第4讲：二次函数2

L3专题:初三（上）数学
第4讲 二次函数（二）
【知识点清单】
★§Ⅰ 二次函数图象的平移
抛物线22x y =向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ；一般地，对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图象，自变量增减 移，函数值增减 移。

通常情况下将c bx ax y ++=2)0(≠a 化成
()k h x a y +-=2
)0(≠a 形式，平移法则：左 右 ，上 下 。

★★★§Ⅱ 二次函数的图象与坐标轴的交点（1） 1、抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标________；
2、抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点由方程02=++c bx ax 是否有解决定，分如下三种情况：
（1）当042>-=∆ac b 时，抛物线与x 轴有两个不同的交点)0,(),0,(21x x ，其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的两根；
（2）042=-=∆ac b ，抛物线与x 轴有两个相同的交点),0,(0x 其中0x 是方程
02=++c bx ax 的根；
（3）042<-=∆ac b ，抛物线与x 轴没有交点。

注意：抛物线与坐标轴的交点通常也称抛物线与坐标轴的公共点。

★★§Ⅲ 二次函数的三种表达形式 1、一般式：c bx ax y ++=2)0(≠a ；
2、顶点式：()k h x a y +-=2
)0(≠a ；
3、交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y 。

★★★§Ⅳ 二次函数解析式的求法（待定系数法）
1、对于一般式c bx ax y ++=2)0(≠a ，只要知道抛物线上任意三个点的坐标，就可根据方程组求出待定系数c b a ,,；
2、对于顶点式()k h x a y +-=2
)0(≠a ，只要知道抛物线顶点坐标),(k h 和其中
任意一点就可求出待定系数a ；
3、对于交点式)0)()((21≠--=a x x x x a y ，只要知道抛物线与x 轴的两个交点坐标)0,(),0,(21x x 和其中任意一点就可求出待定系数a 。

【方法指导】
用待定系数法求抛物线的解析式，是中考常考题型之一，解题时，应当根据题设已知条件灵活、恰当地选择解析式的形式，以达到快速解决问题的目的。

【典例剖析】
考点1: 二次函数图象的平移
【例1】1、（2010湖北襄樊）将抛物线21
2
y x =-向上平移2个单位，再向右平移1
个单位后，得到的抛物线的解析式为____________．
解析：21(1)22x --+或213
22
x x -++
2、（2010年贵州毕节）把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为532+-=x x y ，则（ ）
A ．b =3，c =7
B ．b =6，c =3
C ．b =-9，c =-5
D ．b =-9，c =21
解析：选A.
3、（2009年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数222
y x x
=-+-的图象，需将2
y x
=-的图象（）．
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位；
B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位；
C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位；
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位。

解析：选D
4、（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E （x，2x+1）记，……则E（x，1
2
2+
-x
x）可以由E（x，2x）怎样平移得到？A．向上平移１个单位；B．向下平移１个单位；
C．向左平移１个单位；D．向右平移１个单位。

解析：选D
课堂训练1
1、（2010 四川成都）把抛物线2
y x
=向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）
（A）21
y x
=+（B）2
(1)
y x
=+
（C）21
y x
=-（D）2
(1)
y x
=-解析：选D
2、（2009年孝感）将函数2
y x x
=+的图象向右平移a(0)
a>个单位，得到函数
232
y x x
=-+的图象，则a的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B
3、（2010甘肃兰州）抛物线c
bx
x
y+
+
=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为3
2
2-
-
=x
x
y，则b、c的值为（）
A . b=2，c=2 B. b=2，c=0
C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=2
解析：选B
考点2: 二次函数图象与坐标轴的交点（1）
【例2】1、（2010 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线21
y x
=-与坐标轴的交点的个数是（）
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：A
2、（2008年湖北省咸宁市）抛物线2
28
y x x m
=++与x轴只有一个公共点，则m的值为．
解析：8
=
m
3、（2010 福建三明）抛物线772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．4
7
-≥k
B ．47-≥k 且0≠k
C ．4
7
->k
D ．4
7
->k 且0≠k
解析：选B
【例3】1、已知抛物线12--=x x y 与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式
20092+-m m 的值为（ ）
A ．2007
B ．2008
C ．2009
D ．2010 解析：选D
2、（2010黑龙江绥化）抛物线2
42
m
y x x =-+与x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此
抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 . 【答案】（3，0）
【例4】抛物线c bx ax y ++=2的一部分在坐标系如图所示，对称轴交x 轴于（1，0）。

（1）若1≠m ，那么)(b am m b a +>+成立吗？（2）若抛物线与x 轴的一个交点坐标为A （3，0），那么它与x 轴的另一个交点坐标为C （ ）,=||AC 。

解析：（1）成立；（2）)0,1(-C ，4||=AC .
课堂训练2
1、抛物线1)1(2-+=x y 与y 轴的交点坐标为 ，与x 轴的交点坐标
为 。

解析：略
2、若二次函数222)1(2m m x m x y -+-+-=的图象的对称轴为y 轴，此图象的顶点A 和它与x 轴二交点B 、C 所构成的三角形的面积是（ ） A ．
21 B ．1 C ．2
3
D ．2 解析：略
3、（2010 湖南株洲）二次函数23y x mx =-+的图象与
x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是 ． 解析：4
3、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，
且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（ ）
A. 0
B. －1
C. 1
D. 2
4、(2008年安徽省)如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c
的图象，在
下列说法中：
①ac ＜0；②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是3,121=-=x x ； ③a ＋b ＋c ＞0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

正确的说法有_____________。

(把正确的答案的序号都填在横线上) 解析：略
考点3 用待定系数法求抛物线解析式
【例5】（天津市）已知一抛物线与x 轴的交点是A(-2,0)、B(1,0)，且经过点C(2,8) （1）求该抛物线的解析式（用2种方法求）；（2）求该抛物线的顶点坐标。

【例6】根据已知条件求下列各题抛物线的解析式：
1、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
2、（2010云南楚雄）已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A (1，0)，B (3，0).与y 轴相较于点C （0，3）．
3、已知二次函数)62(222-+-+-=k k kx x y ，k 是正整数，它的图象与x 轴交于点A 和点B ，且点A 在原点左边，点B 在原点右边。

【例7】（2010广东中山）已知二次函数c bx x y ++-=2的
图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），
与y 轴的交点坐标为（0，3）。

（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式； （2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围。

答案：（1）22323b c y x x =-=-++，， （2）13x -<<
课堂训练3
（2010年宁波市）如图，已知二次函数c bx x y ++-=22
1
的图象
经过A （2，0）、B （0，－6）两点。

（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ， 连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。

【思维拓展】
考点4：综合运用
【例8】（四川资阳）已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过两点
(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( ) A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大； B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小；
C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，
函数值y 随x 的增大而增大；
D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大。

【例9】系数c b a ,,满足怎样的关系时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点到y 轴的距离相等？
【例10】欲使代数式k x k kx +++)21(2的值恒为非正数，求k 的取值范围。

【例11】（2010安徽蚌埠）已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,
是方程
0))((3=---n x m x 的两个根，则实数b a n m ,,,的大小关系可能是（ ）
A ．n b a m <<<
B ．b n a m <<<
C ．n b m a <<<
D ．b n m a <<< 解析：选D ，利用函数图象解之。

【例12】已知n m ,为实数，证明关于x 的方程1))((=---n m x m x 必有两个实根，且
n m m +,的值均介于两根之间。

课堂训练4
1、抛物线m x m x y +-+-=)1(2与y 轴交于(0,3)点。

（1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？（4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？
2、已知抛物线)1(2)2(22-++-=k x k x y ． ，
(1)试证：k 取任意实数时，此抛物线与x 轴有两个交点；
(2) k 取何值时，这两个交点在y 轴的同侧，并且判定它们同在y 轴的左侧，还是同在y 轴的右侧；(3)如果此二次函数的对称轴是直线x ＝3，求此抛物线与x 轴的两个交点及顶点所成的三角形的面积．
3、抛物线562+-=x x y 关于x 轴对称的图象的解析式为 ，关于y 轴对称的图象的解析式为 。