北京市西城区重点中学2015-2016学年度第一学期九年级数学第二十七章《相似》教材分析资料

北京市西城区重点中学2015－2016学年度第一学期九年级数学
第二十七章《相似》教材分析
一地位与作用
从数学知识上，相似形的几何性质是全等形的几何性质的自然而然的延伸和拓展；相似作为图形的一种变换也是全等变换的拓广和发展，同时，相似也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础．所以说相似在空间与几何的学习中起着承上启下的作用。

从学生的数学认知发展来看，学生通过对直线形的学习，已积累了对图形的丰富的感性认识、一定的逻辑推理论证能力和利用几何模型分析解决实际问题的能力，这为相似的学习提供了坚实的知识基础和能力基础；同时，从特殊的“全等”研究到一般的“相似”研究也符合学生从特殊到一般的认知规律，学生在探究学习全等时所积累的数学思想和方法可以顺理成章地迁移到相似的研究中，这可以进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力，巩固和提高学生的逻辑推理证明的能力。

此外，相似被广泛应用于现实生活中（测物体的高度、测河宽，制作艺术字等）。

在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。

通过对相似的应用研究，可进一步的加强学生数学建模的意识，提高学生分析解决实际问题的能力，对于学生今后从事各种实际工作也有重要作用。

二课程学习目标
1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，了解黄金分割；
2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定理，并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题；
3．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；
4．结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力．
三知识结构框图
四教学重点、难点
重点：相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容；
难点：相似三角形的判定定理的证明．
四基：
基础知识：比例线段及其性质，相似多边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，位似的定义及性质；
基本技能：会用比例线段求线段长或列方程，会用相似多边形、相似三角形的性质与判定解决简单的实际问题，会画位似图形（含在坐标系中）；
基本思想：类比与对比思想、转化与化归思想、方程与函数思想、建模思想；
基本实践活动：如制作地图，测物体的高度，测河宽，制作艺术字等．
五课时安排
本章教学时间约需13（+2）课时，具体分配如下（仅供参考）：
预备知识比例的概念和性质2课时
27．1 图形的相似2课时
27．2 相似三角形共7课时
相似的判定4课时
相似的性质2课时
相似的应用1课时
27．3 位似2课时
数学活动小结2课时
六教学建议
1.借助本章教材内容的特点，培养学生阅读能力和自主学习的能力
数学阅读能力是一种非常重要的数学学习能力，从中考试题的发展趋势来看，对学生阅读理解能力的要求逐渐提高；同时自主、主动地参与学习才能产生真正意义的学习。

在平时的教学中，应该注意对学生数学阅读能力和自主学习能力的培养。

从全等到相似，是一个从特殊到一般的过程，学生容易利用在前面学到的有关知识以及研究问题的方法进行相似的学习。

老师可以在本章的某些章节（如相似三角形的性质与判定等）适当改变教学方式，引导学生用类比的方法进行自主学习。

教师要指导学生阅读教材的方法：如何粗读，如何细读，怎样去理解概念、定理，怎样提炼解题的思想方法，如何设身处地地经历知识的形成过程，要让学生通过阅读，通过自主学习知其然，更要知其所以然，对难以理解的概念或难以解决的问题作出记号，以便带着疑问去听课。

2.在教学中应注重知识形成过程的教学
从中考试题的考察来看，有从常规的对固定知识的应用的考察到向“知识的形成过程”的考察发展的趋势，这也体现了课标中关于要重视学生的学习体验，重视知识的形成过程的要求。

因此在教学中，让学生经历相似的定义、性质和判定定理的形成过程。

让学生不仅要懂得结论、理解结论，也要了解结论是怎么来的。

3．重视知识间的联系，注重数学思想方法的教学
（1）类比思想：
研究相似三角形的判定的问题时，可以和研究全等三角形的问题作类比：判定两个三角形全等，不一定要六个条件一一验证，有简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS），类似的，研究两个三角形相似时，也不是要对所有的对应角和对应边一一验证，也有简单方法。

研究相似多边形的面积时，教科书也同研究多边形的内角和问题进行了类比：我们已经通过推理论证得到了相似三角形的面积比等于相似比的平方，类似于研究多边形内角和的方法，可以把多边形划分成若干个三角形，从而也能得到相似多边形面积的比等于相似比的平方。

在教学时，要充分注意这些新旧知识联系的内容，注意从学生学习的规律出发，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用。

这样有助于学生对于新知识的理解。

相似和全等图形性质的区别和联系：他们的对应角都相等；全等图形的对应边也相等，周长也相等，面积也相等；相似多边形对应边成比例，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

（2）转化与化归思想(
多边形的问题转化为已经解决的熟知的三角形的问题来解决等)
（3）建模思想：实际生活中的问题，建立相似三角形的模型（几种基本图形）来解决,如测量旗杆的高度、河的宽度等。

（4）方程与函数思想（利用对应边的比相等建立方程或函数关系式） （5）分类与整合思想（当相似三角形不确定时，采用分类与整合思想） 4．重视基础知识、基本解题方法的归纳与提升 （1）相似三角形的常见图形及其变换：
常见图形
（1）若DE //BC ，则 ．（2）若DE //BC ，则
． （3）若∠ADE =∠B ，则 ．
A
B
C
D E A
B
C
D
E
A
B
C
D
E （1）
（2）
（3）
平行型
斜交型
.
. 垂直型
（4）若∠ACD =∠B ，则 ．（5）若AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，则 ．
（6）若AC ⊥BC ，DE ⊥BC ，则 ．
（7）在直角梯形ABCD 中，若AE ⊥DE ，则 ．
（2）证明四条线段成比例的常用方法：
①线段成比例的定义；②三角形相似的预备定理；③利用相似三角形的性质；④转化:等线段代换、等比代换、等积代换．⑤构造相似基本图形（通常是添加平行线）构成比例．⑥利用面积关系 5.几个需要说明的问题：
①．以“∽”、“相似于”连接的形式，都是严格对应，不用分类；“…与以…为顶点的三角形相似” 、“△…与△…相似”表述的形式是不严格对应，需要考虑分类．
②．对于相似比，要注意顺序和对应的问题。

如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比．两三角形相似后，可得对应边的比相等，然后才可得一个三角形自身两边的比与另一三角形对应的两边的比． ③．类比全等，相似的传递性可直接应用． ④．类似于判定三角形全等没有“边边角”，判定三角形相似也没有“边边角”．反例 与全等时“边边角”的反例相同． ⑤．要特别重视实际应用．
⑥．在没有明确指出只画一个图形的情况下，利用位似变换把一个图形放大或缩小需要画出两个图形，尤其是在平面直角坐标系下求变换后的坐标时要有两个答案．
七 各节教学要点
27．1图形的相似
预备知识一：比例线段
1.两线段的比:在同一单位下，两线段的长度比.
A
C
B
D
E A
B
C
E D
（6）
（7）
A
B
C
D
A
B
C
D
（4）
（5）
2.（成）比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝c
d
，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
设a 、b 、c 、d 为线段，若线段a 、b 、c 、d 成比例，即a :b ＝c :d ，b 、c 叫比例内项，a 、d 叫比
例外项，d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；如果a :b =b :c ，或b 2=ac ，那么b 叫a 、c 的比例中项.在介绍比例中项之后，适当补充黄金分割的知识. 3.比例性质：
（1）比例的基本性质（这是等积式与比例式互相转化的依据）
的比例中项）、为，则；若，则若
c a b ac b c
b
b a b
c a
d d c b a (2==== 的比例中项）、为则且；若则且若c a b c
b
b a d
c b a (,0bc ,ac b ,0b
d ,bc ad 2=≠==≠=
例1.已知（2x －3y ）∶(x +y )=1∶2,求x ∶y ；
（2） 合比性质
若d c
b a =，则d d
c b b a +=+或d
d c b b a -=-. 例2. 已知35a b =，则
32a b
a b
+=- . *推广：若d
c
b a =，则d k
c k
d k c k b k a k b k a k 43214321++=++（分母不能为0）．
（3）等比性质
如果
)0(≠+++===n d b n
m
d c b a ，那么
b a n d b m
c a =++++++ *推广：如果
n
m
d c b a === ，那么b a n k d k b k m k c k a k t t =++++++ 2121（分母不能为0）．
例3.已知
234a b c
==，则23a b c b
-+= . 总结证明比例式的常用方法：
（1）“见比设k ”：（以等比性质证明为例）
∵
)0(≠+++===n d b n
m d c b a ，∴设k ====n m
d c b a ．
则nk m dk c bk a ===，，
， ． 又∵0≠+++n d b ， ∴
b
a
k n d b n d b k n d b nk dk bk n d b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(．
（2）利用等式性质：（以合比性质证明为例）
证明一：∵
d c b a =， 证明二：∵d c b a =， ∴11±=±d c
b a ． ∴b
c a
d =． ∴d
d
c b b a ±=±． ∴b
d bc bd ad ±=±． ∴)()(d c b b a d ±=±． ∴d
d
c b b a ±=±． （3）利用比例的性质：（以等比性质证明为例）
∵
d c b a =，∴d b c a =（更比）． ∴d
d
b c c a +=+（合比）．
∴b a d c d b c a ==++（更比）． 同理：b
a
n d b m c a =++++++ ． 预备知识二：平行线分线段成比例定理
我们提炼出这样的一个图形
已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E . 求证：
AC
AE
AB AD =. 证明：连接CD 、BE .
∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，CDE BDE S S ∆∆=.
∴ACD ABE S S ∆∆=
A
B C
D
E
A
B
C
D
E l 1 l 2 l 3
l 4 l 5 A B
C D E
l 1 l 2 l 3
l 4 l 5 F A
B
C
D
E
又∵AC AE S S ABC ABE =∆∆,AB
AD S S ABC ACD =∆∆.∴AC AE
AB AD =. 请试着证明：
已知：如图，DE ∥BC ，
求证：AC
AE
AB AD =. 证明：过点E 作EF //BD ，交CB 延长线于F
BF AE
BC AC
∴
= ∵四边形BDEF 为平行四边形，∴DE =BF .
DE AE BC AC ∴
=，同理，AB AD BC DE =.∴AC
AE
AB AD = 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

例4.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ） A ． 7 B ． 7.5 C ． 8 D ． 8.5
例5、已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD +EC =9， DB =4，AE =5，求AD 的长. 例6. 在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F , 若EC =2BE ，则
FD
BF
的值是（ ） A .21 B .31 C .41 D .5
1 例7.如图，点H 在 ABCD 的边DC 延长线上，连结AH 分别交BC 、BD 于点E 、F ，求证：
BE AB
AD DH
=．
三、图形的相似：
1．相似图形：我们把这种形状相同的图形叫做相似图形． 2．相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边成比例．
3．相似多边形的判定：两个边数相同的多边形对应角都相等，对应边成比例，同时满足上述条
a b c
A B C
D
E
F m
n
A
B
C
D
E
F A B
C
D
E
A B C
D
F
E
A
B C D
E
F
H
件的两个多边形相似． 注：（1）相似图形不仅仅是平面图形、也包括立体图形，如两个球体、两个正方体；
（2）教材举出的相似图形大小是不同的，而大小不同不是相似的本质属性，形状相同才 是它的本质属性. 教材中又指出图形的相似可以看成是一个图形的放大或缩小. 这实际上，也是从变换的角度解释了相似的概念；
（3）教材没有直接给出相似多边形的定义，而是直接研究它的特征，归纳出特征后，再给出它的判定方法，这也可以作为相似多边形的定义．
四、典型例题：
例8.用相似三角形定义判定特殊三角形的相似情况. （1）两个全等三角形一定相似. （2）两个直角三角形不一定相似. （3）两个等腰三角形不一定相似. （4）两个等腰直角三角形一定相似. （5）两个等边三角形一定相似.
例9. 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况. （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似.如：矩形. （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似.如：菱形. （3）边数相同的正多边形都相似.如：正方形，正五边形. 例10．已知：如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，A ′，B ′，C ′，D ′分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，试判断四边形ABCD 与四边形A ′B ′C 'D ′是否相似，并说明理由．
27．2 相似三角形
27．2．1 相似三角形的判定
一、相似三角形的概念：
1．相似三角形：三组对应角分别相等，三组对应边成比例的两个三角形相似． 注： （1）如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF ，其中对应顶点要写在对应位置，如A 与D ，
B 与E ，
C 与F 相对应，这样比较容易找出对应角和对应边． （2）相似比带有顺序性：如：△ABC ∽△A ’B ’C ’的相似比为
k A C CA
C B BC B A AB ==='
'''''，反过来△A ’B ’C ’∽△ABC 的相似比为k
CA A C BC C B AB B A 1
''''''===． （3）全等三角形是相似比为1的相似三角形，因此全等三角形是相似三角形的特殊情况．
二、相似三角形的判定定理：
（a ）1．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等. 2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. （b ）1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
*当平行于三角形一边的直线和其他两边延长线相交时，所构成的三角形也和原三角形相似．
2．如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
3．如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 注：
（1） 三角形相似的判定与三角形全等的判定方法类似，可以通过弱化定义和类比全等判 定两方面来研究、记忆、理解．相似三角形的判定也是从“边边边”的情况开始的．
（2） 相似三角形判定定理的证明是在其中一个三角形内部构造一个与另一个三角形全 等的三角形，利用前面的引理，证明这个三角形与它相似，在这里利用了相似的传递性． （3）“边边角”依然不成立．
反例：如图，BD =BC ，∠A =∠A ，BC
AB
BD AB =，但△ABD 与△ABC 不相似．
三、基本图形：
（1）“平行线型”的相似三角形（见上）. （2）“相交线型”的相似三角形（见上）. （3）“旋转型”的相似三角形（如图）.
四、典型例题：
例11. 如图， △ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点且DE 与BC 不平行， 当 或 或 时， △ADE 与△ABC 相似.
例12. 能判定△ABC 和△A ′B ′C ′相似的条件是（ ）
A 、AB
AC A B A C ='''' B 、
AB A B A C AC A C ''
'=∠=∠''且 C 、
AB
BC B A A B A C '=∠=∠''
''且 D 、AB AC
B B A B A
C '=∠=∠''''
且 例13. 如图，∠ACB =∠ADC =90°，BC =a ，AC =b ，AB =c ，
要使△ABC ∽△CAD ，只要CD 等于( )
A .c b 2
B .a b 2
C .c ab
D .c
a 2
例14. 如图，□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA = 2∶3，EF = 4， 则CD 的长为（ ）
A ．163
B ．8
C ．10
D ．16
全等的判定 相似的判定
两角夹一边对应相等（ASA ）
两角一对边对应相等（AAS ） 两边及夹角对应相等（SAS ）
三边对应相等（SSS ）
两角对应相等
两边对应成比例，且夹角相等
三边对应成比例
C
D
A
B
B
E
A C
D
1
2D
C
B
A
例15. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则AC ∶AB = .
例16. 如图，ABC △与AEF △中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论：
①AFC C ∠=∠； ②DF CF =；
③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
例17. 如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．
例18. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ， 求证：△ADE ∽△EFC ．
例19、如图，正方形ABCD 中，点P 在BC 上，且BP =3PC ， 点Q 是CD 的中点. 求证：△ADQ ∽△AQP .
例20、如图，在△ABC 中，点P 是AB 上一点，
且2
AC AP AB =⋅，
（1）求证：△ACP ∽△ABC ； （2）若AP =2PB ,求BC ：PC 的值.
例21、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形. （1）当AD 、CD 、BC 满足什么关系时，△APD ∽△PBC ； （2）当△APD ∽△PBC 时，求∠APB 的度数.
例22、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 为AD 上一点，∠DAC =∠B ，CD =CE ， 求证：△ACE ∽△BAD .
例23、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC
③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC
A B C
D
P Q
A B C
P
A B
C D P
A
B
C
D
E
⑤AD 2=BD ·CD
其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有
例24. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ， E 是AC 中点，ED 交AB 延长线于点F . （1）求证：△BDF ∽△DAF ；
（2）求证：AB DF
AC AF
=.
例25. 如图， 等边△ABC ，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD =CE ，
AD 与BE 相交于点F .
(1)试说明△ABD ≌△BCE ；
(2) △AEF 与△ABE 相似吗?说说你的理由； (3)BD 2=AD ·DF 吗?请说明理由.
27．2．2 相似三角形的性质
一、知识点：
1． 相似三角形的性质：
（1）对应角相等，对应边的比相等．
（2）对应高的比等于相似比；对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． （2）周长比等于相似比．
（3）面积比等于相似比的平方． 注意：本节课的关键词就是相似比. 加深对相似比的认识和理解可以帮助我们更加灵活简便地分析和解决问题． 二、典型例题：
例26. 若△ABC ∽△DEF ， △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为___________;面积比是___________
例27. 如果两个相似图形的对应边长分别为2cm 和6cm ，且两个图形的面积之差为120cm 2，则较大的图形的面积为_________.
例28. 如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若AB 2则此三角形移动的距离AA ′是（ ） A 21 B 、
2
2
C 、1
D 、12
例29.在△ABC 中，AB =9，AC =12，BC =18，D 为AC 上一点，CD = AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若两个三角形相似，求DE 的长.
A B
C D
E F 2
3
27．2．3相似三角形应用举例
一、知识点：
1．比例尺：表示图上距离比实际距离放大或缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离． 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应的高的比．
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉所成的角，物体越小或距离越远，视角越小；盲区：观察者看不到的区域；仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
4．会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度． 如：测量旗杆的高度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 二、典型例题：
例30. 在比例尺为1:5000的国家体育馆“鸟巢”的设计图上，长轴为6.646cm ，短轴为5.928cm ，则它们的实际长度分别为（ ）
A .332.3m ，296.4m
B .330m ，300m
C .332.5m ，296.5m
D .332.3m ，297.3m 例31. 如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是 8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网 4米的位置，则球拍击球的高度h 为 米.
例32. 如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的 坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20米，斜坡坡 面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成30°角， 斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度（精 确到1米）．
例33. 如图，花丛中有一路灯杆AB . 在灯光下， 小明在D 点处的影长DE =3米，沿BD 方向行 走到达G 点，DG =5米，这时小明的影长GH ＝5米. 如果小明的身高为1.7米，求路灯杆 AB 的高度(精确到0.1米)．
例34.如图1，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高A B ＝h ，灯柱的
A B
C
D
B E
F
G H
丁组方案
高O P＝O′P′＝b，两灯柱之间的距离OO′＝m．
（1）若李华距灯柱O P的水平距离O A＝a，求他影子A C的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（D A＋A C）是否是定值？请说明理由；
（3）若李华在点A朝着影子（如图2箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．
27．3 位似
一、知识点：
1．位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．（新教材）
(位似图形定义一：如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.
位似图形定义二：如果两个相似图形的每组对应顶点所在的直线都交于一点,且对应边平行或共线，那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.)
注：位似变换是一种特殊的相似变换．对于位似图形，有外位似和内位似之分，外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外；内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上．
2．位似图形的性质：
（1）位似图形是相似图形．
（2）位似图形的每组对应点所在的直线都交于一点．
（3）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．（4）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行．
3．位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上或顶点，下面是位似中心不同的画法.
4．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -． 5．利用位似将图形放大或缩小.
二、典型例题：
例35．已知：如图，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A =4∶3，则△ABC 与________是位似图形，位似比为________；△OAB 与________是位似图形，位似比为________.
例36. 平面直角坐标系中，有一条“鱼”，它有六个顶点，则（ ） A .将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 B .将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 C .将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似 D .将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以
2
1
，得到的鱼与原来的鱼位似
例37．下图是几组三角形的组合图形，图①中，△AOB ∽△DOC ；图②中，△ABC ∽△ADE ；图③中，△ABC ∽△ACD ；图④中，△ACD ∽△CBD .
小Q 说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是O 和A . 小R 说：图③、④是位似变换，其位似中心是点D . 请你观察一番，评判小Q ，小R 谁对谁错.
例38．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ， 则点B 的横坐标是（ ）
A ．12
a -
B ．1
(1)2
a -+
C ．1(1)2a --
D ．1(3)2a -+
例39. 如图，△ABC 在方格纸中，
A A
A
A
B
B
B
B
C C
C
D
D
D
D E O ①
②
③
④
C
A
O C
A
B E
F
（1） 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A （2，3），C （6，2），并求出B 点坐标； （2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′； （3）计算△A ′B ′C ′的面积S ．
总结：
1． 几种图形变换的相同点与不同点：
平移、旋转与轴对称变换是一个几何图形运动到一个新的位置后，这个图形上任意两点的距离保持不变（即保距变换）；位似变换是一个几何图形在运动前、后的对应线段之比总为定值，而角的大小则不变（即保角变换）.
2．四种变换的坐标表示：以点P (a ,b )为例.
（1）将点P 向右平移m 个单位得P /(a +m ,b )；将点P 向下平移m 个单位得P /(a ,b －m ). （2）点P 关于x 轴的对称点P /(a ,－b )；点P 关于y 轴的对称点P /(－a , b ).
（3）将点P 绕坐标原点旋转180o 后，得到点P /(－a ,－b )，也叫P 与P /关于原点中心对称. （4）将点P 与原点的距离扩大到m 倍，得到点P /(ma ,mb )或(－ma ,－mb ).
八 专题举例
（a ）“一线三等角”
例40．如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三
角形有（ ）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 例41、如图，△ABC 中，AB =AC =2，∠A =90°,O 为 BC 中点，
E 在AB 上，
F 在AC 上，∠EOF =45°，
设BE =x ,CF =y , 求y 与x 之间的函数关系式；
例42、在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA =7，AB =4，∠ COA =60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． (1)求点B 的坐标；
(2)当点P 运动什么位置时，∠CPD =∠OAB ， 且
AB BD =8
5
，求出这时点P 的坐标。

例43．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ， ∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．
G
E A
D
B
C
P
F
A
B C D
（b ）分类讨论
例44. 一个钢筋三角架三长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角 架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允 许有余料)作为另两边，则不同的截法有 ( )
A .一种
B .两种
C .三种
D .四种
例45．如图，△ABC 中，AB =8，AC =6，如果动点D 以每秒2个单
位长的速度，从点B 出发沿BA 方向向点A 运动，同时点E 以每秒1个单位的速度从点A 出发测AC 方向向点C 运动，设运动时间为t
（单位：秒）. 问t 为何值时△ADE 与△ABC 相似？
例46．如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM = 时，ΔAED 与N ，M ，C 为 顶点的三角形相似.
例47．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O
在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′ 与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的
1
4
，那么点B ′的坐标是（ ） A ．（3，2）
B ．（－2，－3）
C ．（2，3）或（－2，－3）
D ．（3，2）或（－3，－2）
例48．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AB 的中点，AB =5，
AC =4，过D 做一条直线与另一边交于点E ，且使截得的三角形与 △ABC 相似，求DE .
例49．如图，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点（与C 、D 不重合），
使三角板的直角顶点与P 重合，并且一条直角边经过点B ，另一条直角边
所在的直线交于点E . 探究：（1）观察操作结果，你发现哪个三角形与△BPC 相似？为什么？
（2）当P 点位于CD 的中点时，（1）中两个相似三角形周长的比是多少？
（C ）等积式证明： 例50：（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE
于点P ．求证：QC PE
BQ DP
； （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．
A B
C · ·
D
E P
D C B
A。