线代练习卷(测试1-6)含答案

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测试一 测试二 测试三 测试四 测试五 测试六
测试一
一、选择题（每小题3分共18分）
1. 设行列式(,1,2,,5)ij a m i j ==⋅⋅⋅，将ij a 的第二列元素乘以2后与第三列交换，再转置，则结果为( ).
A. 2m -
B. 32m -
C. 32m
D. 2m 2. 四阶行列式中含负号并且包含元素2331,a a 的项为( ). A. 12233144a a a a B. 14233142a a a a C. 14233144a a a a D. 12233142a a a a
3. 非齐次线性方程组A n m ⨯X=b 有解的充分必要条件是（ ）. A. ()r A m = B. ()r A n = C. ()(,)r A r A b = D. ()(,)r A r A b n ==
4. 设A 为n 阶矩阵，则在下列矩阵中，为反对称矩阵的是（ ）. A. T AA B. T A A C. T A A + D. T A A -
5. 设A 是n 阶矩阵，α是任意n 维列向量，B 是任意n 阶矩阵，则在下列命题中，错误的是（ ）
A. 若AB O =， 则A O =
B. 若T B AB O =，则A O =
C. 若0T A αα=，则A O =
D. 若A α=0，则A O = 6. 向量组（I ）
12,αα；（II ）：12,,ααβ；（III ）：12,,ααγ，如果
，
，则对任意常数k ，成立的是
A.向量组12,,k ααβγ+线性相关
B.向量组12,,k ααβγ+线性相关
C.向量组12,,k ααβγ+线性无关
D.向量组12,,k ααβγ+线性无关
二、填空题（每小题3分共18分）
1. 关于x 的多项式11
1
22x
x
x x x
---中含3x 项的系数是_______ 。

2．设A ，B 均为3阶方阵，且4,2,A B ==则=-)(21A B T 。

3. 当λ=____ ___时，方程组1212
(21)0
0x x x x λλλ+-=⎧⎨+=⎩有非零解。

4. 设三阶方阵A ，B 满足关系式1
6A BA A BA -=+，且1
00310
04100
7A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
， 则B = 。

5. 设矩阵A 为n 阶方阵，若已知||A m =，则||mA = 。

6. 设向量123,,ααα线性无关，且11232βααα=-+，213βαα=+，312βαα=-，则向量组321 , ,βββ线性 ___．（无关，相关） 三、计算题 （每小题10分共50分）
1．计算行列式
1
2141
111
1411618164
--的值。

2．计算n 阶行列式的值
12n 1
111111
1111
1
11111
1
1
1
1n n
a a D a a -++=++
(0,1,2,)i a i n ≠= 。

3. 设矩阵100011110B=101111110A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
，矩阵X 满足 AXA BXB AXB BXA I +=++，其中I 为3阶单位阵，试求矩阵X 。

4.已知⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1614,222,1113,01014321ααααa ，根据a 的取值情况，求
4321,,,αααα的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示。

5.根据,m n 的不同取值，讨论线性方程组1
312312
32202x x x x x x x mx n
+=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩的可解性，并在有
解时求出解。

四、证明题（每小题7分共14分）
1. 设向量组 21 ,αα 线性无关，而向量组βαα , ,21线性相关，证明向量β 可以由向量21 ,αα线性表示，并且表示法唯一。

2. 设A 为n 阶非零实矩阵，*T A A =，其中*A 是A 的伴随矩阵。

证明：A 是可逆矩阵。

参考答案
一、选择题（每题3分共18分）
1. A ；
2. B ；
3. C ；
4. D ；
5. C ；
6. D ； 二、填空题（每题3共18分）
1.2-；
2. 4 ；
3. 1 ；
4. 300020001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭；5.1n m + ；6. 相关。

三、计算题（每题10分共50分） 1．解:
1
214111*********
14116141161
816418164
(41)(42)(4(1))(11)(12)(21)(325(2)(3)1)180
--=-
--=----------=-⨯⨯⨯-⨯-⨯=- 2．解：
11
2n 11
1
11111000
0000
00
n n
a a a D a a a a -+-=--
111221
11111000000000
n n n
a a a a a a a a -++
+=
1212
1111n n a a a a a a ⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
3. 解:由AXA BXB AXB BXA I +=++ 得
()()AX A B BX A B I ---= 即()()A B X A B I --=
又因为 100011111110101011111110001A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111
||011100
1
A B ---=-=≠，所以A B -可逆，
12
[()]X A B -=- 1112()011001A B -⎛⎫
⎪
-= ⎪ ⎪⎝⎭
，
12125[()]012001X A B -⎛⎫
⎪
=-= ⎪
⎪⎝⎭
4. 解：
()12341324132401210121,,,1161160121000013
241047012101210222002000000000a a a a αααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当2a =-时，21,αα是一个极大线性无关组，,7,24213213αααααα-=+-=当
2a ≠-时，
()123413241
04
701210
1
2
1,,,1160020012
1000010471007012101010010001000000000a a αααα-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
=→
⎪ ⎪
+
⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
321,,ααα是一个极大线性无关组，2147ααα-=
5. 解: 101210
121210011
1210013A m n m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
（1） 当1,3m n =≠时，方程组无解.
（2） 1,3m n ==时, 132321x x x x +=⎧⎨-=-⎩, 得解: 123
21()x c
x c c R x c
=-⎧⎪
=-+∈⎨⎪=⎩
（3）当m ≠1时，2110012010130011m n m m n A m n m -+⎛
⎫ ⎪- ⎪
-+- ⎪→ ⎪- ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
得唯一解: 1
23211
2131m n x m m n x m n x m -+⎧
=⎪-⎪
-+-⎪
=⎨-⎪
-⎪=⎪-⎩
四、证明题（每小题7分共14分）
1. 证明：因为向量组βαα , ,21线性相关，则存在不全为零的321 , ,k k k 使得
0 32211=++βααk k k .
若 03=k ，则由21 ,αα 线性无关，得 021==k k ，与已知矛盾！ 所以03≠k ，则有23
2131 ααβk k
k k --
=，即β 可以由向量21 ,αα线性表示. 下证唯一性，设2211ααβc c += （1）
2211ααβb b += （2）
由(1)(2)-，得0)()(222111=-+-ααb c b c ，由21 ,αα 线性无关，有
2211,b c b c ==，因此证明表示法唯一。

2. 证明： 由题设，设()ij n n A a ⨯=。

因为*T A A =，故(,1,2,,)ij ij a A i j n == 。

由于A O ≠，不妨设110a ≠。

于是
222
111112*********||0n n n A a A a A a A a a a =+++=+++>
所以A 是可逆矩阵。

测试二
一、选择题（每小题3分共18分）
1. 设行列式(,1,2,,5)ij a m i j ==⋅⋅⋅，将ij a 的所有元素乘以2后再转置，所得行列式的值为( ).
A. 32m
B. 32m -
C. 2m -
D. 2m 2. 四阶行列式中取正号并且包含元素2231,a a 的项为( ). A. 13223144a a a a B. 14223143a a a a C. 14223144a a a a D. 12223143a a a a 3. 设,A B 均为n 阶矩阵，在下列命题中正确的是( )。

A ．若A 或
B 不可逆，则AB 不可逆 B. 若A 或B 可逆，则AB 可逆 C. 若A ，B 均不可逆，则A B +不可逆 D. 若A ，B 均可逆，则A B +可逆4. 设,A B 为n 阶矩阵，，满足等式AB O =，则必有（ ）。

A. A O =或B O =
B. A B O +=
C. ||0A =或||0B =
D. ||||0A B += 5. 当（ ）时，齐次线性方程组A n m ⨯X=0有非零解.
A. ()r A m =
B. ()r A n =
C. ()r A m <
D. ()r A n <
6. 设A 是n 阶矩阵，()r A r n =<的充分必要条件是（ ）。

（A ）A 的任意一个r 阶子式都不等于零 （B ）A 的任意一个r+1阶子式都等于零 （C ）A 的任意r 个列向量线性无关
（D ）A 的任意r+1个列向量线性相关，而有r 个列向量线性无关
二、填空题（每小题3分共18分）
1.
789
1103
2214043
5
x --中x 的系数为____ ___。

2．已知A 为4阶方阵，且2,A =-则 A A = 。

3. 当____ ___时，齐次线性方程组 20
20
x ky kx y +=⎧⎨+=⎩ 仅有零解.
4. 设矩阵A 为10阶方阵，若已知||A m =，则||mA = 。

5.设矩阵2113,3122A B -⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，AB = 。

6. 设向量123,,ααα4α线性无关，且211 ααβ+=，322 ααβ+=，433 ααβ+=，144 ααβ+=，则向量组4321 , , ,ββββ线性 ___。

（填无关或相关） 三、计算题 （每小题10分共50分）
1. 解方程
2
2
11231223
023152319x x -=-
2．计算行列式2
2
2
2
2
00000
220000
1
1
1
n n D n ---=+。

3.设矩阵101020101A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，矩阵X 满足2AX I A X +=+，其中I 为3阶单位矩阵。

试求矩阵X 。

4. 解线性方程组1223
3441x x a
x x b x x c x x d
-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩。

5.设向量组
123(1,,1,2),(0,1,1,3),(1,1,0,1)T T T t ααα===-.
问t 取何值时，该向量组的秩为2。

四、证明题（每小题7分共14分）
1. 设1121212,,,r r βαβααβααα==+=+++ ,且向量组
12,,,r ααα 线性无关,证明向量组12,,,r βββ 线性无关。

2.证明：如果对称矩阵A 为非奇异矩阵，则1A -也是对称的。

参考答案
一、选择题（每题3分共15分）
1. A ；
2. B ；
3. A ；
4. C ；
5. D ；
6. D 二、填空题（每题3共15分）
1.16-；
2.32- ；
3. 2± ；
4. 11
m ； 5.0857⎛⎫
⎪⎝⎭
；6.相关
三、计算题（每题10分共50分）
1.
解: 221x -=,或295x -=, 四次多项式方程最多四个根, 所以:12x or =±±
2．
解：10
1
02200
0002(1)
2
2
2
2
n D n n n +-=
-+
2(1)2(1)!n n n +=-+ 3.
解: 由于2AX I A X +=+，
故2()()()A I X A I A I A I -=-=-+
101100001020010010101001100A I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，001||01010100A I -==-≠
所以A I -可逆，所以1201()()()030102X A I A I A I A I -⎛⎫
⎪=--+=+= ⎪
⎪⎝⎭
4.
解：1100
11000110
0110
0011001110010000a a b b A c
c
d a b c d --⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
--
⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--
⎪
⎪
-+++⎝⎭⎝⎭
(1)当0a b c d +++≠时，方程组无解.
(2)当0a b c d +++=时, 10010
10100110
000a b c b c A c
-++⎛⎫
⎪
-+
⎪
→ ⎪- ⎪
⎝⎭
142434
x x a b c x x b c
x x c -=++⎧⎪-=+⎨⎪-=⎩, 得解: 1121
13141
()x C a b c
x C b c C R x C c x C =+++⎧⎪=++⎪∈⎨=+⎪⎪=⎩
5. 解：以123,,ααα为列，构造矩阵A ，再对A 施以初等行变换，化为最简阶梯形矩阵
1
011
01110
111100
02231000t A t ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪
=→
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
当2t =时，123(,,)2r ααα=。

四、证明题（每小题7分共14分） 1.证明： 设11220r r k k k βββ+++= ，则有
1122()()()0r r p r p r r k k k k k k k αααα+++++++++++= 因向量组12,,,r ααα 线性无关,故
⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧==++=+++000
221r r r k k k k k k ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k
因为011001101
1≠= 故方程组只有零解。

则021====r k k k
所以12,,,r βββ 线性无关 2.证明： 因为A 为对称、非奇异矩阵，所以 ,||0T A A A =≠ …
111()()T T A A A ---== ，故1A - 为对称矩阵
测试三
一、选择题（每小题3分共15分）
1. 设行列式
111221
22a a m a a =，131123
21
a
a n a a =，
则行列式111213
212223
a a a a a a ++等于( )。

A ．m n +；
B ．()m n -+；
C ．n m -；
D ．m n -。

2. 设A 是n 阶方阵，且A 可逆，则下列选项不正确的是( )。

A ． 0A ≠ B. 0Ax =有非零解，
C. A I →
D. A 可表示成一些初等矩阵的乘积。

3. 如果线性方程组123231
2330 4050
x kx x x x kx x x +-=⎧⎪
+=⎨
⎪--=⎩有非零解，则k =( )。

A ．1； B ．0； C ．3-； D ．2。

4．设矩阵A 的秩为r ，则A 中( )。

A ．至少有一个r 阶子式不等于0；
B ．所有1r -阶子式全为0；
C ．所有1r -阶子式都不为0；
D ．所有r 阶子式都不为0。

5. 设向量组 ()I ：12,,,s ααα 的秩为r ,则下述说法不正确的是( )。

A ．向量组()I 中至少有一个含有r 个向量的部分组线性无关； B ．向量组()I 中任何含有r 个向量的线性无关组与向量组()I 可互相线性表示； C ．向量组()I 中任何含有1+r 个向量的部分组皆线性相关； D ．向量组()I 中任何含有1r -个向量的部分组皆线性相关。

二、填空题（每小题3分共15分）
1. 设111111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，123124B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭
,则2A B += _____。

2. 设向量(2,3,5)T α=-与向量(4,6,)T a β=-线性相关，则a = 。

3. 设A ，B 都是5阶矩阵,且||3A =-，||2B =,则=⋅A B 。

4.设A 为34⨯阶矩阵，其秩为3，若12,ηη为非齐次线性方程组AX B =的2个不同的解，则它们的通解为 。

5.向量组1(1,2,1,3)T α= ， 2(4,1,5,6)T α=--- ，3(1,3,4,7)T α=---的极大无关
组是 __。

三、计算题 （每小题10分共50分）
1．设120231340,240121A B ⎛⎫
-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
-⎝⎭
，求T
AB 和 |4|A 。

2．计算n 阶行列式的值
12311
1
00002200
000200
011n n D n
n n
---=
---
3.设矩阵12102242
6621023333
34A --⎛⎫
⎪--
⎪
= ⎪
-
⎪⎝⎭
，求矩阵A 的秩及矩阵A 的列向量组的一个
极大线性无关组。

4.已知A+B=AB ，且121342122A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵B 。

5.求方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=--+=++--=-+=+++13
592 42321 42 5 32 4321432142
14321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

四、证明题（每小题10分共20分）
1. 若是对称矩阵，是反对称矩阵，证明：为对称矩阵。

2.设向量组123,,ααα线性无关，证明：向量组122331,,αααααα+++也线性无关。

A B AB BA -
参考答案
一、选择题（每小题3分共15分）
1. D ；
2. B ；
3. C ；
4. A ；
5. D 。

二、填空题（每小题3共15分）
1.337137⎛⎫ ⎪--⎝⎭；
2. -10 ；
3. 5 32 -⨯ ；
4. 121 ()X c c ηηη=+-，其中为任意实数 ；
5. 12,αα或13,αα或23,αα 三、计算题（每题10分共50分） 1．解:
120228634034181012110310T AB -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
|4|A =3120
12
434064134
121
⋅=⨯⨯
- 64(1423)128=⨯⨯-⨯=- 2． 解：
(1)(2)(1)
(3)(2)
21
22201000
00
20
0000200
1n n n n n n n n D n n
++-+----=
--
1
00002
00
(1)
2
002000
1n n n n
--+=
--
(1)
(1)(2)(2)(1)2
n n n n +=
---- 1
1(1)!
(1)(1)!(1)22
n n n n n n --+=--=- 3.
解: 设矩阵A 列向量为123(1,2,2,3),(2,4,1,3),(1,2,0,3)T T T ααα=-=--=-，
45(0,6,2,3),(2,6,3,4)T T αα==-。

12102121
022*******
6221023
03221333
34096
32A ----⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪---
⎪ ⎪
=→ ⎪ ⎪--
⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
1210212102000620322103221000310003100000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
所以矩阵A 的秩为3，矩阵A 的列向量组的一个极大无关组为
124,,ααα。

4.
解：因为A B AB +=，所以()A I B A -=，则1()B A I A -=-。

因为
121100021342010332122001121A I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故
21121021
1
2
13
32342031
024*********
122⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12112210
000
10
2112102
112103102401
0103⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 100001100
10
01325010
103010103001
325⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭ 所以
001103325B ⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
5. 解：方程组的增广阵为
12315123
15240110063912324006391295130012618A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----
⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
1112315120221313001001222200000000000000000000⎛
⎫-
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
由于()()24r A r A ==<，知方程组有无穷多组解，且原方程组等价于方程组
1243411222
31 22
x x x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
故24,x x 为自由变量，所以分别令 224410, , 02x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭得等价方程组对
应的齐次方程组的基础解系为
2100ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1， 210
12ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
，
求特解：令240x x ==，得112x =，33
2x =，故方程组的通解为
122100X c c -⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭10
12⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+023021
其中12,c c 为任意常数。

四、证明题（每小题10分共20分）
1. 证明：因为是对称矩阵，是反对称矩阵，即
,T T A A B B ==-，
所以 ()()()T T T AB BA AB BA -=-
A B
T T T T B A A B =-， AB BA =- 即AB BA -是对称矩阵。

2. 证明： 令存在一组数123,,k k k 使下式成立：
112223331()()()k k k O αααααα+++++=， 整理得：
(*) 131122233()()()k k k k k k O ααα+++++=， 因为123,,ααα线性无关，所以
131223
00k k k k k k +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
解得 1230k k k === 因此，向量组122331,,αααααα+++线性无关。

测试四
一、选择题（每小题3分共15分）
1. 行列式：12
021
k D k -=
≠-，则( )
A ．1k ≠； B. 3k ≠； C. 1k ≠-且3k ≠； D. 1k ≠或3k ≠-。

2.设A 为5阶方阵,若()3r A =，则齐次线性方程组AX O =的基础解系中含有解向量的个数为( )
A. 2；
B.3；
C. 4
D. 5。

3.设矩阵1243A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则矩阵A 的伴随矩阵*A =( )
A. 3241⎛⎫ ⎪⎝⎭；
B. 3241-⎛⎫ ⎪-⎝⎭；
C. 3421⎛⎫ ⎪⎝⎭；
D. 3421-⎛⎫
⎪-⎝⎭。

4．下列矩阵中( )是初等矩阵。

A ．101020001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭；B ．001014100⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；C ．
100014001⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；D ．110011001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

5. 设向量组 ()I ：12,,,s ααα 的秩为r ,则下述说法不正确的是( )。

A ．向量组()I 中至少有一个含r 个向量的部分组线性无关；
B ．向量组()I 中任何含r 个向量的线性无关组与向量组()I 可互相线性表示；
C ．向量组()I 中任何含有1r +个向量的部分组皆线性相关；
D ．向量组()I 中任何含有1r -个向量的部分组皆线性相关。

二、填空题（每小题3分共15分）
1.设A 为n 阶反对称矩阵，则T A A += 。

2. 设1
00
225312
D =-= 。

3．设方程组121
122
22x kx x kx x x +=⎧⎨-=-⎩有非零解，则k = 。

4．向量组123(1,2,5),(3,2,1),(3,10,17)T
T
T
ααα=-=
-=
-的极大线性无关组
为 。

5. A 为3阶矩阵，且满足||2A =-，则1||A -=________。

三、计算题（每小题10分共50分）
1．设021123112,014111A B -⎛⎫
⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
---⎝⎭
，求T
AB 和 |5|A 。

2.计算n 阶行列式的值
11111
111111111111
1
1
1
n n n D n n
=。

3.设矩阵12102242
662102333334A --⎛⎫
⎪--
⎪
= ⎪-
⎪⎝⎭
，求矩阵A 的秩及矩阵A 的列向量组的一个极大线性无关组。

4. 设41213221,2231131A B --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，求X 使AX B =。

5.求方程组
123412341
234 2 21
24 522 4
x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
+++=⎨⎪---+=-⎩， 的通解。

四、证明题（每小题10分共20分）
1. 已知矩阵A 与矩阵B 可交换，矩阵A 与矩阵C 可交换，证明：A 、B 、C 是
同阶矩阵，且矩阵A 与矩阵BC 可交换。

2.设向量组123,,ααα线性无关，证明：122331,,αααααα+++也线性无关。

如果
参考答案
一、选择题（每小题3分共15分）
1. C ；
2. A ；
3. B ；
4. C ；
5. D 。

二、填空题（每小题3共15分）
1. 0
2. -1
3. 1 ±
4. 12 , αα或13 , αα或23 , αα
5.
1 2
-
三、计算题（每题10分共50分）
1．解: 021101
122111134T
AB -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭ 02110161
1221971113463--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
30
2
1
021
|5|511212511
211100
1
A --==---
21
125
25001
-=-=- 2. 解:
n
n n n n n n n n n n n n n 1
1
1
12111121111211112111112111
1
1111111111111111D
-----==
n n n n n 1111111111111111
11111)
12(
-=
1)1)(12(1
000
0100000010000010
11111)
12(---=-----=n n n n n n n n
3.解: 设矩阵A 列向量为123(1,2,2,3),(2,4,1,3),(1,2,0,3)T T T ααα=-=--=-，
45(0,6,2,3),(2,6,3,4)T T αα==-。

12102121
022*******
6221023032
21333
34096
32A ----⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪---
⎪ ⎪
=→
⎪ ⎪
--
⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
1210212102000620322103221000310003100000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
所以矩阵A 的秩为3，矩阵A 的列向量组的一个极大无关组为
124,,ααα。

4.解： 412130343722122221223113111213------⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭
034371121304508045081121303437-------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭
1121311213011310113103437001124------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭
1012210010
201131010153001124001124---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
10010
2010153001124⎛⎫ ⎪
→-- ⎪ ⎪⎝⎭
所以 10
2153124X ⎛⎫ ⎪=-- ⎪
⎪⎝⎭
5 . 解：线性方程组的增广矩阵为：
121211212124
115003331221400333A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝
⎭⎝⎭
121211212100333001110006000000--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
120120011100000⎛⎫
⎪
→- ⎪ ⎪⎝
⎭
由于()()24r A r A ==<，知方程组有无穷多组解，且原方程组等价于方程组
124
3
4221 x x x x x =--⎧⎨=+⎩
故24,x x 为自由变量，所以分别令 224410, , 01x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭得等价方程组对应
的齐次方程组的基础解系为
2100ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1， 21011ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
， 求特解：令240x x ==，得12x =，31x =，故方程组的通解为
12100X c -⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭21011c -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+01
02
其中12,c c 为任意常数。

四、证明题（每小题10分共20分）
1. 证明： 因为,AB BA AC CA ==， 所以 ()()A B C A B C
B A C
== ()B AC BCA ==
()BC A =
即A 与BC 可换。

2.证明： 令存在一组数123,,k k k 使下式成立：
112223331()()()k k k O αααααα+++++=， 整理得： (*) 131122233()()()k k k k k k O ααα+++++=， 因为123,,ααα线性无关，所以
131223
00k k k k k k +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
解得 1230k k k ===
因此，向量组122331,,αααααα+++线性无关。

测试五
一．单项选择题（每小题3分，共21分）
1. 行列式 2
10
02
00x
x 中2x 的系数为（ ）.
A ． -2 B. 2 C. 1 D. -1 2. 4阶行列式)(ij a A =中包含因子1233a a 且带负号的项是（ ）.
A. 12213344a a a a
B.12243341a a a a
C. 12213342a a a a
D.12243344a a a a 3. 设A 、B 为n 阶矩阵，则（ ）.
A. AB BA =，
B. AB BA =,
C. AB =0,则A =0或B =0
D. ()T
T T AB A B = 4. 设A 是n 阶方阵，且A 可逆，则下列式子不正确的是( ).
A ．()()*
1
1*A A --=， B.()T
T A A =，
C ．()*
*A A =， D.()1
1A A --=
5.设A 为m ×n 矩阵，Ax =0是非齐次线性方程组Ax =b 所对应的齐次线性方程组 ，则下面结论正确的是（ ）. A . 若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解. B.若Ax =b 有无穷多组解，则Ax =0只有零解. C.若Ax =b 有无穷多组解，则Ax =0有非零解. D.若Ax =0有非零解，则Ax =0有无穷多组解.
6. 设A 是n 阶方阵，且A 可逆，则（ ）.
A ．0A ≠ B. 0Ax =只有零解， C. E A → D. 以上都成立.
7.设1231001,1,1133ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则 ( ).
A. 12,αα线性相关
B. 13,αα线性相关
C. 123,,ααα线性相关
D. 123,,ααα线性无关
二．填空题（每小题3分，共24分）
1. 排列 514632是 排列(奇或偶).
2．已知1
231
231
2
3
1
2
a a a
b b b
c c c =，则121312131
2
1343()
43()43()
a a a a
b b b b
c c c c ++=+ . 3.已知B A 、为n 阶方阵，23A B ==-，则2T A B ＝_______________.
4．设A 为4阶矩阵，16
1
=
A ，则1(2)A -＝_______________. 5．若方程组23
4x y x my n -=⎧⎨+=⎩有无穷多解,则m n +=_ _ __.
6. 已知矩阵A 的秩()3R A =，则 ()T R A =________________.
7. 1111491625
234582764125
D =＝______ ___.
8. 设300011010A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，则=+-1)(E A .
三．计算题 （每小题10分，共40分）
1. 已知行列式13523211200010300100101
n n n D n n
⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅
，求11121n A A A +++ .
2. 已知412100056,020,816003P Q -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
若AP PQ =,求4A .
4. 已知向量组：()()()123123013413472===-, , , ααα
()44048=-α，求向量组的一个最大线性无关组, 并将其它向量用此
最大线性无关组线性表示。

4. 解线性方程组12341234
23412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b
+++=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪+++=⎩.
四．证明（每题5分，共15分）
1. 设2A A E +=，证明:()A E -可逆，并求()1
A E --.
2. 设12,,s ηηη 是非齐次线性方程组AX b =的s 个解, 121,s k k k +++= 其中,1,2,,i k R i s ∈= 求证: 1122s s x k k k ηηη=+++ 也是它的解.
3. 若A 为n 阶矩阵, n 为奇数，且,1T AA E A ==，求证:0A E -=.
参考答案
一、 单项选择题（每小题3分，共21分）
1. B
2. A
3. B 4． C 5. C 6. D 7. D
二、填空题（每小题3分，共24分） 1. 奇 2. 6 3. -12
4． 1 5. 4 6 . 3 7. -12 8.
三．计算题（每题10分，共40分） 1.
1004011012⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
解: 11121n A A A +++ =
1111112000103001001
01
n n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅
1111111202
00
00300000100
n n n
--⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ =11
1!123
n n ⎛⎫---- ⎪⎝⎭
2. 解:
1A PQP -=
4
441446A PQ P Q Q -====
3. 解:
()
1234
1
134234034740128⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪
--⎝⎭
T
T T T ,,,α
ααα ()
1234
1
0512012800000
000⎛⎫
⎪
--
⎪
−−→ ⎪
⎪
⎝⎭
r
T T T T ,,,α
ααα
极大无关组：12,αα
31241252128=-=-,,αααααα
4.解:
11111111111
01123
211012230
1223(,)
0122300000
0005
433
00
0200002a A b a a b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪
=→→
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(1)0,2 a b ≠≠⇒或无解
112212
3142
2322(2)0,2 x c c x c c a b x c x c =-++⎧⎪=--⎪==⇒⎨=⎪⎪=⎩无穷多解
其中1c 、2c 为任意常数.
四．证明（每题5分，共15分） 1.证明: 22A A E E +-=-
(2)()A E A E E +-=-
()
()1
2A E A E --=-+
2. 证明: 1122()s s Ax A k k k ηηη=+++
112212(),s s s k A k A k A k k k b b ηηη=+++=+++= 所以1122s s x k k k ηηη=+++ 也是AX b =解.
3. 证明: T T A E A AA A E A -=-=-
(1)T T n E A A E A E =-=--=--
0A E ∴-=
测试六
一．单项选择题（每小题3分，共21分）
5. 关于x 的多项式11
1
2
2x
x
x x x
---中含3x 项的系数是（ ）. A ． -2 B. 2 C. 1 D. -1 6. 要使排列（372m14n5）为偶排列，则（ ）.
A. 6,8m n ==
B. 8,6m n ==
C. 6,6m n ==
D. 8,8m n ==
7. 设行列式(,1,2,,9)ij a m i j == ，将ij a 的第二列元素乘以3后与第三列交换，
再转置，所得行列式的值为( ）.
A. 81m
B. 3m -
C. 81m -
D. 3m 8. 设A 、B 为可交换矩阵，则不正确的是（ ）.
A. AB BA =
B. AB BA =,
C. AB =0,则A =0或B =0
D. ()T
T T AB A B = 9. 下列（ ）不一定是对称阵.
A. T A A
B. T AA
C. 对角阵A
D. 非奇异矩阵A 6．n 元线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是( ）.
A. (,)R A R A b （）=
B.R
A n （）= C. (,)R A b n = D. A 可逆 7.含有零向量的向量组( ).
A. 线性相关
B. 线性无关
C. 没有最大无关组
D. 都不对
二．填空题（每小题3分，共24分）
1. 排列 514632 的逆序数是 .
2．已知1
23
1
2312
3
2a a a b b b c c c =，则1
21131
2113121
1342()
42()42()
a a a a a
b b b b b
c c c c c -+-+=-+ . 3.已知B A 、为4 阶方阵，23A B ==-，则212T A B A -＝_______________.
4．矩阵913λ⎛⎫
⎪⎝⎭
可逆的充要条件是________________.
5．矩阵111111a A a a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭,若()1R A =,则a =____ __,
6．设500034023A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，则=3A .
7．(1 2 5)(2 10)k αβ==，，；，，,βα与线性相关,则=k __ __. 8. 设α = （1，2，-4），β =（-3，4，1），A =αT β， 则4A = .
三．计算题 （每小题10分，共40分）
1. 已知行列式118531
491625
234582764125
D -=，求11121314A A A A +++.
2. 已知112200056,010,016001P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
若AP PQ =,求4A .
3. 已知向量组：()()()123123013413472===-T
T
T
, , , ααα
()44048=-T
α，求向量组的秩及一个最大线性无关组,并将其它向量用
此最大线性无关组线性表示。

4. 解线性方程组12345124512
345234562341335
x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪
+++=⎨⎪+---=-⎩.
四．证明（第1题6分，第2题9分，共15分，） 1.设2A A =，证明()A E +可逆，并求()1
A E -+.
2. 设123,,ααα线性无关，1333222113462ααβααβααβ+=+=+=，，，
证明：123,,βββ是线性无关的. …
参考答案
一．单项选择题（每小题3分，共21分）
1. A
2. A
3. B 4． C 5. D 6. A 7. A
二．填空题（每小题3分，共24分）
1. 9
2. 16
3. -96 4．3λ≠ 5. 1 6 . 125 7. 2 8.
三．计算题（每题10分，共40分）
1. 解: 11121314A A A A +++ =1111
491625
234582764125
11111111491625234523454916258276412582764125==-
=12-
2. 解: 1A PQP -=
4
44144(2)16A PQ P Q Q -====-=
34
168212164-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪
--⎝⎭
3. 解: ()
1234
1134234034740128⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
--⎝⎭
,,,αααα
()
1
234
10512012800000
000⎛⎫
⎪
--
⎪
−−→ ⎪ ⎪
⎝⎭
r
,,,α
ααα ()
12342=R ,,,αααα
最大无关组：12,αα
31241252128=-=-,,αααααα
4. 解: 123456230141113315⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪----⎝⎭(A,b)
109107160167611000000----⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
r
(A,b)
1123
212331
12342
5316910711676,,x c c c x c c c x c c c c R
x c
x c =-+++⎧⎪=---⎪⎪
∴=∈⎨⎪=⎪=⎪⎩
四．证明（第1题6分，第2题9分，共15分）
1. 证明: 2A A O -= ， 222A A E E --=-
(2)()2A E A E E -+=-
1
(2)()2
A E A E E --+=
故A E +可逆 , 且11
()(2)2
A E A E -+=--
2. 证明: 设 1122330k k k βββ++=
即 ()()()13112223332640k k k k k k ααα+++++=
所以 1312233020640
k k k k k k +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
0D ≠ 得 1230k k k ===
从而123,,βββ线性无关。