数学分析作业习题

P94
1．已知直线运动方程为2
510t t s +=。

分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从4=t 至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及4=t 时的瞬时速度。

2．等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义.
3．设0)(0=x f ,4)(0='x f ,试求极限x
x x f x ∆∆+→∆)(lim 00 4．设⎩⎨⎧<+≥=3
3)(2x b ax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在3=x 可导。

5．试确定曲线x y ln =上哪些点的切线平行于下列直线：
（1）1-=x y （2）12-=x y
6．求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：
（1）)1,2(,2P x y = (2）)1,0(,cos P x y =
7．求下列函数的导数：
（1）3
||)(x x f = （2）⎩⎨⎧<≥+=0101)(x x x x f 8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x x x x f m （m 为正整数）,试问：
(1)m 等于何值时，f 在0=x 连续；
(2）m 等于何值时,f 在0=x 可导；
(3）m 等于何值时，f '在0=x 连续。

9．求下列函数的稳定点：
（1)x x x f cos sin )(-= (2）x x x f ln )(-=
10．设函数f 在点0x 存在左右导数，试证f 在点0x 连续.
11．设0)0()0(='=g g ，⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=000,1sin )()(x x x x g x f ，求)0(f ' 12．设f 是定义在R 上的函数，且对任何R x x ∈21,，都有
)()()(2121x f x f x x f ⋅=+
若1)0(='f ,证明对任何R x ∈,都有)()(x f x f ='
13．证明：若)(0x f '存在，则)(2)()(lim 0000x f x
x x f x x f x '=∆∆--∆+→∆ 14．证明：若函数f 在],[b a 上连续，且K b f a f ==)()(,0)()(>'='-+b f a f ，则在),(b a 内至少有一点ξ，使K f =)(ξ
15．设有一吊桥，其铁链成抛物线型，面端系于相距100米高度相同的支柱上,铁链之最低点在悬点下10米处,求铁链与支柱所成之角.
16．在曲线3
x y =上取一点P ,过P 的切线与该曲线交于Q ，证明:曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.
P 。

103习题
4．对下列各函数计算)1(),1(),(-'+''x f x f x f
(1）3)(x x f = （2）3)1(x x f =+ (3）3)1(x x f =- 6．设f 为可导函数,证明:若1=x 时有
)()(22x f dx d x f dx d =, 则必有0)1(='f 或1)1(=f
P.105习题
4．证明曲线⎩
⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x ,（0>a ）上任一点的法线到原点距离等于a . 5．证明:圆θsin 2a r =（0>a ）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。

6．求心形线)cos 1(θ+=a r 的切线与切点向径之间的夹角.
P.109习题
2．设函数f 在点1=x 处二阶可导，证明:若0)1(,0)1(=''='f f ，则在1=x 处有 )()(222
2x f dx
d x f dx d = 3．求下列函数的高阶导数
⑷ x e x x f 3)(=，求)()10(x f
5．求下列函数的 n 阶导数:
⑶ x
x x x y -+=-=111)1(1 ⑷ x x
x x y ln 1ln ⋅== ⑸ x
x y n
-=1 ⑹ bx e y ax sin =
7．研究函数||)(3x x f =在0=x 处的各阶导数.
8．设函数)(x f y =在点x 三阶可导，且0)(≠'x f . 若)(x f 存在反函数)(1y f
x -=，试用)(x f '，)(x f ''以及)(x f '''表示)()(1y f
'''-. 9．设x y arctan =
⑴ 证明它满足方程02)1(2='+''+y x y x
⑵ 求0)(|=x n y
10．设x y arcsin =
⑴ 证明它满足方程0)12()1()(2)1()2(2=-+--++n n n y n xy n y
x （0≥n ） ⑵ 求0)(|=x n y
11．证明 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0
0)(21
x x e
x f x 在0=x 处n 阶可导且0)0()(=n f ，其中n 为任意正整数。

§5 微分
1．若1,x =而0.1,0.01.x ∆=问对于2,y x y dy =∆与之差分别是多少?
2．求下列函数微分:
（1)2234112;33
y x x x x x =+--+ (2）ln ;y x x x =-
（3）2cos 2;y x x =
(4）2;1x y x =
- （5)sin ;ax e bx
(6)y =
3。

求下列函数的高阶微分：
(1）设()ln ,(),x u x x v x e ==求333(),(),;u d uv d uv d v ⎛⎫
⎪⎝⎭ （2)设332(),()cos 2,(),().x
u u x e v x x d uv d v ==求
4。

利用微分求近似值:
(1
（2）lg11;
(3)tan 4510;'
5．为了使计算出球的体积准确到1%，问度量半径r 时所允许发生的相对误差至多应多少？
6．检验一个半径为2米，中心角为55的工件面积，现可直接测量其中心角或此角所对的弦长，设量角最大误差为0.5,量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种方法检验的结果较为精确。