《信号与系统》考研试题解答第七章 系统函数

第七章 系统函数
一、单项选择题
X7.1（浙江大学2004考研题）一个因果、稳定的离散时间系统函数)(z H 的极点必定在z 平面的 。

（A ）单位圆以外 （B ）实轴上 （C ）左半平面 （D ）单位圆以内 H (s )只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h (t )应是 。

（A ）指数增长信号 （B ）指数衰减振荡信号 （C ）常数 （D ）等幅振荡信号 X7.3（浙江大学2003考研题）如果一离散时间系统的系统函数)(z H 只有一个在单位圆上实数为1的极点，则它的h (k )应是 。

（A ）ε(k ) （B ）)(k ε- （C ）)()1(k k
ε- （D ）1
X7.4（浙江大学2002考研题）已知一连续系统的零、极点分布如图X7.4所示，
1)(=∞H ，则系统函数H (s )为 。

（A ）
2+s （B ）1+s （C ）)2)(1(++s s （D ）1
-s X7.5（西安电子科技大学2004考研题）图X7.5所示信号流图的系统函数H (s )为 。

（A ）
26132+++s s s （B ）2132++s s （C ）26132--+s s s （D ）1
21
2
-+s s X7.6（哈尔滨工业大学2002考研题）下列几个因果系统函数中，稳定（包括临界稳定）的系统函数有 个。

（1）
4312+--s s s （2）s s s 312++ （3）3
42
3
4+++s s s （4）33223++++s s s s （5）1224++s s s （6）2
421
s
s + （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）4
X7.7（哈尔滨工业大学2002考研题）下面的几种描述中，正确的为 。

（A ）系统函数能提供求解零输入响应所需的全部信息；
（B ）系统函数的零点位置影响时域波形的衰减或增长； （C ）若零极点离虚轴很远，则它们对频率响应的影响非常小； （D ）原点的二阶极点对应)(2
t t ε形式的滤形。

X7.8（国防科技大学2002考研题）已知连续时间系统的系统函数2
3)(2++=s s s
s H ，
则其幅频特性响应所属类型为 。

（A ）低通 （B ）高通 （C ）带通 （D ）带阻
答案：
X7.1[D] X7.2[D] X7.3[A] X7.4[A] X7.5[A] X7.6[B] X7.7[C] X7.8[C]
二、判断与填空题
T7.1（北京航空航天大学2002考研题）判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。

（1）若h (t )是一个线性时不变系统的单位冲激响应，并且h (t )是周期的且非零，则系统是不稳定的。

[ ]
（2）若h (k )<M （对每一个k ），M 为某已知数，则以h (k )为单位样值响应的线性时不变系统是稳定的。

[ ]
（3）当且仅当一个连续时间线性时不变系统的阶跃响应是绝对可积时，则该系统是稳定的。

[ ]
T7.2判断下列叙述的正误，正确的在方括号内打“√”，错误的在方括号内打“×”。

（1）（华中科技大学2004考研题）一个LTI 系统当且仅当其系统函数)(z H 的收敛域包含单位圆1=z 时，该系统是稳定的[ ]；一个具有有理系统函数的因果LTI 系统，当且仅当)(z H 全部极点都位于单位圆内，系统是稳定的[ ]；即全部极点之模大于等于1时，系统是稳定的[ ]。

（2）（华中科技大学2002考研题）若系统的单位取样响应绝对可和，即∞<∑∞
-∞
=k k h )(，
则系统是稳定的[ ]。

（3）（华中科技大学2002考研题）连续系统稳定的条件是，系统函数H (s )的极点应位于s 平面的右半开平面[ ]。

（4）（华中科技大学2002考研题）离散系统稳定的充要条件也可以表示为
0)(lim =∞
→k h k [ ]。

T7.3（西安电子科技大学2004考研题）已知H (s )的零、极点分布如图T7.3所示，单
位冲激响应h (t )的初值h (0+)=2，则该系统的系统函数H (s )= 。

T7.4（西安电子科技大学2002考研题）如图T7.4所示因果系统，为使系统是稳定的，K 的取值范围是 。

T7.5（西安电子科技大学2001考研题）某离散系统的z 域信号流图如图T7.5所示，其单位响应)(k h = 。

T7.6（国防科技大学2002考研题）多选题：已知某一离散系统的系统函数
8
102)(232+-+-=z z z z
z z H ，对应的信号流图（图T7.6）是 。

图T7.6
答案：
T7.1（1）√，（2）×，（3）×
T7.2（1）√√×（2）√（3）×（4）× T7.3
4
)2(4
22
++-s s T7.4 6->K
T7.5 )1()(-+k k εε T7.6 B ，C
三、画图、证明与计算题
J7.1（浙江大学2004年考研题）已知一连续因果LTI 系统的微分方程为
)(2)()(3)(4)(t f t f t y t y t y +'=+'+''
求系统的H (s )，画出零、极点图，并画出该系统的直接型框图。

解：对微分方程求拉氏变换，得
)()2()()34(2s F s s Y s s +=++
则系统函数H (s )为
)
3)(1(2
342)()()(2+++=+++==
s s s s s s s F s Y s H 由此可知，H (s )的零点为2-=s ，极点为3,1-=-=s s ，零、极点图如图J7.1-1所示。

该系统的直接型框图如图J7.1-2所示
J7.2（浙江大学2003年考研题）图J7.2-1为一数字滤波器结构图，求： （1）这个系统的)(z H ，零、极点图，收敛域；
（2）要使这个系统稳定，K 应取什么值？ 解：（1）画出该系统的z 域框图，并设变量)(z X ，如图J7.2-2。

由图J7.2-2可得：
)(3
11
)()(3
)()(11
z F z
K z X z X z K z F z X --+=
⇒-=
)(3
4)(3141)(4)()(111z F K z K z z F z K z K z X z K z X z Y +-
=
+-
=-=--- 则系统函数为
3
,3
4)()()(K z K
z K
z z F z Y z H >+-
=
= )(z H 的零点为4/K z =，极点为3/K z -=；收敛域为3
K z >。

（2）要使这个系统稳定，)(z H 的收敛域应包含单位圆，则要求13
<K
，即3<K 。

故K 的取值范围为3<K 。

J7.3（浙江大学2003年考研题）如图J7.3-1反馈因果系统，试求： （1）该系统的系统函数H (s )；
（2）K 满足什么条件时系统稳定； （3）在临界稳定条件下，求系统的h (t )。

解：（1）设变量)(s X ，如图。

)(12)()(12)()
()()(2
2s F K
s s K
s Y S X s s K s Y s Y s F s X -++=
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧++=+= 则系统函数H (s )为
K
s s K
s F s Y s H -++==
12)()()(2 （2）由H (s )的表达式可得，H (s )的极点为：K s ±
-=12,1。

显然，若满足：
[]
01Re <+-K （J7.3-1）
则可使H (s )的极点21,s s 都处于左半s 平面，系统稳定。

若K 为实数，则式（J7.3-1）变为
101<⇒<+-K K
对于K 为复数或纯虚数时，情形较为复杂，这里不作讨论。

故，K <1时，系统稳定。

（3）K =1时，系统处于临界稳定。

此时，系统函数H (s )为
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=+=
2112121)(2s s s s s H
求拉氏逆变换，可得
()
)(12
1
)(2t e t h t ε--=
J7.4（浙江大学2003年考研题）已知某一离散时间LTI 系统的系统函数
()111
212111)(----⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
z z z z H 其单位脉冲响应)(k h 满足：
∞<-∑∞
-∞
=k k h )(。

求：
（1）系统的单位脉冲响应)(k h ，并判断系统是否稳定；
（2）已知输入信号)(2)1(3)(k k k f εε+--=，系统的输出)(k y 。

解：（1）因为∞<=-∑∑∞
-∞
=∞-∞
=k k k h k h )()(，说明系统的)(k h 满足绝对可和条件，系统
是稳定的。

对系统函数作部分分式展开，
()()
2325.0312********)(21
11-+
-=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---z z
z z z z z z z z z z H 可见)(z H 的极点为：2,5.021==z z 。

因为系统稳定，因此)(z H 的收敛域必定包含单位圆，则)(z H 的收敛域应为25.0<<z 。

据此，对)(z H 求逆z 变换可得
)1()2(3
2
)()5.0(31)(---=k k k h k k εε
（2）将输入信号分解为：f (t )=f 1(t )+ f 2(t )，其中
)1(3)()(2)(21--==k k f ，k k f εε
系统在f 1(t )、 f 2(t )作用下所产生的响应分别为y 1(t )、y 2(t )。

)
1()2(38
)()5.0(32)(21,2385.032)2)(5.0(2)()()(1,1
2)()
(2)(121111----=⇒<<-+--=--==>-=
↔
=k k k y z z z
z z z z z z H z F z Y z z z
z F k k f k k εεε
)
1()2(4)()5.0()(15.0,245.0)2)(5.0(3)()()(1,1
3)()
1(3)(222222--+=⇒<<---=---==<--
=↔
--=k k k y z z z
z z z z z z H z F z Y z z z
z F k k f k k εεε
由于该系统是线性的。

因此，在输入信号f (t )=f 1(t )+ f 2(t )作用下，系统产生响应为：
)1()2(3
4
)()5.0(31)()()(21--+=+=k k k y k y k y k k εε
J7.5（北京邮电大学2004年考研题）图J7.5-1所示系统中，已知2)
()
()(==
s F s Y s H ，且3
1)(1+=s s H 。

（1）求子系统H 2(s )；（2）欲使子系统H 2(s )为稳定系统，试确定K 的取值范围。

解：（1）设变量)(s X ，如图。

⎩
⎨
⎧-=+=)()](1[)()
()()()(12S X s KH s Y s Y s H s F s X 则系统函数为
)
()()(1)
(1)()()(2121s H s KH s H s KH s F s Y s H +--==
代入已知条件，得
2)
(31131)()()(1)(1)(22121=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+--+-
=+--=s H s K s K
s H s KH s H s KH s H
由上式可得
)
3(23)(2K s K s s H -+++=
（2）由（1）知，H 2(s )的极点为3-=K s ，要使子系统H 2(s )为稳定系统，该极点应处
于左半s 平面，即()03Re <-K 。

若K 为实数，K 的取值范围为3<K 。

对于K 为复数的情形，这里不作讨论。

故3<K 时，子系统H 2(s ) 为稳定系统。

J7.6（北京邮电大学2004年考研题）已知某LTI 系统的系统函数H (s )的零极点图如图J7.6-1所示，且H (0)=-1.2，求：
（1）系统函数H (s )及冲激响应h (t )； （2）写出关联系统的输入输出的微分方程； （3）已知系统稳定，求H (j ω)，当激励为)()3cos(t t ε时，求系统的稳态响应。

解：（1）根据H (s )的零极点图，H (s )的表达式为
1
)2()
3()2)(2()3()(2++-=-+++-=
s s A j s j s s A s H
据H (0)=-1.2，令上式s =0，并结合H (0)=-1.2，则得
22.15
31)2()3()0(02
=⇒-=-=++-=
=A A
s s A H s
则系统函数为
5
46
21)2()3(2)(22++-=++-=
s s s s s s H
将H (s )表达式改为 下形式，
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=++-=
1)2(1
31
)2(21)2()3(2)(2
22s s s s s s H 求拉氏逆变换，得
[]
[])(sin 3cos 2)(sin 3cos 2)(222t t t e t t e t e t h t t t εε-=-=---
（2）由系统函数H (s )的表达式以及拉氏变换的时域微分性质可知，系统的微分方程为
)(6)(2)(5)(4)(t f t f t y t y t y -'=+'+''
（3）因为H (s )的收敛域为2]Re[->s ，包含了s 平面中的j ω轴，则
ω
ωωωωω456
25462)()(2
2j j s s s s H j H j s j s +--=++-=
===
对于信号)()3cos(t t ε，其角频率为rad/s 3=ω。

则在该频点处H (j ω)的值为
6.263236
7.012
4664562)(j e
j j j j j H =+-+-=+--=
==ωωωωωω 因此，当激励为)()3cos(t t ε时，系统的稳态响应为
)()6.263cos(67.0)(t t t y ss ε +=
J7.7（华南理工大学2000年考研题）已知某LTI 系统的下列信息： （1）系统是因果的；
（2）系统函数是有理的，且仅有两个极点在2-=s 和4=s ； （3）当激励为f (t )=1，则响应为y (t )=0； （4）单位脉冲响应h (t )在t =0+时的值是4。

求该系统的系统函数H (s )。

解：据已知条件（1）和（2），H (s )具有如下形式的表达式及收敛域：
4]Re[,8
2)4)(2()(2>--+=-++=
s s s B
As s s B As s H （J7.7-1）
由此可知，系统的微分方程为
)()()(8)(2)(t Bf t f A t y t y t y +'=-'-''
对微分方程求傅氏变换，得
)(8
2)()(2ωωωωωj F j j B
Aj j Y --+=
（J7.7-2）
据已知条件（3）得：0)(),(2)(==ωωπδωj Y j F ，代入式（J7.7-2）可得
00)(4
)(282)(2
=⇒=-=--+B j B j j j B Aj ωδπ
ωπδωωω
将B =0代入（J7.7-1），并作部分分式展开，
4]Re[,4221382)(2>⎪⎭
⎫
⎝⎛-++=--=
s s s A s s As s H
求拉氏逆变换，得单位脉冲响应为
()
A h t e e A t h t t
=⇒+=
+-)0()(23
)(42ε
据已知条件（4），可得：4=A 。

则系统函数H (s )为
4]Re[,8
24)(2
>--=
s s s s
s H J7.8（华中科技大学2004年考研题）某LTI 离散时间系统描述其输入输出关系的差分方程为
)()2()1(2
5
)(k f k y k y k y =-+--
（1）求该系统的系统函数，并指出零、极点；
（2）对于系统的单位采样响应)(k h 的三种可能的选择，讨论系统的稳定性。

解：（1）对差分方程求z 变换，得
)()(25121z F z Y z z =⎪⎭
⎫
⎝⎛+--- 则系统函数为
)2)(5.0(15.22
511)()()(2
2221--=+-=+-==--z z z z z z z z z F z Y z H
由上式可知，)(z H 的零点为z =0；极点为：z =0.5和 z =2。

（2）对)(z H 作部分分式展开，得
2
345.031)2)(5.0()(2-+--=--=z z
z z z z z z H
下面根据)(z H 可能出现的三种收敛域，讨论系统的稳定性和单位采样响应)(k h 。

若)(z H 的收敛域为2>z ，由于)(z H 的收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。

)(z H 的逆z 变换为
[]
)()2(4)5.0(3
1
)(k k h k k ε--
= 若)(z H 的收敛域为5.0<z ，由于)(z H 的收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。

)(z H 的逆z 变换为
[]
)1()2(4)5.0(3
1
)(---=
k k h k k ε 若)(z H 的收敛域为25.0<<z ，由于)(z H 的收敛域包含单位圆，故系统稳定。

)
(z H
的逆z 变换为
[]
)1()2(4)()5.0(3
1
)(--+-
=k k k h k k εε J7.9（电子科技大学2002年考研题）某LTI 离散时间系统描述其输入输出关系的差分方程为
)(2)2(3
2
)1(37)(k f k y k y k y =-+-+
（1）若该系统是因果系统，求单位样本响应)(k h ；
（2）若该系统是稳定系统，标明系统函数的收敛域，求单位样本响应)(k h ； （3）当输入为f (k )=1时，若要求系统系统有稳定的输出，此时系统函数收敛域如何？并计算输出信号)(k y =？
（4）画出实现该系统的信号流图。

解：对差分方程求z 变换，
)(2)(3237121z F z Y z z =⎪⎭
⎫
⎝⎛++-- （J7.9-1）
则系统函数为
)3
1)(2(232372323712)()()(2
2221++=++=++==--z z z z z z z z z F z Y z H
系统函数的极点为：3
1
,221-
=-=z z 。

（1）若该系统是因果系统，所以系统函数的收敛域应为2>z 。

对系统函数作部分分式展开，并求逆z 变换可得单位样本响应)(k h 。

2,
3
1
522512)
3
1
)(2(2)(2
>+-+=
++=
z z z
z z z z z z H
)(31)2(652)]([)(1
k z H k h k
k ε⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪
⎭⎫ ⎝⎛---==-Z （2）若该系统是稳定的，则系统函数的收敛域应包含单位圆，即为
23
1
<<z ，则有
23
1
,
3
1522512)
3
1
)(2(2)(2
<<+-+=
++=
z z z
z z z z z z H 求逆z 变换可得单位样本响应)(k h ：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----==-)(31)1()2(652)]([)(1
k k z H k h k
k
εεZ
（3）当输入为f (k )=1时，若要求系统系统有稳定的输出，则要求该系统是稳定的，此时系统函数收敛域应为
23
1
<<z 。

可以以下方法计算输出信号)(k y ： 5.0)
()()()()(*)()(1
===-=
==∞
-∞
=∞-∞
=∑∑z i i z H i h i h i k f k h k f k y
（4）据式（J7.9-1）可画出系统的z 域框图、信号流图分别如图J7.9-1(a)、(b)所示。

图J7.9-1
J7.10（上海大学2003年考研题）已知因果离散系统的差分方程为
)(2.0)1(2.1)2()(2.0)1(1.0)2(k f k f k f k y k y k y ++++=-+++
初值2)1(,1)0(=-=y y ，激励)()(k k f ε=。

求（1）系统函数)(z H ；（2）判断系统是否稳定；（3）求响应)(k y 。

解：对差分方程求z 变换，
[][][][])
(2.0)0()(2.1)1()0()()(2.0)0()(1.0)1()0()(2
2
2
2
z F z f z zF z f z f z F z z Y z y z zY z y z y z Y z +-+--=--+--
整理后得
[])(2
.01.02.02.12.01.0)0(2.1)1()0(1.0)1()]0()0([)(222
2z F z z z z z z z f f y y z f y z Y -++++-+--++-= （J7.10-1）
由上式可知，系统函数为
5.0,
)
4.0)(
5.0(2
.02.12.01.02.02.1)(222>-+++=-+++=z z z z z z z z z z H
（2）)(z H 的收敛域包含单位圆，因此系统稳定。

（3）将2)1(,1)0(=-=y y ，1)1(,1)0(==f f ，1
)(-=z z
z F 代入式（J7.10-1），可得
1
384.03135.03212.01.02.02.12.01.03.02)(2222-+--+-=-⋅-++++-+--=z z
z z z z z z z z z z z z z z z Y
求逆z 变换，得
[]
)(8)4.0(13)5.0(23
1
)(k k y k k ε-+--
= J7.11（中国地质大学2004年考研题）已知某因果稳定系统由如下差分方程描述
)1()()1()(--+-=k bf k f k ay k y
其中，a 、b 为可确定的非零常系数。

（1）求该系统的单位取样响应)(k h ； （2）求系统函数的零、极点； （3）画出系统直接模拟框图；
（4）为使系统具有全通频率响应特性，确定a 和b 的关系。

解：（1）对差分方程求z 变换，可得系统函数：
a z a
z b
z az bz z F z Y z H >--=--==--,11)()()(1
1 （J7.11-1） 对式（J7.11-1）求逆z 变换，得
)1()()()(1-⋅-+=-k a b a k k h k εδ
（2）由式（J7.11-1）可知，系统函数)(z H 的零点为b z =，极点为a z =。

（3）由式（J7.11-1）可画出如图J7.11-1所示的z 域框图：
图J7.11-1
（4）若1<a ，则)(z H 的收敛域包含单位圆，系统的频率响应为
a
e b e z H e H j j e z j j --===θθθ
θ
)()( 要使系统具有全通频率响应特性，应满足：a=b
J7.12（中国地质大学2004年考研题）已知系统函数25
.02
3)(22++-=z z z z H 。

（1）确定其收敛域，分析其因果稳定性； （2）对因果稳定系统写出其频率响应函数表达式；
（3）若激励为[])()cos(31)(k k k f επ+=，求系统的稳态响应。

解：（1）2
222)
5.0(2
325.023)(+-=++-=z z z z z z H 可见，)(z H 在z =0.5有二阶重极点。

若)(z H 的收敛域为5.0<z ，则不包含单位圆，系统不稳定，且为反因果系统； 若)(z H 的收敛域为5.0>z ，则包含单位圆，系统稳定，且为因果系统。

（2）由（1）知，当)(z H 的收敛域为5.0>z ，系统稳定，其频率响应函数表达式为
25
.02325.0)(2)(3)()(2222++-=++-===ωωωωωωω
ω
j j j j j j e z j e e e e e e z H e H j （3）将)(k f 分解成以下两部分，
[])
()cos(3)(),
()()()()()cos(31)(2121k k k f k k f k f k f k k k f επεεπ==+=+=
系统在f 1(k )作用下的响应为y 1(k )，
5
.0923)5.0(6519425.0231)()()(2
2211++++-=++-⋅-==z z
z z z z z z z z z z H z F z Y 求逆z 变换，得
)()5.0(9236594)(1k k k y k ε⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛++=
系统在f 2(k )作用下的响应为y 2(k )。

f 2(k )的角频率为πω=。

)(ω
j e H 在该频点处的值为
()
45
.02
3)(2
2=+-=
=π
ωω
ωπ
j j j e
e e H
由此得
)()cos(12)()cos(34)(2k k k k k y επεπ=⨯=
则系统在f (k )作用下的响应为
)()cos(12)()5.0(9236594)()()(21k k k k k y k y k y k επε+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛++=+=
其中，系统的稳态响应为
)()cos(12)(9
4
)(k k k k y ss επε+=
J7.13（清华大学2000年考研题）系统信号流图如图J7.13-1所示。

（1）写出表示系统输入输出关系的差分方程；
（2）求系统函数)(z H 。

解：利用梅森公式求系统函数)(z H 。

环路增益：241322112,,,3----====z L z L z L z L
特征行列式：
4314232413143212741)(1---++-=+++++++-=∆z z z L L L L L L L L L L L L
前向通路增益及其特征行列式的余因子：1,111=∆=P
则系统函数为
4311
127411)(---++-=∆∆=
z
z z P z H 由系统函数可知，系统的差分方程为
)()4(2)3(7)1(4)(k f k y k y k y k y =-+-+--
J7.14（西安电子科技大学2004年考研题）描述某线性时不变因果连续系统的微分方程为
)(2)(4)(3)(4)(t f t f t y y y t y +'=+'+''
（1）求系统的冲激响应h (t )； （2）判定系统是否稳定；
（3）若输入)45cos(106)(
++=t t f ，求系统的稳态响应。

解：（1）对微分方程求拉氏变换，得系统函数，
1]Re[,1
1
353424)()()(2->+-+=+++==
s s s s s s s F s Y s H
求拉氏逆变换得，
()
)(5)(3t e e t h t t ε---=
（2）由系统函数H (s )的表达式可知，H (s )的极点为3,121-=-=s s ，由于是因果系统，所以其收敛域为1]Re[->s 。

H (s )的极点全都处于左半s 平面，故系统是稳定的。

（3）由于系统函数H (s )的收敛域为1]Re[->s ，包含s 平面中的j ω轴，故系统的频率响应为：
3
4)(423424)()(22+++=
+++=
===ωωω
ωωωj j j s s s s H j H j s j s 输入信号)45cos(106)(
++=t t f 中，包含了直流成份0=ω以及角频率rad/s 1=ω的正弦信号。

系统频率响应函数H (j ω)在这两个频率点的值分别为
134)(42)()1(32
34)(42)()0(1
2
1020=+++=
==
+++======ωωωωωωω
ωωωωωj j j j H j H j j j j H H
系统对这两个频率成份的响应（即稳态响应）为
)45cos(104)45cos(103
2
6)( ++=++⨯
=t t t y
J7.15（哈尔滨工业大学2002年考研题）某因果LTI 系统的系统函数H (s )的零、极点如图J7.15-1所示（包括原
点处的二阶零点和一对共轭极点），且冲激响应初始值
图J7.15-1
2)0(=+h ，求系统函数H (s )和冲激响应h (t )。

解：由系统函数H (s )的零、极点图可知，H (s )的表达式为
2
1]Re[,212121
2212121212112121212121)(2
2222
22
-
>⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+=
s s s s A s s A j s j s As s H
求拉氏逆变换，得
)(4521cos 2)(.
)(2sin 2)(2
cos 2)()(2
12121t t Ae
t A t t
e
t t
e
t A t h t
t
t
εδεεδ⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡
--=-
--
令上式中t =0+，并结合2)0(=+h ，可得1-=A
则系统函数和冲激响应分别为
2
2
2
2121)(⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-
=s s s H
)(4521cos 2)()(21t t e
t t h t
εδ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=-
J7.16（北京航空航天大学2002年考研题）某因果线性时不变系统，其输入)(k f 和输出)(k y 满足差分方程为
)1()2()1()(-+-+-=k f k y k y k y
（1）求该系统的系统函数，画出零、极点图，指出收敛域； （2）求该系统的单位样值响应； （3）判断该系统是否稳定；
（4）求一个满足该系统的稳定的单位样值响应。

解：（1）差分方程改写为
)1()2()1()(-=----k f k y k y k y
求z 变换，可得系统函数
62.1,62.062.145.01)()()(2211>⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=--=--==---z z z z z z z z z z z z z F z Y z H
由上式可知，)(z H 在原点0=z 处有一阶零点，其极点为62.1,62.021=-=z z ，零、极点图如图J7.16-1所示。

由于该系统是因果的，故)(z H 的收敛域为62.1>z 。

（2）由)(z H 的表达式及其收敛域，求逆z 变换可得系统的单位样值响应：
[]
)()62.0()62.1(45.0)]([)(1k z H k h k k ε--==-Z
（3）由于)(z H 的收敛域为62.1>z ，不包含单位圆，故系统不稳定。

（4）若要获得一个满足该系统的稳定的单位样值响应，)(z H 的收敛域应为
62.162.0<<z 。

62.162.0,62.062.145.0)(<<⎪⎭⎫
⎝⎛+--=z z z z z z H
[]
)()62.0()1()62.1(45.0)]([)(1k k z H k h k k εε-+---==-Z
J7.17（上海交通大学2000年考研题）某离散系统的系统函数的零极点分布如图J7.17-1所示。

试求：
（1）该系统的单位样值响应)(k h （允许差一系数）；
（2）粗略画出幅频特性，并说明系统属于低通、高通还是带通滤波器。

解：（1）由系统函数H (z )的零、极点图可知，H (s )的表达式为
()()5
.0)
5.1(5.05.05.05.0)5.1()(2+--=+----=
z z z A j z j z z A z H
其中，A 为待定常数。

为简单起见，取A=1。

2
22
22214cos 2
124cos
2
12
214cos 2
124cos
2
15
.05.1)(⎪
⎭⎫
⎝⎛+⨯--⎪
⎭⎫
⎝⎛+⨯--
=
+--=
ππ
ππz z z z z z z z z H
据Z 变换对，求逆z 变换：
[])1(41sin 241cos 21)()(1-⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪
⎭
⎫
⎝⎛==-k k k z H Z k h k
εππ （2）由于H (z )的收敛域包含单位圆，故系统的频率响应存在，且为
()()5
.05
.15.05.05.1)()(22
2+--=+--=
===ωω
ωω
ω
ω
j j j e z e z j e e e z z z H e H j j 幅频特性为
ω
ωω
ω
ωωω
2cos cos 325.2cos 325.35.05.1)(2+--=+--=j j j j e e e e H 系统的幅频特性如图J7.17-2所示。

由图可知，该系统是带通滤波器。

J7.17-2 系统的幅频特性
J7.18（西安交通大学2000年考研题）已知由差分方程
)2()1()()2()1()(-+-+=-+-+k df k cf k f k by k ay k y
其中，a 、b 、c 、d 均为实常数，描述的离散时间LTI 因果系统的系统函数)(z H 具有如下特征：)(z H 在原点0=z 有二阶零点；)(z H 有一个极点在5.0=z ；3
8
)1(=H 。

试求： （1）该系统的系统函数)(z H ，并确定常a 、b 、c 、d ； （2）绘出系统的零极点图，并说明系统是否稳定；
（3）当输入)2()()(-+=k k k f δδ时，求系统的输出)(k y ； （4）如果系统的输入k
k f )1()(-=，求系统的输出)(k y ； （5）绘出系统的直接形式的流图。

解：对差分方程求z 变换，可得系统函数
b
az z d
cz z z H ++++=22)( （J7.18-1）
由于)(z H 在原点0=z 有二阶零点， )(z H 有一个极点在5.0=z ；同时，由差分方程可知，该系统是二阶系统，可能存在两个极点，设另一个极点为z 1，故)(z H 应具有如下形式：
)
)(5.0()(12
z z z Kz z H --=
（J7.18-2） 对比式（J7.18-1）和式（J7.18-2），可得：115.0,5.0,1,0z b z a K d c =--====。

代入式（J7.18-2），得
)
)(5.0()(12
z z z z z H --=
（J7.18-3） 由于3
8
)1(=
H ，令式（J7.18-3）中z =1，可得 25.03
8
)1(5.01))(5.0()1(11112=⇒=
-=--==z z z z z z H z
则
0,
125.05.0,75.05.011====-=--=d c z b z a
5.0,
)
25.0)(5.0()(2
>--=z z z z z H （J7.18-4）
（2）)(z H 的零极点如图J7.18-1所示。

H (z )的收敛域包含单位圆，故系统稳定。

图J7.18-1
（3）对H (z )作部分分式展开，并求逆z 变换：
()()[]
)
(25.05.02)]([)(5
.025.05.02)25.0)(5.0()(12k z H k h z ，
z z
z z z z z z H k
k
ε-==⇒
>---=--=-Z
激励为)(k δ时，系统的响应为)(k h ；激励为)2(-k δ时，系统的响应为)2(-k h ；故当输入)2()()(-+=k k k f δδ时，系统的响应为
()()[]()
()
[
])2(25.05.02)(25.05.02)2()()(2
2
--+-=-+=--k k k h k h k y k k k
k
εε
（4）系统的输入k
k f )1()(-=时，利用时域卷积的方法求系统的输出)(k y ：
k z k i i k
i i
k i z H i h i h i h i k f k h k f k y )1(15
8
)()1()()1()1()
()
1()()()(*)()(1-=
⋅-=--=-=-=
=-=∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞-∞
=∑∑∑
（5）系统的直接形式的流图如图J7.18-2所示。

图J7.18-2
J7.19（电子科技大学2000年考研题）某稳定的LTI 系统
H (s )的零极点图如图J7.19-1所示。

已知在输入
∞<<∞-=t e t f t
,)(3作用下，系统的输出
∞<<∞-=
t e t y t
,20
3)(3。

（1）试求该系统的H (s )以及单位冲激响应h (t )，并判断系
统的因果性；
（2）若输入)()(t t f ε=，求输出y (t )； （3）写出表征该系统的常系数微分方程； （4）画出该系统的信号流图。

解：（1）由H (s )的零极点图可知，H (s )具有以下的函数形式：
2
3)2)(1()(2++=++=
s s As
s s As s H
其中，A 为常数。

因为系统是稳定的，H (s )的收敛域应包含s 平面的j ω轴（在j ω轴上为临界稳定；在原点s =0处有一阶极点时，稳定；这两种情况之下，H (s )的收敛域不包含s 平面的j ω轴），又由于H (s )的所有极点应均处于右半s 平面，故H (s )的收敛域应取1]Re[->s 。

由此可知，该系统属于因果系统。

由H (s )的表达式可得系统的微分方程：
)()(2)(3)(t f A t y t y t y '=+'+''
将∞<<∞-=t e t f t
,)(3，∞<<∞-=
t e t y t
,20
3)(3代入微分方程，得 1320
6202720273333=⇒=++A Ae e e e t t
t t 将A=1代入，则系统函数H (s )为
1]Re[,1
1
2223)(2
->+-+=++=
s s s s s s s H
求H (s )的拉氏逆变换得
()
)(2)(2t e e t h t t ε---=
（2）s
s F t t f 1)()()(=
↔=ε 2
1
11231)()()(2
+-+=++=
=s s s s s H s F s Y 求Y (s )的拉氏逆变换得
()
)()(2t e e t y t t ε---=
（3）表征该系统的常系数微分方程为
)()(2)(3)(t f t y t y t y '=+'+''
（4）该系统的信号流图如图J7.19-2(b)所示。

图J7.19-2
J7.20（电子科技大学2000年考研题）某LTI 系统，在激励)(k f 作用下，产生响应：
)()5.0()1(2)(k k k y k εε+---=，其中，0,0)(≥=k k f ，其z 变换
11
1321)(----=z
z z F （1）试求该系统的系统函数)(z H ，画出零极点图，并标明收敛域； （2）试求该系统的单位脉冲响应)(k h ，判断系统的因果稳定性；
（3）若激励)(31)(k k f k
ε⎪⎭
⎫
⎝⎛=，求系统的输出)(k y ；
（4）若激励()∞<<∞--=k k f k
,1)(，求系统的输出)(k y 。

解：（1）根据已知条件，
1
5.0,
)
5.0)1(235.012)()()5.0()1(2)(2<<---=-+-=+---=z z z z z z z z z z Y k k k y k εε
z z z
z z z z z
z z F z Y z H <-=-----==--5.0,
5.031321)5.0)(1(23)()()(1
12
)(z H 的零点为z =0，极点为z =0.5。

零极点图如所示。

（2）求)(z H 的逆z 变换，得
)()5.0(3)(k k h
k ε=
（3） 3
1,3
1)()(31)(>-=
↔⎪⎭⎫
⎝⎛=z z z z F k k f k
ε
5.0,3
1
65.09315.03)()()(>---=-⋅-=
=z z z
z z z z z z z H z F z Y
求逆z 变换，得
)(3122133)(k k y k
k ε⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=
（4）利用时域卷积法求)(31)(k k f k
ε⎪⎭
⎫
⎝⎛=时系统的输出)(k y ：
k
z k i i
k
i i
k i z H i h i h i h i k f k h k f k y )1(2)()1()()
1()1()
()
1()()()(*)()(1-=⋅-=--=-=-=
=-=∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞-∞
=∑∑∑
J7.21（国防科技大学2000年考研题）描述某离散时间系统的差分方程为
)(3)1()(2)1(3)2(k f k f k y k y k y ++=++++
输入信号)()(k k f ε=，若初始条件3)2(,1)1(==y y 。

（1）画出该系统的信号流图；
（2）求出该系统的零输入响应)(k y zi 、零状态响应)(k y zs 和全响应)(k y ； （3）判断系统是否稳定，说明理由。

解：（1）对差分方程求z 变换，
)(3)0()()(2])0()([3])1()0()([22z F z f z zF z y z y z zY z y z y z Y z +-=+-+--
[])(2
33
23)0()0(3)1()0()(2
22z F z z z z z z f y y z y z Y ++++++-++= 则系统函数为
2
12
122313233)()()(----+++=+++==z
z z z z z z z F z Y z H zs 系统的信号流图如图J7.21-1(b)所示。

图J7.21-1
（2）先求零状态响应)(k y zs
2
3111321233)(233)(2
2+++--=-⋅+++=+++=
z z
z z z z z z z z z z F z z z z Y zs 求逆变换得
)()2(31)1(32)(k k y k k zs ε⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+--=
下面求零输入响应)(k y zi ： 递推法求初值y (0)，由差分方程得
[][][]1
33312
1
)1(3)2()0(3)1(21)0()1(3)2()(3)1(2
1
)(-=--+=--+=⇒+-+-++=
y y f f y k y k y k f k f k y
[]1
2223323)0()0(3)1()0()(2
222+-+=++--=++-++=z z
z z z z z z z z z f y y z y z Y zi 求逆变换得
[]
)()1(2)2()(k k y k k zi ε---=
则全响应为
)()2(34)1(332)()()(k k y k y k y k k zs zi ε⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+--=+=
（3）系统函数具有极点：1-=z 和2-=z 。

对于因果系统，)(z H 的收敛域为2>z ，它不包含单位圆，故系统不稳定。