机械振动 第3章-单自由度系统的振动

kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子

J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
+ cq = 0 aq
u 0 nu0
.
d
)2
arctan
d u0
u 0 nu0
.
25
§4 单自由度系统的无阻尼受迫振动
一、受迫振动的概念 受迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力：S H sin(t ) H—力幅； — 激振力的圆频率 ； — 激振力的初相位 。 二、无阻尼受迫振动微分方程及其解
2 s 2 2 n s n 0

它的两个特征根为：
s1, 2 n n 2 1
对于不同的阻尼比，上式将给出实特征根或复特征根， 以下作分别讨论。
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1、过阻尼情况（ 1 ） 这时特征根是一对互异实根，微分方程的通解是
u (t ) a1e
( 2 1 ) n t
s1, 2 n jn 1 2
微分方程的通解是
u (t ) e
n t
(a1 cos d t a2 sin d t )
2 1 式中 d 称为系统的阻尼振动频率或自然频率。 n
显然，它小于系统的固有频率。命上式及其导数中t =0，代入
初始条件 u (0) u0 ,
..
系统固有频率为：
( k1 k 2 ) R 2 n M ( 2 R 2 ) m( R r ) 2
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§3 单自由度系统的有粘性阻尼自由振动
一、阻尼的概念：
阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。例如摩擦阻尼、电 磁阻尼、介质阻尼及结构阻尼等。 粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘 性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为
mg = (k1 + k2 )d st keq = k1 + k2
并联
k eq =
串联
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例 1 试验确定转动惯量 实验过程：把一刚体安装在无摩擦的轴系中，该转轴就是要 确定刚体转动惯量的转轴。接着，刚体轴与弹性系数为k的已知 的扭转弹簧连接（如图）。使弹簧做微小的扭转后释放，由此 产生的简谐运动的周期就可以测量。 该系统的运动方程为
本章重点讨论单自由度系统的自由振动和受迫振动。
第3章 单自由度系统的振动
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 单自由度系统无阻尼自由振动 求系统固有频率的方法 单自由度系统的有阻尼自由振动 单自由度系统的无阻尼受迫振动
§3-5
§3-6
单自由度系统的有阻尼受迫振动
临界转速 ·减振与隔振的概念
3
§3-1
用机械能守恒定律 系统动能为：
1 1 MR 2 x 1 2 2 + T = Mx ( )2 + mx 2 2 2 R 2 1 3 2 = ( M + m) x 2 2
以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
k U = [(d st + 2 x) 2 - d st 2 ] - ( M + m) gx 2 = 2kx 2 + 2kd st x - ( M + m) gx
.2
.
.2 1 T 2 M ( R 2 r 2 ) m( R r ) 2 x 2R


系统的势能为：
1 Rr 2 2 U (k1 k 2 ) ( x d st ) d st mg x 2 R


由于
1 带入得到：U (k1 k 2 ) x 2 2
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由 T+U= const 有：
u 0 ( 2 1)nu 2n 2 1
.
可以发现其响应是一典型按指数衰减的规律，这种运动至多只过平衡位置一 次就会逐渐回到平衡位置，没有振荡特征。
ห้องสมุดไป่ตู้
2、临界阻尼情况（ 1 ） 这时特征根是一对相等的实根，微分方程的通解是
u (t ) (a1 a2t )e nt
U (t ) e
V (t )
n t
d
(cos d t
sin d t

1
2
sin d t ),
e nt
d
分别是单位初始位移和单位初始速度引起的自由振动。 微分方程的通解也可以写成一般形式：
u (t ) ae nt sin(d )
式中
2 a u0 (
则可求得：
.
C1 q0 , C2 q0 / n C1 , C2 由初始条件决定为：
q q0 cos nt
或
n
q0
.
sin nt
q A sin(nt )
A q q /
2 0 2 0
.
2 n
tg
1
n q0
q0
.
7
三、自由振动的特点： A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。
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2. 弹簧并联系 统和弹簧串联系
并 联
串 联
统的等效刚度
F1 F2 d st = = k1 k2 \ \
, mg = F1 + F2 mg , d st = k1 + k2
d st = d st1 + d st 2 = d st = \ mg mg 1 1 + = mg ( + ) k1 k2 k1 k2 mg 1 1 = mg ( + ) keq k1 k2 k1k2 k1 + k2
J k 0 固有频率为 振动周期为 k n J 2 2 T n k J kT 2 J 2 4
..
或
k 0 J
..

k J
转动惯量为
实验确定转动惯量装置
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例2 图示系统。设轮子无侧向摆动 ，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和
弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，
a2 e
( 2 1 ) n t
式中a1和a2是由初始条件确定的两个积分常数。命上式 及其导数中t=0，代入初始条件 u (0) u0 , u (0) u 0 ，即可
. .
求得这两个积分常数为：
a1
u 0 ( 1)nu
2
.
2n 1
2
，
a2
u (0) u 0 ，即可求得：
，
.
.
a1 u0
a2
u 0 nu0
.
d
将a1和a2代入微分方程的通解得到 . . u 0 nu0 n t u (t ) e (u0 cos d t sin d t ) U (t )u0 V (t ) u 0 式中
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无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动； (2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。 四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
得
U 2 Kx 2
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由 T+U= const 有： 1 3 2 + 2kx 2 = const ( M + m) x 2 2
，得 对时间 t 求导，再消去公因子 x
3 ( M + m) x + 4kx = 0 2 得系统微分方程为：
x+
8k x =0 3M + 2m
8k 系统固有频率为： wn = 3M + 2m
三、稳态受迫振动的主要特性：
稳态受迫振动
1、在简谐激振力下，单自由度系统稳态受迫振动亦为简谐振动。 2、稳态受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量 及刚度系数无关。 3、稳态受迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的 固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。
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(1) =0时 b0 h2 H (2) n 时，振幅b随 增大而增大；当 n 时， b (3) n 时，振动相位与激振力相位反相，相差 rad 。 b 2h 2 n b 随 增大而减小； 2 n时 , b b0 ; 时b 0
第三章 单自由度系统的振动
单自由度系统：只需要一个坐标即可完全确定其几何 位置的系统。
温故知新：振动的分类：
按振动系统的自由度分类
单自由度系统的振动
多自由度系统的振动
连续弹性体的振动
按振动产生的原因分类：
自由振动： 无阻尼的自由振动
有阻尼的自由振动，衰减振动 受迫振动： 无阻尼的受迫振动 有阻尼的受迫振动 自激振动
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例3 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑 ，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度
k1 , k2 ，重物质量为m, 不
计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率
。 解：取静平衡位置O为坐标原 点，取C偏离平衡位置x为广义 坐标。系统的总动能为：
D
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1 1 2 x 2 1 Rr . 2 T M x Mr ( ) m( x) 2 2 R 2 R 整理得到：
粘性阻尼。
投影式：
R = - cv
Rx = - cx
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
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二、单自由度系统有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量—弹簧系统存在粘性阻尼：
m u c u ku 0
令n k c ,2n m m
.. .
..
.
则
u 2n u u 0
命上式及其导数中t=0，代入初始条件 u (0) u0 , 即可求得：
u (0) u 0，
.
.
a1 u0
，
a2 u 0 n u 0
.
可以发现其响应也是按指数衰减的规律，这种运动至多 只过平衡位置一次就会逐渐回到平衡位置，没有振荡特征。
22
23
3、欠阻尼情况（ 0 1 ） 这时特征根是一对共轭实根
.2 1 1 2 2 2 2 M ( R r ) m ( R r ) x ( k k ) x const 1 2 2 2R 2


，得系统微分方程： 对时间 t 求导，再消去公因子 x
(k1 k 2 ) R 2 x x0 2 2 2 M ( R r ) m( R r )
质量为M，重物质量 m ，试列出系统微 幅振动微分方程，求出其固有频率。 解：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点）。 设静平衡状态时弹簧伸长量为 d st ，静平衡时，列出力 矩平衡方程为：
( M m) gR kd st 2 R 2kRd st
或
M m d st g 2k
2 n
如果进一步令：
n c n 2 mk
.
其中无量纲的 称为相对阻尼系数，则微分方程可写为：
u 2 n u n2u 0
令
..
u (0) u0 , u (0) u 0
.
.
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根据常微分理论，它的解具有如下形式： u (t ) u e st 代入上面微分方程得到特征方程：