()sin ()33βαβααβααβα=+-=+-+=--⨯．故答案为：
42
9
．12.【解答】解：3()2()f x x ax a R =--∈，2()3(0)f x x a x ∴'=-<，
①当0a 时，2()30f x x a '=->，
函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，又(0)20f =-<，()f x ∴在(,0)-∞上没有零点；
②当0a >时，由2()30f x x a '=->，解得33x <或33
x >（舍)．
()f x ∴在(,)3-∞上单调递增，在(3
，0)上单调递减，而(0)20f =-<，要使()f x 在(,0)-∞内有且只有一个零点，
3(()()20333
f a ∴-
=--⨯--=，解得3a =，3()32f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，[1x ∈-，2]，
当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．
又(1)0f -=，f （1）4=-，f （2）0=，()min f x f ∴=（1）4=-．
故答案为：4-．
13.【解答】解：根据题意，可得排法共有112
6
54180C C C =种．故答案为：180．
14.【解答】解：73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数可这样求得：
第一个括号7(1)x -中提供x 时，第二个括号3(1)x +只能提供常数，此时展开式中x 的系数是：
1
637(1)17C -=；
同理可求，第一个括号7(1)x -中提供常数时，第二个括号3(1)x +只能提供x ，此时展开式
中x 的系数是712
3
(1)13C -=-，所以展开式中x 的系数是163712
7
3(1)1(1)14C C -+-=．故答案为：4．
15.【解答】解：数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，可得1111n n S S +-=，所以1{}n S 是等差数列，首项为1，公差为1，所以1
1(1)1n
n n S =+-=，1n S n =
，111
1(1)n a n n n n -=-=
--，2n ，(*)n N ∈，所以1,11,2(1)
n n a n n n =⎧⎪
=-⎨⎪-⎩，
故答案为：1,11,2(1)
n n n n =⎧⎪
-⎨⎪-⎩
．
16.【解答】解：根据题意，因为函数(1)f x +是奇函数，所以函数(1)f x +的图象关于点(0,0)对称，
把函数(1)f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点(1,0))对称，则(2)()f x f x -=-，
又因为11
()()22
f x f x +=-，所以(1)()f x f x -=，从而(2)(1)f x f x -=--，
再用x 替换1x -可得(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为2，且图象关于直线1
2
x =
对称，如图所示，函数()f x 在区间[3-，5]内有8个零点，所有零点之和为1
2442
⨯⨯=．
故答案为：4．
17.【解答】解：如图以OM 为直径画圆，延长BO 交新圆于E ，
AO 交新圆于F 点，连接FE ，NF ，MF ，
则MF 与OA 垂直，又MA MO =，F 为AO 的中点，由对称性可得OF OB =，
由1sin 2ABO S OA OB AOB ∆=∠，1
sin()
2EAO S OE OB AOB π∆=-∠1
sin 2
OE OB AOB =∠，可得2ABO EAO EFO S S S ∆∆∆==，当EFO S ∆最大时，ABO S ∆最大，
故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF 的面积的最大值，由圆内接三角形A B C '''的面积1
sin 2
S a b C '''=
，2sin a A ''=，2sin b B ''=，
3
sin sin sin 2sin sin sin 2(
)3
A B C S A B C '+'+''''=，
由()sin f x x =，[0x ∈，]π，为凸函数，可得sin sin sin 3
sin
sin 3
332
A B C A B C π'+'+'
'+'+'==
，当且仅当3
A B C π
'''===时，取得等号，
可得3sin sin sin 2(
)23A B C '+'+'=
．
即三角形OEF 的面积的最大值为．进而得到ABO S ∆最大值为3333
242
⨯=
，故答案为：
332。