高二寒假数学补习验收卷
辽宁省沈阳市第二十中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段验收数学试卷(含答案)
沈阳市第二十中学2024-2025学年度（上）高二年级阶段验收数学试卷考试时间：120分钟考试分数：150分第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线的倾斜角是，则（ ）A ．B ．C．D ．2．已知空间向量，则在上的投影是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知点与关于直线对称，则（ ）A ．B ．C ．0D ．34．已知某圆的方程为，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．C ．D ．5．如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且，若P 是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）ABCD6．已知，则异面直线与之间的距离是（ ）AB ．CD ．27．直线与直线相交于点P ，对任意实数m ，直线:3410l x y +-=αsin α=45-35-3545(1,1,1),(2,0,0)a b == a b (1,0,0)11,1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0,0)222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0)A (0,4)B 0ax y b ++=a b +=4-2-2210x y mx y ++++=(,)-∞+∞ (,)-∞+∞ [1111ABCD A B C D -ABCD 11A ADD 1120,2A AB AB ∠=︒=1C D 1CD AP DC (0,1,0),(2,1,0),(1,0,0),(0,1,1)A B C D --AB CD 121(1):220l x m y m ++--=2:(1)220l m x y m +---=分别恒过定点，则的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．48．如图，在棱长为1的正方体中，点M 是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．过），且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线有（ ）A ．B ．C ．D ．10．在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）．A ．若点P 在直线上，则B ．若点P 在直线上，则C ．若点P 在平面内，则D ．若点P 在平面内，则11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且．则下列结论中正确的有（ ）A ．三棱锥的体积为定值B ．当E 向运动时，二面角的大小不变C ．二面角的最小值为12,l l ,A B ||||PA PB+1111ABCD A B C D -11ADD A 11BC BM ⋅= 1BC BM 75︒30︒45︒60︒(1,2)A 1x =2y x =10x y -+=30x y +-=111ABCD A B C D -1,,AB a AD b AA c === AP xa yb zc =++ 1A D 1x y +=1AC x y z ==1A BD 1x y z ++=11B BDD 1x y +=1111ABCD A B C D -11B D ,EF EF =A BEF -1D A EFB --E ABC --45︒D ．当E 向运动时，总成立第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，若，则_______．13．平面上有四条直线，它们的方程分别是．则由这四条直线围成四边形的面积是_______．14．将由一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的多面体放在空间直角坐标系中，使得A 为坐标原点，如图所示．已知，且该多面体所有的顶点都在球上，令球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______，令正四棱锥的内切球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）（1）求过三点的圆的一般方程；（2）求过两点和，且圆心在x 轴上的圆的标准方程．16．（本题15分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．（1）证明：平面；1D AE CF ⊥()2(1,,),,,32a m n b m n == //a b mn =21,4250,1,40y x x y y x x y =+-+==-++-=1111ABCD A B C D -1111P A B C D -A xyz -12,1AB AA ==1O 1O A xy -1O '1O 'A xy -1111P A B C D -2O A xz -2O '2O 'A xz -(1,0),(0,1),(2,3)A B C (1,2)C-(1,D 111ABC A B C -1,2,,,BA BC BA BC BB D E F ⊥===111,,AA B C AB //EF 11ACC A（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（本题15分）如图，在以P的圆锥中，底面圆O 的直径长为是圆O 所在平面内一点，且是圆O 的切线，连接交圆O 于点D ，连接．（1）求证：平面平面；（2）若E 是的中点，连接，当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18．（本题17分）已知直线．（1）若当时，，当时，，求的值；（2）经过的定点记为关于的对称点记为N ．①求点N 的坐标；②在上是否存在点P ，使得的面积为2，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由．19．（本题17分）如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点E 是棱上的动点（不含端点B ）．（1）求二面角平面角余弦的最小值；（2）当E 为棱的中点时，在平面内的射影是F ，求点F 到平面的距离．CE DEF AB 2,C AC BC ,PD PC PBC ⊥PAC PC ,OE ED 120BOD ∠=︒PAC DOE 12:(1)20,:35l x y l y x λλλ++++==+1λλ=12//l l 2λλ=12l l ⊥12λλ+1l ,M M 2l 2l PMN V 111ABC A B C -ABC V 11124,2AB A B CC ===1CC ⊥ABC 1BB C AE B --1BB 1A ACE ABC高二期初月考数学参考答案及评分标准1．C2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．D 8．D 9．BD 10．BCD 11．ABC 12．1613．14．15．解：（1）设圆的一般方程为，……1分由题将三点代入得：……4分解得，所以所求圆的一般方程为；……6分（2）由题，设圆心为，，……7分，即，……10分，……12分∴圆的标准方程为．……13分（若用其他方法，适当给分）16．解：（1）证明：取的中点G ，连接，因为分别为的中点，所以，……2分又E 为的中点，，所以，……4分所以四边形是平行四边形，所以，……5分32229(1)(1)4x y -+-=22(1)(3x z -+=-220x y Dx Ey F ++++=101049230DF E F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩332D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩223320x y xy +--+=(,0)M a ||||MC MD = 2222(1)(02)(1)(0a a ∴++-=-+-222142112a a a a +++=-++2,||a r MC ∴===22(2)13x y -+=AC 1,FG GC ,F G ,AB AC 1//,2FG BC FG BC =11B C 1111//,BC B C BC B C =11//,FG EC FG EC =1EFGC 1//EF GC又平面平面，所以平面……6分（2）在直三棱柱中，平面，又平面平面，所以，又，故以B 为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，……8分则，所以，设平面的法向量为，则令得，所以平面的一个法向量为，……12分设直线与平面所成的角为，则，……14分即直线与平面15分17．解：（1）证明：因为是圆O 的直径，与圆O 切于点A ，所以，又底面圆底面圆，EF ⊂/111,ACC A GC ⊂11ACC A //EF 11ACC A 111ABC A B C -1BB ⊥ABC BA ⊂,ABC BC ⊂ABC 11,BB BA BB BC ⊥⊥BA BC ⊥1,,BA BC BB ,,x y z (0,2,0),(2,0,1),(0,1,2),(1,0,0)C D E F (1,1,2),(1,0,1),(0,1,2)FE FD CE =-==- DEF (,,)m x y z =200m FE x y z m FD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =3,1y z ==-DEF (1,3,1)m =- CE DEF θ||sin |cos ,|||||m CE m CE m CE θ⋅=〈〉=== CE DEF AB AC AC AB ⊥PO ⊥,O AC ⊂,O PO AC ∴⊥平面，平面平面，……2分在中，，则，……4分因为平面，所以平面．又平面，所以平面平面……6分（2）底面圆O ，如图以O 为原点，在底面圆O 内过点作的垂线为x 轴，分别为轴建立空间直角坐标系，……7分得，，由（1）知，为平面的一个法向量，……9分设平面的一个法向量为，，，即，令，所以平面的一个法向量为，……13分，……14分所以平面与平面．……15分,,PO AB O PO AB =⊂ PAB AC ∴⊥,PAB PB ⊂,PAB AC PB ∴⊥PAB V 2PA PB AB ===222,PA PB AB PA PB +=∴⊥,,PA AC A PA AC =⊂ PAC PB ⊥PAC PB ⊂PBC PBC ⊥PAC PO ⊥ AB ,OB OP ,y z 1(0,1,0),(0,1,0),,0,1,02A B D C ⎫⎫---⎪⎪⎪⎪⎭⎭11(0,0,1),,22P E ⎫-⎪⎪⎭(0,1,1)m BP ==- PAC ODE (,,)n x y z =111,,,0222OE OD ⎫⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭00n OE n OD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 11022102x y z x y -+=-=x =3,1y z ==ODE n = cos ,||||m n m n m n ⋅∴===⋅ PAC ODE18．解：（1）依题有，……4分解得，所以；……6分（2）①因为，所以，即，所以，……8分令，由对称性知，解得，，所以……10分②由上知，……11分直线方程为，……12分令，则P 到的距离13分而三角形的面积为2，所以有，即， (4)于是，解得或，……16分()1112212315310λλλλλ++⎧=≠⎪-⎨⎪-+=⎩123412λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1214λλ+=-(1)20x y y λ++++=1020x y y ++=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=-⎩(1,2)M -(,)N x y 2135222113y x y x -+⎧=⨯+⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩50x y =-⎧⎨=⎩(5,0)N -||MN ==MN 350x y ++=()00,35P x x +MN d PMN 122d =⨯d =05101x +=095x =-115-从而在直线上，存在点或……17分19．（1）取棱的中点D ，有，又平面平面，所以，在平面中，过点C 作，所以，，……2分以C 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，因为是等边三角形，，所以，因为，所以．设，所以，……4分所以．设平面的一个法向量为，又，所以，即，令，得的一个法向量为，……6分设平面的法向量为，又，所以，即，令，得，2l 92,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭118,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭AB CD AB ⊥1CC ⊥,ABC AB ⊂ABC 1CC AB ⊥ABC //CF AB 1,CC CF CD CF ⊥⊥1CCCD ⊥1,,CD CF CC ,,x y z ABC V 11124,2AB A B CC ===12,0),2,0),(0,0,2)A B C-1112C B CB = 12)B 1((0,1])BE BB λλ=∈ 1(,,2)BE BB λλλ==- ,2,2)E λλ-ABE ()1111,,n x y z =(0,4,0),(,4,2)AB AE λλ==- 1100AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111140(4)20y x y z λλ=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩12x =110,y z ==ABE 1n = ACE ()2222,,n x y z = (2,0)AC =- 2200AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2222320(4)20y x y z λλ⎧-+=⎪⎨+-+=⎪⎩21x =2y z ==所以平面的一个法向量为，……8分设平面与平面的夹角为，所以设，因为，所以，所以，所以，所以当时，平面与平面的夹角的余弦值最小，最小值为；……10分（2）因为E为点，由（1）知，平面的一个法向量是，因F 在平面内，所以令，所以，……12分所以，ACE 2n ⎛= ⎝ ABE ACEθ121212coscos ,n n n n n n θ⋅===⋅ 3(2)625t λλλ-=+=-(0,1]λ∈(,1]t ∈-∞-1[1,0)t ∈-cos θ===11t=-ABE ACE 173,12E ⎫⎪⎪⎭ACE n =-ACE CF CA CE λμ=+ 32,0),12CF λμ⎫=-+⎪⎪⎭3,2,2F μλμμ⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭又，所以，……14分因平面，所以，，……15分即，解得，……16分这样点F 的竖坐标为，也就是说，F 到平面的距离是……17分11,2)A -1321,22A F λμμ⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭ 1A F ⊥ACE 1//A F n==83412112λμλμ+=⎧⎨-=⎩831μ=831ABC 831。
高二理科数学寒假试卷及答案
麓山国际高二年级学生学习在线检测(理科)数学卷命题人：高二理科数学组姓名：班级：得分：一．选择题（共15小题15*3=45）1．设集合A={x|x+1≤0}，B={x∈Z|x2﹣3＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣1，2）B．{﹣1，0，1}C．（﹣1，1）D．{0，1}2．已知复数Z=a+bi（a、b∈R），且满足，则复数Z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m⊂α”是“n⊥m”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．5．在（2++）12的展开式中，x5项的系数为（）A．252 B．264 C．512 D．5286．某高中在校学生2000人，为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中a：b：c=2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）A．36人B．60人C．24人D．30人7．如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（）A．B．﹣ C．﹣D．8．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）．下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．若，，，则s1，s2，s3的大小关系为（）A．s1＜s2＜s3B．s2＜s1＜s3C．s2＜s3＜s1D．s3＜s2＜s110．下列命题中，真命题是（）A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2 B．∀x∈（0，π），有sinx＞cosxC．∃x∈R，使得x2+x=﹣2 D．∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x11．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定12．设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（）A．.2 B．C．D．13．若函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=2xe x（e为自然对数的底数），f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（0，2]C．（1，2]D．（2，3]14．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A． B． C． D．15．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二．填空题（共5小题5*3=15）16．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．17．在流程框图如图中，若记y=f（x），且x0满足f（f（x0））=2，求x0=．18．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3S1=S2=S3=，…依此规律，那么S10=．19．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[3，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．20．在双曲线4x2﹣y2=1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是．三．解答题（共5小题5*12=60）21．已知命题α：x1和x2是方程的两个实根，不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题β：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．（Ⅰ）若命题α是真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题α是真命题且命题β是假命题，求实数a的取值范围．22．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．（1）求甲和乙都不获奖的概率；（2）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和数学期望．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB ⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥PB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．24．设A，B分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，椭圆的长轴为4，且点（1，）在椭圆上，斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点（A，B位于直线l的两侧）．（1）求椭圆的方程；（2）求四边形APBQ的面积的最大值．25．已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．麓山国际高二年级学生学习在线检测(理科)数学卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．设集合A={x|x+1≤0}，B={x∈Z|x2﹣3＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣1，2）B．{﹣1，0，1}C．（﹣1，1）D．{0，1}【解答】解：A={x|x+1≤0}={x|x≤﹣1}，B={x∈Z|x2﹣3＜0}={﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B={x|x＞﹣1}∩{﹣1，0，1}={0，1}，故选：D2．已知复数Z=a+bi（a、b∈R），且满足，则复数Z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵，∴=，即+i=，∴=，=﹣，∴a=7，b=﹣10，故复数Z在复平面内对应的点是（7，﹣10），故选D．3．已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m⊂α”是“n⊥m”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵n⊥α，若“m⊂α”，则“n⊥m”．反之不成立，可能m∥α．∴n⊥α，则“m⊂α”是“n⊥m”的充分不必要条件．故选：A．4．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠ACB为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．PC=，∴，，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．5．在（2++）12的展开式中，x5项的系数为（）A．252 B．264 C．512 D．528【解答】解：，要出现x5项，则r=0，，∴x5项的系数为．故选：B．6．某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中a：b：c=2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）A．36人B．60人C．24人D．30人【解答】解：全校参与跑步有2000×=1200人，高二级参与跑步的学生=1200××=36．故选A7．如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（）A．B．﹣ C．﹣D．【解答】解：由题意：三棱锥ABCD中，连结ND，取ND 的中点为E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC．∵AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，∴AN=，ME=EN=，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==；cos∠EMC===．∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．故选A．8．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）．下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y=xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，∴f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，∴f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，∴f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选：B．9．若，，，则s1，s2，s3的大小关系为（）A．s1＜s2＜s3B．s2＜s1＜s3C．s2＜s3＜s1D．s3＜s2＜s1【解答】解：由于=x3|=，=lnx|=ln2，=e x|=e2﹣e．且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3故选B．10．下列命题中，真命题是（）A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2 B．∀x∈（0，π），有sinx＞cosxC．∃x∈R，使得x2+x=﹣2 D．∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x【解答】解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[，]，2∉[，]，故A“∃x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；当x=时，sinx＜cosx，故B“∀x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；∵方程x2+x=﹣2无解，故C“∃x∈R，使得x2+x=﹣2”，不正确；令f（x）=e x﹣x﹣1，则f′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=e x﹣x﹣1在区间（0，+∞）上为增函数，又∵f（0）=e x﹣x﹣1=0，∴D“∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x”正确；故选D11．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：因为三角形内角的正弦均为正值，故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正，所以△A1B1C1为锐角三角形．由于，，，若△A2B2C2是锐角三角形，则，与三角形内角和为π弧度矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨令A2=，则cosA1=sinA2=1，故A1=0，与△A1B1C1为锐角三角形矛盾；故△A2B2C2是钝角三角形，故选：C．12．设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（）A．.2 B．C．D．【解答】解：方法一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积是1，则mn=1，得mn=2，∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2∴（m﹣n）2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4，结合双曲线定义，得（m﹣n）2=4a2，∴4c2﹣4=4a2，化简整理得c2﹣a2=1，即b2=1，则b=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，故选C．方法二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S=，∠F1PF2=θ，由PF1⊥PF2，则∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积S==b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，故选C．13．若函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=2xe x（e为自然对数的底数），f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（0，2]C．（1，2]D．（2，3]【解答】解：由题意，（）′=2x，∴=x2+b，∴f（x）=（x2+b）e x，∵f（0）=1，∴b=1，∴f（x）=（x2+1）e x，f′（x）=（x+1）2e x，∴当x＞0时，=1+≤2，当且仅当x=1时取等号，∴当x＞0时，的最大值为2，x→+∞时，=1+→1，故1＜≤2，故选：C．14．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C62=15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6），∴摸一次中奖的概率是=，4个人摸奖．相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是×（）3×=，故选：B．15．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选A．二．填空题（共5小题）16．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．【解答】解：如图，设两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD设OA=OB=2，则弓形OMC的面积为S弓形OMC=S扇形OCD﹣S Rt△DCO=•π•12﹣×1×1=﹣所以空白部分面积为S空白=2（S半圆AO﹣2S弓形OMC）=2[•π•12﹣（﹣1）]=2因此，两块阴影部分面积之和为S阴影=S扇形OAB﹣S空白=π•22﹣2=π﹣2可得在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P===．故答案为：．17．在流程框图如图中，若记y=f（x），且x0满足f（f（x0））=2，求x0=．【解答】解：由已知中的流程图可得，该程序的功能是计算分段函数y=f（x）=的函数值，若f（f（x0））=2则f（x0）=﹣则2cosx0=﹣解得x0=故答案为：18．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3S1=S2=S3=，…依此规律，那么S10=210．【解答】解：[x]表示不超过x的最大整数，S1==1×3S2==2×5S3==3×7，…∴S n=[]+[]+…+[]+[]=n×（2n+1），∴S10=10×21=210，故答案为：21019．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[3，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【解答】解：由题意，对任意x∈[3，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f （m）恒成立，即﹣1﹣4m2•（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4恒成立，∴≤﹣在[3，+∞）上恒成立．∵﹣=﹣3，∴当x=3时，﹣取得最小值0，∴，解得：m或m．故答案为：．20．在双曲线4x2﹣y2=1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是﹣=±1．【解答】解：∵双曲线4x2﹣y2=1，∴a2=，b2=1∴渐近线y=2x，y=﹣2x，设A（m，2m），B（n，﹣2n），由于|OA|•|OB|=15，∴|OA|2•|OB|2=225，∴（m2+4m2）（n2+4n2）=225∴m2n2=9，设AB中点M（x，y）x=（m+n），y=m﹣n，∴（2x）2﹣y2=（m+n）2﹣（m﹣n）24x2﹣y2=4mn（4x2﹣y2）2=16m2n2=16×9，∴4x2﹣y2=±12，即﹣=±1，故答案为：﹣=±1．三．解答题（共5小题）21．已知命题α：x1和x2是方程的两个实根，不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题β：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．（Ⅰ）若命题α是真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题α是真命题且命题β是假命题，求实数a的取值范围．【解答】（本小题12分）解：（Ⅰ）∵x1，x2是方程的两个实根，∴，∴，∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|min=3，由不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，可得a2﹣a﹣3≤3，∴﹣2≤a≤3，∴命题α为真命题时，a的取值范围为﹣2≤a≤3；…（5分）（Ⅱ）命题β：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，①当a＞0时，显然有解；②当a=0时，2x﹣1＞0有解；③当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，从而命题β：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时，a＞﹣1．又命题β是假命题，∴a≤﹣1．故命题α是真命题且命题β是假命题时，a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1．…（12分）22．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．（1）求甲和乙都不获奖的概率；（2）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和数学期望．【解答】（满分12分）解：（1）设“甲和乙都不获奖”为事件A，…（1分）则P（A）==，∴甲和乙都不获奖的概率为．…（5分）（2）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…（6分）P（X=0）=，P（X=400）=•=，P（X=600）==，P（X=1000）==，…（10分）∴X的分布列为（11分）∴E（X）==500．…（12分）23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB ⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥PB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】证明：（1）∵面PAD⊥面ABCD=AD，AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴PD⊥AB又∵PD⊥PA，∴PD⊥面PAB，∴PD⊥PB．…（3分）解：（2）取AD中点为O，连结CO，PO，∵∴CO⊥AD∵PA=PD∴PO⊥AD以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则=（1，1，﹣1），=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，﹣1），=（﹣2，﹣1，0）．设=（x，y，z）为面PDC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣2，2），设PB与面PCD所成角为θ，则sinθ==，∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．…（7分）（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设，M（0，y'，z'），由（2）知A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，∴，∵BM∥面PCD，为PCD的法向量，∴即∴综上所述，存在M点，即当时，M点即为所求．…（12分）24．设A，B分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，椭圆的长轴为4，且点（1，）在椭圆上，斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点（A，B位于直线l的两侧）．（1）求椭圆的方程；（2）求四边形APBQ的面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆的长轴为4，且点（1，）在椭圆上，∴2a=4，=1，解得a=2，b2=3．∴椭圆的方程为：．（2）设直线l的方程为：+t，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为+2t2﹣6=0，△＞0，解得t2＜6．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴|PQ|===．A（2，0），B（0，），∴|AB|=，k AB==．∴AB⊥PQ．=∴S四边形APBQ═××==．当且仅当t=0时取等号．∴四边形APBQ的面积的最大值为．25．已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．【解答】解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1﹣2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）．∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=x2﹣（2m+1）x+m（m+1）．∴a+1﹣2m=﹣（2m+1）．∴a=﹣2．…（2分）（2）解法1：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）方程x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m．…（4分）①当m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为，，…（5分）则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②当m＜0时，由△＞0，得或，若，则，，故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，（苏元高考吧：www．gaokao8．net）∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）没有极值点．…（7分）若时，，，则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）解法2：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）若函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点等价于函数φ'（x）有两个不等的零点，且至少有一个零点在（1，+∞）上．…（4分）令φ'（x）==0，得x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0，（*）则△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m＞0，（**）…（5分）方程（*）的两个实根为，．设h（x）=x2﹣（2+k）x+k﹣m+1，①若x1＜1，x2＞1，则h（1）=﹣m＜0，得m＞0，此时，k取任意实数，（**）成立．则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②若x1＞1，x2＞1，则得又由（**）解得或，故．…（7分）则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任何实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）（3）证法1：∵m=1，∴g（x）=．∴==．…（10分）令T=，则T==．∵x＞0，∴2T=…≥…===2（2n﹣2）．…（11分）∴T≥2n﹣2，即[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2．…（12分）证法2：下面用数学归纳法证明不等式≥2n﹣2．①当n=1时，左边=，右边=21﹣2=0，不等式成立；…（10分）②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即≥2k﹣2，则==…（11分）=2k+1﹣2也就是说，当n=k+1时，不等式也成立．由①②可得，对∀n∈N*，[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2都成立．…（12分）。
2022-2023学年高二数学寒假作业二(含答案)
直线和圆的方程（A 卷）寒假作业1.已知(2,4)A ，(3,1)B -，直线:l y kx =与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围为( ). ,0][2,)+∞[1,)⎤+∞⎥⎦[2,)⎤-∞⎥⎦2.已知设点M 是圆224690C x y x y +--+=上的动点，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值为( )2 2- 2+ 2 3.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.D.4.“4m =”是“直线(34)30mx m y +-+=与直线230x my ++=平行”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.圆221:20C x y ay +-=和圆222:(1)4C x y -+=相交，则实数a 的取值范围是( )A.33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C.(,1)(1,)-∞-⋃+∞D.33,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.已知直线2140ax by -+=平分圆22:42110C x y x y +---=的面积，过圆外一点A.4B.5C.6D.77.（多选）已知直线l 的方程为3260x y -+=，则( ). A.直线l 在x 轴上的截距为2 B.直线l 在y 轴上的截距为3 C.直线l 的倾斜角为锐角D.过原点O 且与l 垂直的直线方程为230x y +=8.（多选）已知圆221:40C x y +-=和圆222:6890C x y x y +--+=，则( ). A.两圆的圆心的距离为25 B.两圆相交C.两圆的公共弦所在直线的方程为68110x y +-=9.已知直线1:10l ax by ++=与直线2:210l x y +-=互相垂直，且1l 经过点(1,0)-，则b =____________.10.若直线0x y m +-=与圆222x y +=相离，则m 的取值范围是__________. 11.已知圆221:2440C x y x y +-+-=，圆222:2220C x y x y ++--=，则两圆的公切线条数是_________.12.已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心为(,0)(0)a a ≤，且圆M 与直线0x y ++相切.(1)求圆M 的标准方程；(2)若过点(0,1)Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A ，B 两点，若PAB △，求直线l 的方程.直线和圆的方程（B 卷）寒假作业1.已知直线1:220l x y ++=，2:20l x y +=，则1l 与2l 之间的距离为( ).2.已知P 是圆22:4210C x y x y +--+=上动点，直线:3450l x y ++=，则点P 到直线l 距离的最小值为( ) A.5B.3C.2D.13.已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是( )D.4.设点(3,4)M 在圆222:(0)O x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得π3OMN ∠=，则实数r 的取值范围是( )A.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.⎫+∞⎪⎪⎣⎭C.⎫⎪⎪⎣⎭D.5,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.若直线:(2)(3)50()l m x m y m ++-+=∈R 与圆22:(1)(2)16P x y -++=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为( )B. C.D.6.已知圆221x y +=与圆226860x y x y m +--++=相外切，则m 的值为( ). A.3B.4C.5D.67.（多选）已知直线:10l kx y k -+-=，圆22:4C x y +=，则下列结论正确的是( ) A.直线与圆有两个交点B.1k =时，弦长最大且最大值为4C.1k =-D.弦长最短时，直线与劣弧所围成的封闭图形的面积为π2-8.（多选）已知圆222212:(3)(1)4,:(3)1C x y C x y -+-=++=，直线:(1)l y k x =-，点,M N 分别在圆12,C C 上.则下列结论正确的有( ) A.圆12,C C 没有公共点 B.||MN 的取值范围是[]1,7C.过N 作圆1C 的切线，则切线长的最大值是D.直线l 与圆12,C C 都有公共点时，23k ≥9.已知平行于直线4350x y -+=的直线l ，与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l 的方程是______________.10.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若存在圆C 的弦AB ，使得AB =，且其中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是___________.11.已知圆221:4160C x y x +--=与圆222:240C x y y ++-=，则圆1C 与圆2C 的公切线方程是___________________.12.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以20,5E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.答案以及解析1.答案：D[2,)⎤+∞⎥⎦.故选D.2.答案：B解析：由题意可知圆心(2,3)C ，半径2r =，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值min 22d =-=-，故选B. 3.答案：A解析：由圆22(2)2x y -+=可得圆心坐标为()2,0，半径r =ABP △的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有1||2S AB d =⋅.易知||AB =，max d ==，min d =26S ≤≤，故选A.4.答案：C解析：由4m =，易得直线4830x y ++=与直线2430x y ++=平行；由直线(34)30mx m y +-+=与直线230x my ++=平行，得342m m m-=，解得2m =或4m =，经检验，当2m =时，直线2230x y ++=与直线2230x y ++=重合，故4m =，所以“4m =”是“直线(34)30mx m y +-+=与直线230x my ++=平行”的充要条件，故选C.解析：221:20C x y ay +-=的圆心1(0,)C a ，半径1||r a =.222:(1)4C x y -+=的圆心2(1,0)C ，半径22r =.连接12C C ，因为两圆相交，所以121212|||r r C C r r -<<+∣，即|||2|||2a a -<<+，解得34a >或34a <-，故选D.6.答案：A解析：将圆22:42110C x y x y +---=化为标准方程，得22(2)(1)16x y -+-=， 所以圆心(2,1)C ，半径4r =，因为直线2140ax by -+=平分圆22:42110C x y x y +---=的面积，所以圆心(2,1)C 在直线2140ax by -+=上，故22140a b -+=，即7b a =+.在Rt PQC △中，22222222||||(2)(1)16(2)(6)162824PQ PC r a b a a a a =-=-+--=-++-=++22(2)16a =++，7.答案：BCD解析：在3260x y -+=中，令0y =，得2x =-，所以A 不正确；令0x =，得3y =，确；因为与l 垂直的直线方程可设为230x y m ++=，且直线过原点，所以0m =，故D 正确.故选BCD. 8.答案：BD解析：圆221:4C x y +=的圆心1C 的坐标为(0,0)，半径12r =；圆222:(3)(4)16C x y -+-=的圆心2C 的坐标为(3,4)，半径24r =，则圆心距两圆方程相减得68130x y +-=，故两圆的公共弦所在直线的方程为68130x y +-=，9.答案：-2解析：因为12l l ⊥，所以20a b +=，又10a -+=，所以2b =-. 10.答案：2m <-或2m >解析：设圆心(0,0)O 到直线的距离为d ，则d ==，圆的半径r =因为直线与圆相离，所以d r >，>2m >，解得2m <-或2m >， 故答案为：2m <-或2m >. 11.答案：2解析：由222440x y x y +-+-=， 得22(1)(2)9x y -++=， 可得圆1C 的圆心坐标为(1,2)-， 半径为3.由222220x y x y ++--=， 得22(1)(1)4x y ++-=，可得圆2C 的圆心坐标为(1,1)-，半径为2.所以两圆的圆心距d则321325d -=<<+=，故两圆相交，其公切线的条数为2. 12.答案：(1)圆M 的标准方程为224x y +=. (2)直线l 的方程为1y x =±+.解析：(1)设圆M 的标准方程为222()(0,0)x a y r a r -+=≤>. 圆心M到直线0x y ++由题意得224,,a r r ⎧+==所以0a =或a =（舍去），所以24r =， 所以圆M 的标准方程为224x y +=.(2)易知直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为1y kx =+，由(1)知圆心M 的坐标为(0,0)，半径为2，则圆心M 到直线l所以AB ==设点(0,2)P -到直线l 的距离为d ，则d =，所以1122PABSAB d =⋅=⨯=，解得1k =±， 则直线l 的方程为1y x =±+.答案以及解析1.答案：A故选A. 2.答案：D解析：224210x y x y +--+=可化为22(2)(1)4x y -+-=，所以圆心(2,1)C ，半径为2，所以圆心C 到直线l 3=，则直线l 与圆C 相离，所以点P 到直线l 的最小距离为321-=，故选D. 3.答案：B解析：由题易得直线:20l kx y k -+-=，即(1)20k x y --+=，过定点(1,2)M . 点(,)P x y 在直线210x y +-=上，12y x ∴=-，||MP ∴故当15x =-时，||MP 取得最小值 B. 4.答案：C解析：如图，要使222(0)x y r r +=>上存在点N 使得π3OMN ∠=，则OMN ∠的最大值大于或等于π3时，一定存在点N 使得π3OMN ∠=.当MN 与圆相切时，OMN ∠取得最大值，又5OM =，所以sin 5ON ON OMN OM ∠==，解得ON ≥，即r ≥又点(3,4)M 在圆外，所以05r <<.综上，r 的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭.5.答案：C解析：本题考查直线与圆的位置关系.(2)(3)50m x m y ++-+=可化为()2350x y m x y ++-+=，令0,2350,x y x y +=⎧⎨-+=⎩1,1.x y =-⎧∴⎨=⎩∴直线l 恒过定点(1,1)E -，∴当AB PE ⊥时，||AB 最小，此时||AB ===故选C.6.答案：A解析：由圆226860x y x y m +--++=，可得22(3)(4)19x y m -+-=-，则190m ->，所以19m <，所以圆226860x y x y m +--++=的圆心为(3,4)，半径为又圆221x y +=与圆226860x x y y m -+-++=相外切，则7.答案：ABD解析：由题知，直线:10l kx y k -+-=经过定点()1,1P ，点P 在圆C 内部，故直线和圆共有两个交点，故选项A 正确;当1k =时，直线经过圆心，此时弦长最大且最大值为4，故选项B 正确;当1k =-时，当直线2y x =-与直径垂直时，弦长最小，圆心(0,0)到直线2y x =-的距离d ==C 错误;当弦长最短时，劣弧所对的扇形面积21π2π4S =⨯=，直线l 与圆C 交点同圆心O 三点连接成的封闭图形的面积2S =，因此直线与劣弧所围成的封闭图形的面积为π2-，故选项D 正确，故选ABD. 8.答案：AC解析：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系.圆1C 的圆心1(3,1)C ，半径12r =，圆2C 的圆心2(0,3)C -，半径21r =.对于选项A ，圆心距125d r r >+，所以圆12,C C 外离，选项A 正确;对于选项B ，||MN 的最小值为()122d r r -+=，最大值为()128d r r ++=，选项B 错误;对于选项C ，连接12C C 与圆2C 交于点N (外侧交点)，过N 作圆1C 的切线，切点为P ，此时||NP 最长，在1 Rt C PN 中，||NP ，选项C 正确;对于选项D ，直线l 方程化为:0kx y k --=，圆心1C 到直线l 2≤，解得34k ≥-，圆心2C 到直线l 1≤，解得43k ≥，所以直线l 与圆12,C C 都有公共点时，43k ≥，选项D 错误.故选AC. 9.答案：43120x y -+=或43120x y --=解析：设直线l 的方程为430x y m -+=，则直线l 在两坐标轴上的截距分别为4m-，3m，所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积21624324m m m S ===，解得12m =±，所以直线l 的方程为43120x y -+=或43120x y --=.10.答案：k解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，圆心(1,2)C -，半径2r =，由于弦AB 满足||AB =M ，则||1CM ，因此M 点在以(1,2)C -为圆心，1为半径的圆上， 又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=1≤，解得k ≤11.答案：260x y ++=解析：圆221:4160C x y x +--=，即()22220x y -+=，圆心为()12,0C ，半径1r =222:240C x y y ++-=，即()2215x y ++=，圆心为()20,1C -，半径2r =，圆心角1212C C r r ==-，所以两圆相内切. 由22224160240x y x x y y ⎧+--=⎨++-=⎩解得22x y =-⎧⎨=-⎩， 所以两圆切点的坐标为()2,2--，12101022C C k --==-，所以公切线的斜率为-2， 所以公切线的方程为()()222y x --=-+，260x y ++=. 故答案为：260x y ++=. 12.答案：（1）见解析（2）当0t =时，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解析：（1）证明：依题意，可设:AB y kx b =+，1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠.联立2,2,x y y kx b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2220x kx b --=. 2480k b ∆=+>，122x x k +=，122x x b =-.又直线DA 与抛物线相切，则2111122x x x t+=-， 所以211210x tx --=，同理222210x tx --=. 所以1222k x x t =+=，1221b x x -=⋅=-， 所以k t =，12b =，则直线1:2AB y tx =+，必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）解法一：由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,22y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=. 于是122x x t +=，()21212121y y t x x t +=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 解法二：设M 为线段AB 的中点，由（1）可知212,M t t ⎛+⎫ ⎪⎝⎭.所以()2,2EM t t =-，()2,FM t t =， 又EM FM ⊥，则()2220t t t t ⋅+-⋅=， 解得0t =或1t =或1t =-.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.。
吉林省2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案
2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷（答案在最后）考试时间：90分钟满分：120分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则下列说法不正确的是（）A.事件{}1,2P =是随机事件B.事件{}0,1,2Q =是必然事件C.事件{}1,2M =--是不可能事件D.事件{}1,0-是随机事件【答案】D 【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.【详解】随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则事件{}1,2P =是随机事件，故A 正确；事件{}0,1,2Q =是必然事件，故B 正确；事件{}1,2M =--是不可能事件，故C 正确；事件{}1,0-是不可能事件，故D 错误.故选：D2.已知点()1,0A ，(1,B -，则直线AB 的倾斜角为（）A.5π6B.2π3C.π3 D.π6【答案】B 【解析】【分析】由两点坐标求出斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求【详解】0tan 11AB k α-===--，()0,πα∈，故直线AB 的倾斜角2π3α=.故选：B3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A 【解析】【分析】由独立事件概率乘法公式可得.【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件123,,A A A ，由题知()()()()()()1231230.6,0.4P A P A P A P A P A P A ======，则3人中至少有2人投中的概率为：()()()()123123123123P P A A A P A A A P A A A P A A A =+++320.630.60.40.648=+⨯⨯=.故选：A.4.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（）A.13B.15C.25D.110【答案】D 【解析】【分析】先利用和事件的概率公式求出()P AB ，然后利用()()()P AB P A P AB =-求解即可.【详解】因为1()2P A =，3()5P B =，所以()251,()2P A P B ==，又()()()()()122512P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-=，所以()25P AB =，所以()()()1102512P P P A AB A B ==-=-.故选：D.5.若()2,2,1A ，()0,0,1B ，()2,0,0C ，则点A 到直线BC 的距离为（）A.5B.5C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意得()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =-，再根据点线距离的向量公式即可求解.【详解】()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =- ，则BA 在BC上的投影向量的模为BA BC BC⋅= 则点A 到直线BC5=．故选：A.6.某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流．．．．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）A.13B.16C.112 D.524【答案】C 【解析】【分析】由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可.【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，则概率为22133231441⨯⨯⨯=；故选：C.7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）A.13B.12C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据6根算筹，分为五类情况：51,42,33,24,15+++++，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为51,42,33,24,15+++++一共五类情况；第一类：51+，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91；第二类：42+，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86；第三类：33+，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77；第四类：24+，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68，第五类：15+，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19；综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个，故概率为81=162，故选：B.8.正三棱柱111ABC A B C -中，12,3,AB AA O ==为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A.4⎡⎫⎢⎣⎭B.,27⎢⎣⎦C.34747⎢⎣⎦D.【答案】B 【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱11ABC A B C -中,O 为BC 的中点，取11B C 中点Q ，连接OQ ，如图，以O 为原点，,,OC OA OQ 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,,1,0,,1,0,O A B C -，因为M 是棱11B C上一动点，设(M a ，且[1,1]a ∈-，所以(()0OM OA a ⋅=⋅=，则OA OM ⊥，因为ON AM ⊥，且MN MOMO MA=所以在直角三角形OMA 中可得：~OMN AMO 即222MO MN MA===，于是令tt =∈，2233tt t t-==-，t ∈，又符合函数3=-y t t 为增增符合，所以在t ∈上为增函数，所以当t =min 32t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN 长度的最小值为62，当t =时，max 37t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN长度的最大值为7，故选：B.【点睛】关键点睛：1.找到~OMN AMO ，再利用函数单调性求出最值.2.建系，设出动点(M a ，利用空间向量法求出ON AM ⊥，再结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；B.在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11ACC A ；C.对于空间三个非零向量,,a b c，一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立；D.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25．【答案】ABD 【解析】【分析】由相等向量的概念即可判断选项A ，利用线面垂直的判定定理证明即可判断选项B ，由数量积的性质即可判断选项C ，建立空间直角坐标系利用向量的坐标即可计算异面直线MD 与NC 所成角的余弦值判断选项D.【详解】若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，而当两向量方向和长度相等时，这两个向量相等；故A 正确；在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，即直棱柱1111ABCD A B C D -中底面为菱形，因为BD AC ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，所以BD ⊥平面11ACC A ；故B 正确；对于空间三个非零向量,,a b c ，有()a b c c λ⋅⋅= ，()a b c a μ⋅⋅=，所以不一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立，故C错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,2M ，()2,1,0N ，()0,2,0C ，所以()1,0,2DM = ，()2,1,0NC =-，所以2cos ,5DM NC ==-，所以异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25，故D 正确.故选：ABD.10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记事件A =“7x y +=”，事件B =“3x ≤”，事件C =“()21N xy k k *=-∈”，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个；其中事件A =“7x y +=”包含的样本点有：()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1共6个；事件C =“()*21Nxy k k =-∈”，包含的样本点有：()1,1，()3,3，()5,5，()1,3，()1,5，()3,1，()3,5，()5,1，()5,3共9个，事件B =“3x ≤”，包含的样本点有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6共18个，对于A ，()91364P C ==，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的样本点有()1,6，()2,5，()3,4共3个，所以()()()6118131,,3663623612P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =，所以A 与B 相互独立，故B 正确；对于C ，A C U 包含的样本点个数满足691536+=<，所以A 与C 不为对立事件，故C 错误；对于D ，事件BC 包含的样本点有：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，共6个，而()14P C =，()12P B =，()61366P BC ==，从而()()()1816P P P BC B C ≠==，所以B 与C 不相互独立，故D 错误.故选：AB.11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条长为3的线段B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD C.三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D.若12D Q =，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ，则sin θ【答案】ACD 【解析】【分析】在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，证得平面//DEF 平面1A PD ，进而得到1//D Q 平面1A PD ，可判定A 正确；以1D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面1A PD 的一个法向量(3,2,3)m =-，根据1D Q m λ= ，得出矛盾，可判定B 不正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得16A PD S =,在求得点Q 到平面1A PD的最大距离max d =，结合体积公式，可判定C 正确；根据题意，求得点点Q 的轨迹，结合线面角的公式，求得11(,1,)22Q 时，取得最大值，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，分别在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，可得1//EF B C ，因为11//A D B C ，所以1//EF A D ，因为1A D ⊂平面1A PD ，EF ⊄平面1A PD ，所以//EF 平面1A PD ，又由11//D F A P ，且1A P ⊂平面1A PD ，1D F ⊄平面1A PD ，所以1//D F 平面1A PD ，又因为1EF D F F ⋂=，且1,EF D F ⊂平面DEF ，所以平面//DEF 平面1A PD ，且平面DEF ⋂平面11BCC B EF =，若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹为线段EF ，且223EF =，所以A 正确；对于B 中，以1D 为原点，以11111,,D A D C D D 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得12(1,0,0),(0,0,1),(1,1,)3A D P ，则112(1,0,1),(0,1,)3A D A P =-= ，设(,1,)(01,01)Q x z x z ≤≤≤≤，可得1(,1,)D Q x z =，设(,,)m a b c = 是平面1A PD 的一个法向量，则110203m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3c =，可得3,2z b ==-，所以(3,2,3)m =-，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，则3[0,1]2x z ==-∉，所以不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，所以B 错误；对于C 中，由112(1,0,1),(0,1,3A D A P =-=，可得1111132,33A D A P A D A P ==⋅=，则11cos ,A D A P =11sin ,A D A P = ，所以111111sin 2236A PD S A D A P DA P =⋅∠=⨯ ,要使得三棱锥1Q A PD -的体积最大，只需点Q 到平面1A PD 的距离最大，由1(1,1,)AQ x z =- ，可得点Q 到平面1A PD的距离1)5A Q m d x z m ⋅==+-，因为01,01x z ≤≤≤≤，所以当0x z +=时，即点Q 与点1C重合时，可得max d =，所以三棱锥1Q A PD -的最大体积为111533618A PD S =⋅=，所以C 正确；对于D 中，在正方体中，可得11D C ⊥平面11BCC B ，且1C Q ⊂平面11BCC B ，所以111D C C Q ⊥，则12C Q ==，所以点Q 的轨迹是以1C为圆心，以2为半径的圆弧，其圆心角为π2，则1(,0,)C Q x z =，所以12C Q == ，即2212x z +=，又由1(,1,)D Q x z =，设1D Q 与平面1A PD 所成的角θ，所以111sin cos ,m D Q m D Q m D Qθ⋅===，因为2212x z +=，可得222()2()x z x z +≤+，当且仅当x z =时，等号成立，所以1x z +≤，即12x z ==时，1D Q 与平面1A PD 所成的角最大值，sin θ=D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分，共15分．12.已知()3,2,1a =- ，()2,1,2b =r，当()()2ka b a b +⊥- 时，实数k 的值为____________．【答案】6【解析】【分析】由题意依次算得22,,a b a b ⋅ 的值，然后根据()()2ka b a b +⊥-列方程即可求解.【详解】因为()3,2,1a =-，()2,1,2b = ，所以()2294114,4149,3221126a ba b =++==++=⋅=⋅+⋅+-⋅=，因为()()2ka b a b +⊥-，所以()()()()22221214186122120ka b a b ka b k a b k k k +⋅-=-+-⋅=-+-=-=，解得6k =.故答案为：6.13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋，从中有放回地．．．．取出2只，记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M 的概率是____________．【答案】13【解析】【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.【详解】设111,,a b c 表示三只左鞋，222,,a b c 表示三只右鞋，则从中有放回取出2只的所有可能为：()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ，共计36种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，()121363P M ∴==.故答案为：13.14.已知正四面体ABCD 的棱切球1T （正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球2T 的半径为______；若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动，且满足MN x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为______．【答案】①.3②.26+【解析】【分析】第一空：将正四面体ABCD 放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球2T 的半径；第二空：由不等式可知，()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，只需求出max MN 、minAT 即可.【详解】第一空：连接,AD EF ，设交点为M ，则M 是AD 中点，如图所示，将正四面体ABCD 放入正方体中，由对称性可知正方体中心就是正四面体ABCD 的中心，设正方体棱长为2a ，则棱切球球心到正四面体ABCD 的六条棱的距离都等于a ，设正四面体ABCD 的棱切球1T 的半径为1r ，所以11r a ==，正方体棱长为2，AD =，而正四面体ABCD 的体积为1182224222323A BCD V -⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，正四面体ABCD的表面积为(21422A BCD S -=⨯⨯⨯=设该正四面体的内切球2T 的半径为r，则由等体积法可知，1833⨯=，解得33r =；第二空：取任意一点T ，使得()22x y z AT MN xAB y AC z AD xAO y AC z AD ++==++=++，所以点T 在面OCD 内（其中O 是AB 中点），所以()13213x y z AT MN r r ++=≤+=+，而点A 到平面OCD 的距离为d AO ==所以()1232226x y z AT x y z x y z AT+++++≤++=≤+，等号成立当且仅当2x y z ++是正数且,T O重合且13MN =+ ，综上所述，2x y z ++的最大值为26+.故答案为：33，2626+.【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，由此即可顺利得解.四、解答题：本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==．设1,,AB a AC b AA c ===．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值．【答案】（1）122333a b c-++（2）11【解析】【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；（2）先用基向量,,a b c 表示AC 与MN ，然后求解MN 与AC 以及数量积MN AC ⋅，然后计算夹角的余弦值即可.【小问1详解】由图可得：()()1111111112123333MN MB BB B N A B AA B C AB AA AA AC AB=++=++=-++- 1122122333333AB AC AA a b c =-++=-++.【小问2详解】由（1）可知122333MN a b c =-++ ，因为11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，所以0a b ⋅=，12a c ⋅= ，12b c ⋅= ，2222212214444814424110333999999999999MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅=++--+= ⎪⎝⎭ ，所以113MN = ，AC b = ，1AC =，212212221·133333333MN AC a b c b a b b c b ⎛⎫⋅=-++=-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭所以cos ,11MN AC MN AC MN AC⋅==，所以异面直线MN 与AC的夹角的余弦值为11.16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，,E F 分别为1BB ，1CC的中点．（1）证明：1A F ∥平面CDE ；（2）求三棱锥1A CDE -的体积；（3）求直线1A E 与平面CDE 所成的角．【答案】（1）证明过程见解析（2）16（3）π6【解析】【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量1A F与平面CDE 的法向量后，借助空间向量计算即可得；（2）求出空间向量1A E与平面CDE 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，进一步求得三棱锥的高以及底面积即可得解.（3）由（2）可知直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，从而即可得解.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两垂直，且122AA AB ==，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,2A.因为E ，F 分别为11,BB CC 的中点，所以()1,0,1E ，()1,1,1F ，则()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =- ，()11,1,1A F =-，设平面CDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则有0x =，1z =，即()0,1,1m =，因为()11011110A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以1A F m ⊥ ，又1⊄A F 平面CDE ，所以1//A F 平面CDE ；【小问2详解】由（1）可知，()11,0,1A E =-，1111cos ,2A E m A E m A E m⋅==-，所以1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12.注意到1A E =所以点1A 到平面CDE122=，而()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =-，从而0CD CE =⋅，1,CD CE == 所以CD CE ⊥，三角形CDE的面积为1122⨯=，所以三棱锥1A CDE -的体积为113226⨯⨯=；【小问3详解】由（2）可知，1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12，所以直线1A E 与平面CDE 所成的角为π6.17.2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球4个，白球2个（红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个红球获胜编号之和不超过m 获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）甲同学先玩了游戏一，当m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．【答案】（1）13，49（2）m 可能取值为7,8,9,10,11【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.【小问1详解】设事件A 表示“游戏一获胜”，B 表示“游戏二获胜”，C 表示“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为{}1Ω1,2,3,4,5,6=，则()1Ω6n =，()2n A =，()2163P A ∴==，所以游戏一获胜的概率为13．游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间(){}21Ω,,Ωx y x y =∈，则()2Ω36n =，而(){}{},,1,2,3,4B x y x y =∈，所以()16n B =，()164369P B ∴==，所以游戏二获胜的概率为49．【小问2详解】设M 表示“先玩游戏二，获得书券”，N 表示“先玩游戏三，获得书券”，则M ABC ABC ABC =⋃⋃，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，,,A B C 相互独立，()()()()()P M P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ∴=⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()1424141393939P C P C P C ⎡⎤=⨯-+⨯+⨯⎣⎦()482727P C =+，则N AC B ACB ACB =⋃⋃，且,AC B ACB ACB 互斥，,,A B C 相互独立，()P N =()()()()P ACB ACB ACB P ACB P ACB P ACB ⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P C P B P A P C P B P A P C P B ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()152414393939P C P C P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1727P C =，若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大，则()()P N P M >，即()()1748272727P C P C >+，解得()49P C >，设游戏三中两次取球的编号和为X ，则()26113C 15P X ===，()26114C 15P X ===，()26225C 15P X ===，()26226C 15P X ===，()26337C 15P X ===，()26228C 15P X ===，()26229C 15P X ===，()261110C 15P X ===，()261111C 15P X ===，所以当3m =时，()()143159P C P X ===<，不合题意；当4m =时，()()()2434159P C P X P X ==+==<，不合题意；当5m =时，()()()()44345159P C P X P X P X ==+=+==<，不合题意；当6m =时，()()()()()643456159P C P X P X P X P X ==+=+=+==<，不合题意；当7m =时，()()()()()()9434567159P C P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==>，符合题意；所以当7m ≥时，都有()49P C >，所以符合题意的m 的取值有7,8,9,10,11.18.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上的三点，设a O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，劣弧BC 的长度记为a ，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ，那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=．①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，,(0,1]BE BD λλ=∈，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点．设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②cos 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面,,OAB OAC OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-= 球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =，则2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A B C D ，可得()20,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)26,,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则222202202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，因为cos cos ,m n m n m n θ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ5=，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x yz=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路:直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=.2.利用空间向量求点到平面距离的方法:设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。
高二数学下学期寒假验收考试试题
智才艺州攀枝花市创界学校二高二零二零—二零二壹高二数学下学期寒假验收考试试题考试时间是是：120分钟总分：150分一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题给出的4个选项里面，只有一选项是符合题目要求的)1.假设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|x ＜1}，那么A ∩B 等于〔〕 A ．〔1，3〕 B ．〔﹣∞，﹣1〕 C ．〔﹣1，1〕 D ．〔﹣3，1〕2.从编号为1，2，…，80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为8的一个样本，假设编号为42的产品在样本中，那么该样本中产品的最小编号为〔〕A ．1B ．2C ．3D ．43.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，假设S △ABC =〔其中S △ABC 表示△ABC 的面积〕，且〔+〕•=0，那么△ABC 的形状是〔〕A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．有一个角是30°的等腰三角形4.数列{a n }是等比数列，且a 1=81，a 4=-1，那么{a n}的公比q 为〔〕 A.2B.21 C.-2D.21 位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是〔〕A..40B.36 C6.抛物线y=3x2的焦点坐标是〔〕A．B．C．D．7.假设焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，那么m等于〔〕A．B．C．D．8.∈A∪B，那么非p是〔〕A．x不属于A∩B B．x不属于A或者x不属于BC．x不属于A且x不属于B D．x∈A∩B9.两定点F1〔﹣5，0〕，F2〔5，0〕，动点P满足|PF1|﹣|PF2|=2a，那么当a=3和5时，P点的轨迹为〔〕A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线10.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式〞，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，那么“三斜求积〞公式为．假设a2sinC=4sinA，〔a+c〕2=12+b2，那么用“三斜求积〞公式求得△ABC的面积为〔〕A．B．2 C．3 D．11.．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，那么点P落在△AOB内的概率是〔〕A．B．C．D．12.设函数f〔x〕=e x〔2x﹣1〕﹣ax+a，其中a＜1，假设存在唯一的整数x0使得f〔x0〕＜0，那么a的取值范围是〔〕A．[〕B．[〕C．[〕D．[〕二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卡的横线上〕13.复数2-i〔i为虚数单位〕的虚部为14.x，y∈R+，且满足x+2y=2xy，那么x+4y的最小值为。
学年高二下学期二月份开学验收数学(理)试卷(附答案)
吉林一中2013-2014高二下学期二月份开学验收试卷数学寒假测试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择1. 已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是( )A ．1x ∀>，210x -≤B ．1x ∀>，210x -> C ．1x ∃>，210x -≤ D ．1x ∃≤，210x -≤2. 题暂缺失3. 命题“若a 2+b 2=0,a,b ∈R,则a=b=0”的逆否命题是（ ） A ．若a≠b≠0,a,b ∈R,则a 2+b 2=0 B ．若a=b≠0,a,b ∈R,则a 2+b 2≠0 C ．若a≠0且b≠0,a,b ∈R,则a 2+b 2≠0 D ．若a≠0或b≠0,a,b ∈R,则a 2+b 2≠04. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-++-0202201a y ax y x y x 表示的平面区域的面积为. 215,则a= （ ）A ．74B ．1C ．2D ．35. 若R,a b c a b ∈>、、，则下列不等式成立的是（ ）A ．b a 11< B ．22b a > C ．1122+>+c bc a D ．||||c b c a >6. 下列说法正确的是（ ）A ．“1a >”是“()log ,(0,1)a f x x a a =>≠且在(0,)+∞上为增函数”的充要条件B ．命题“x R ∃∈使得2230x x ++<”的否定是：“2,230x R x x ∀∈++>”C ．“1x =-”是“2230x x ++=”的必要不充分条件D ．命题:",sin cos p x R x x ∀∈+，则p ⌝是真命题7. 等比数列{}n a 中，14=S ，38=S ，则20191817a a a a +++的值是（ ） A ．14 B ．18 C ．16 D ．208. 已知中心在坐标原点的双曲线C 与抛物线)0(22>=p px x 有相同的焦点F,点A 是两曲线的交点,且AF y ⊥轴,则双曲线的离心率为 （ ）A ．215+ B ．12+ C ．13+ D ．2122+ 9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝（ ） A ．1122n -- B ．322n - C ． 1142n -- D ． 342n - 10. 已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（ ）A ．12B ．2C D ．2二、填空题11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，则不等式f(2)＜f(log 2x)的解集为________．12. 已知,αβ表示两个不同的平面，m 是一条直线，且m α⊂，则“||αβ”是“m ||β”的 条件（填：充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 13. 已知集合{|320,}A x x x R =+>∈，{|(1)(3)0,}B x x x x R =+->∈，则A B = .14. 在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)()n n n a a n N *+-=+-∈，则12351a a a a ++++= .三、解答题15. 角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且角B 满足23)6cos(sin =++πB B ． (1)求角B 的值；(2)若k C A >+sin sin 恒成立，试求实数k 的取值范围．16. 已知椭圆:2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,一条准线:2l x =.(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,M 是l 上的点,F 为椭圆C 的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于P Q 、两点. ①若6PQ =,求圆D 的方程;②若M 是l 上的动点,求证:P 在定圆上,并求该定圆的方程.17. 在正项等比数列{}n a 中，14a =,364a =. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ;(2)记4log =n n b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(3)记24,y m λλ=-+-对于（2）中的n S ，不等式n y S ≤对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案 一、单项选择 1.【答案】A 【解析】$selection$2.【答案】C 【解析】3.【答案】D 【解析】4.【答案】C 【解析】5.【答案】C【解析】当R,a b c a b ∈>、、，如2>-1,ba 11<不成立； 如-3>-4，22b a >不成立；|c|=0时，||||c b c a >不成立，故选C 。
高二数学下学期第二次寒假作业检测试题
HY 中学2021-2021学年高二数学下学期第二次寒假作业检测试题一、选择题〔此题一共10小题，每一小题 5 分，一共 50 分．〕 1．曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为〔 〕A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=2．a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，那么a =〔 〕A ．-4B ．-2C ．4D ．2 3．函数x x y ln 212-=的单调递减区间为〔 〕 A ．(－1,1] B ．(0,1]C ． [1,+∞)D ．(0,+∞)4．设函数()xf x xe =，那么〔 〕A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点5．点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，那么α的取值范围是〔 〕 A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ6．函数()y f x =的图像是以下四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如右图所示，那么该函数的图像是〔 〕7．假设0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，那么ab 的最大值等于〔 〕 A ．2 B ．3 C ．6 D ．98．设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，那么当MN 到达最小时t 的值是〔 〕A ．1B ．12C ．52D ．229．〔多项选择题〕函数()ln ln(2)f x x x =+-，那么〔 〕A ．()f x 在(0,1)单调递增B ．()f x 在(1,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称10．〔多项选择题〕设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩，图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，那么PAB ∆的面积可能是〔 〕A ．1 BD ．1ln3+二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 请将答案填写上在答题卡相应的位置上．〕11．函数()(2+1),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，那么(0)f '的值是____.12．函数32()31f x x x =-+在x =______处获得极小值．13．在平面直角坐标系xOy 中，假设曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，那么b a +的值是 ．14．函数()2xf x =，2()g x x ax =+(其中a ∈R )．对于不相等的实数12,x x ，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --．现有如下命题：①对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n ；③对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =；④对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-．其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．三、解答题〔本大题一一共2小题，一共30分. 请将答案填写上在答题卡相应的位置上．〕15．设函数()32.f x x ax bx c =+++〔I 〕求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；〔II 〕设4a b ==，假设函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围．16．函数2()xf x x e -=．〔Ⅰ〕求()f x 的极小值和极大值；〔Ⅱ〕当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．参考答案与解析1．选C 由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-，所以π2cos πsin π=-2x y ='=-，所以曲线2sin cos y x x =+在点(π,1)-处的切线方程为12(π)y x +=--，即2210x y +-π+=．2．选D 因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=，2x =±，当(,2)x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,2)x ∈-时()0f x '<，()f x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增．所以2a =．应选D ．3．选B∵21ln 2y x x =-,∴1y x x'=-,由0y '，解得11x -，又0x >，∴01x <应选B ．4．选D ()xf x xe =，()(1)xf x e x '=+，0>x e 恒成立，令()0f x '=，那么1-=x ，当1-<x 时，()0f x '<，函数单调减，当1->x 时，()0f x '>，函数单调增，那么1x =-为()f x 的极小值点，应选D ．5．选D 因为'2441(1)2x x x x e y e e e --==≥-+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤．6．选B 由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B ．7．选D 2()1222f x x ax b '=--，由(1)0f '=，即12220a b --=，得6a b +=．由0a >，0b >，所以2()92a b ab +=≤，当且仅当3a b ==时取等号．选D ． 8．选D 由题2||ln MN x x =-(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，那么1'()2h x x x=-，令'()0h x =解得22x =，因2(0,)2x ∈时，'()0h x <，当2(,)2x ∈+∞时，'()0h x >，所以当22x =时，||MN 到达最小．即22t =．9．选ABC 由2(1)()(2)x f x x x -'=-，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，A 正确；在(1,2)上单调递减，B 正确；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确；(2)+()2[ln(2)ln ]0f x f x x x -=-+≠，D 不正确10．选BC 设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -〔不妨设121,01x x ><<〕，那么由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为211121121(,ln )11x x P x x x -+++．∵11x >，∴2112211211||||1211PABA B P x x S y y x x x ∆+=-⋅=<=++，∴01PAB S ∆<<，应选BC ． 11．3()(2+3),(0)3x f x x e f ''=∴=．12．2 由题意2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或者2x =．因0x <或者2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<．∴2x =时()f x 获得极小值． 13．－3 由题意可得542b a -=+①又2()2bf x ax x'=-，过点)5,2(-P 的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-． 14．①④ 因为()2xf x =在R 上是单调递增的，所以对于不相等的实数12,x x ，1212220x x m x x -=>-恒成立，①正确；因为2()g x x ax =+，所以22112212()x ax x ax n x x +-+=-=12x x a ++，正负不定，②错误；由m n=，整理得1122()()()()f xg x f x g x -=-．令函数2()()()2x p x f x g x x ax =-=--，那么()2ln 22x p x x a '=--，令()()t x p x '=，那么2()2(ln 2)2xt x '=-，又2(1)2(ln 2)20t '=-<，2(3)8(ln 2)20t '=->，从而存在0(1,3)x ∈，使得020()2(ln 2)20x t x '=-=，于是()p x '有极小值0002222()2ln 222log ln 2(ln 2)x p x x a a '=--=--，所以存在2222log (ln 2)a =-，使得2()0ln 2p x '=>，此时()p x 在R 上单调递增，故不存在不相等的实数12,x x ，使得1122()()()()f x g x f x g x -=-，不满足题意，③错误；由m n =-得()()f x g x ''=-，即2ln 22xa x -=+，设()2ln 22x h x x =+，那么2()2(ln 2)20x h x '=+>，所以()h x 在R 上单调递增的，且当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞，所以对于任意的a ，y a =-与()y h x =的图象一定有交点，④正确． 15．〔此题满分是15分〕〔I 〕由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．┄┄┄┄2分因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．┄┄┄┄5分〔II 〕当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或者23x =-．┄┄┄┄8分 ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：┄┄┄┄10分所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 使得()()()1230f x f x f x ===．┄┄┄┄13分 由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．┄┄┄┄15分16．〔此题满分是15分〕〔Ⅰ〕()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()2x f x e x x -'=-- ① ┄┄┄┄2分 当(),0x ∈-∞或者()2,x ∈+∞时，()0f x '<；当()0,2x ∈时，()0f x '> 所以()f x 在(),0-∞，()2,+∞单调递减，在()0,2单调递增．┄┄┄┄4分 故当0x =时，()f x 获得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 获得极大值，极大值为()224f e -=． ┄┄┄┄6分〔Ⅱ〕设切点为()(),t f t ，那么l 的方程为()()()y f t x t f t '=-+ 所以l 在x 轴上的截距为()()()22322f t t m t t t t f t t t =-=+=-++'--┄┄┄┄10分 由和①得()(),02,t ∈-∞+∞．令()()20h x x x x=+≠，那么当()0,x ∈+∞时，()h x 的取值范围为)+∞；当(),2x ∈-∞-时，()h x 的取值范围是(),3-∞-． ┄┄┄┄13分所以当()(),02,t ∈-∞+∞时，()m t 的取值范围是(),0[223,)-∞++∞．综上，l 在x 轴上截距的取值范围(),0[223,)-∞++∞． ┄┄┄┄15分。
高二数学寒假作业检测试题-教育文档
2019高二数学寒假作业检测试题2019高二数学寒假作业检测试题查字典数学网为同学总结归纳了高二数学寒假作业检测试题。
希望对考生在备考中有所帮助，预祝大家寒假快乐。
1.在5的二项展开式中，x的系数为()A.10B.-10C.40D.-40解析：选D Tr+1=C(2x2)5-rr=(-1)r25-rCx10-3r，令10-3r=1，得r=3.所以x的系数为(-1)325-3C=-40.2.在(1+)2-(1+)4的展开式中，x的系数等于()A.3B.-3C.4D.-4解析：选B 因为(1+)2的展开式中x的系数为1，(1+)4的展开式中x的系数为C=4，所以在(1+)2-(1+)4的展开式中，x的系数等于-3.3.(2019全国高考)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.168解析：选D (1+x)8展开式中x2的系数是C，(1+y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1+x)8(1+y) 4展开式中x2y2的系数为CC=286=168.4.5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A.-40B.-20C.20D.40解析：选D 由题意，令x=1得展开式各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2，a=1.二项式5的通项公式为Tr+1=C(-1)r25-rx5-2r，5展开式中的常数项为xC(-1)322x-1+C(-1)223x=-40+80=40.5.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3++anxn中，若2a2+an-3=0，则自然数n的值是()A.7B.8C.9D.10解析：选B 易知a2=C，an-3=(-1)n-3C=(-1)n-3C，又2a2+an-3=0，所以2C+(-1)n-3C=0，将各选项逐一代入检验可知n=8满足上式.6.设aZ，且013，若512 012+a能被13整除，则a=()A.0B.1C.11D.12解析：选D 512 012+a=(134-1)2 012+a，被13整除余1+a，结合选项可得a=12时，512 012+a能被13整除.7.(2019杭州模拟)二项式5的展开式中第四项的系数为________.解析：由已知可得第四项的系数为C(-2)3=-80，注意第四项即r=3.答案：-808.(2019四川高考)二项式(x+y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答).解析：由二项式定理得(x+y)5的展开式中x2y3项为Cx5-3y3=10x2y3，即x2y3的系数为10.答案：10. (2019浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A=________.解析：因为5的通项Tr+1=C()5-rr=(-1)rCxx-=(-1)rCx.令15-5r=0，得r=3，所以常数项为(-1)3Cx0=-10.即A=-10. 答案：-1010.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2++a7x7，求：(1)a1+a2+(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|++|a7|.解：令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.令x=-1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.(1)∵a0=C=1，a1+a2+a3++a7=-2.(2)(-)2，得a1+a3+a5+a7==-1 094.(3)(+)2，得a0+a2+a4+a6==1 093.(4)(1-2x)7展开式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|+|a1|+|a2|++|a7|=(a0+a2+a4+a6)- (a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187.11.若某一等差数列的首项为C-A，公差为m的展开式中的常数项，其中m是7777-15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.解：设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn.由已知得又nN*，n=2，C-A=C-A=C-A=-54=100，a1=100.7777-15=(76+1)77-15=7677+C7676++C76+1-15=76(7676+C7675++C)-14=76M-14(MN*)，7777-15除以19的余数是5，即m=5.m的展开式的通项是Tr+1=C5-rr=(-1)rC5-2rxr-5(r=0,1,2,3,4,5)，令r-5=0，得r=3，代入上式，得T4=-4，即d=-4，从而等差数列的通项公式是an=100+(n-1)(-4)=104-4n.设其前k项之和最大，则解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，S25=S26=25=25=1 300.12.从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{r|rN，rn}.(1)证明：f(r)=f(r-1);(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(a+b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.解：(1)证明：f(r)=C=，f(r-1)=C=，f(r-1)==.则f(r)=f(r-1)成立.(2)设n=2k，f(r)=f(r-1)，f(r-1)0，=.令f(r)f(r-1)，则1，则rk+(等号不成立).当r=1,2，，k时，f(r)f(r-1)成立.反之，当r=k+1，k+2，，2k时，f(r)以上就是高二数学寒假作业检测试题，希望能帮助到大家。
沪教版版高二数学辅导评估验收卷(一)
评估验收卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．下列说法正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等答案：B2．小红拿着一物体的三视图(如图所示)给小明看，并让小明猜想这个物件的形状是()A．长方形B．圆柱C．立方体D．圆锥解析：由正视图和侧视图可知该几何体是棱柱或圆柱，则D不可能．再由俯视图是圆可知该几何体是圆柱．答案：B3．如图所示的直观图表示的四边形的平面图形A′B′C′D′是()A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析：AB ∥Oy ，AD ∥Ox ，故A ′B ′⊥A ′D ′.又BC ∥AD 且BC ≠AD ，所以为直角梯形．答案：B4．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324πR 3 B.38πR 3 C.524πR 3 D.58πR 3 解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h . 依题意πR ＝2πr ，所以r ＝R2，则h ＝R 2－T 2＝32R .所以圆锥的体积V ＝13πr 2n ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22·32R ＝324πR 3.答案：A5．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是( )解析：根据三种视图的对角线的位置关系，容易判断A 正确． 答案：A6．若长方体相邻三个面的面积分别为2，3，6，则长方体的体积等于( )A ． 6B ．6C ．6 6D ．36解析：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则不妨设ab ＝6，ac ＝3，bc ＝ 2.所以a 2b 2c 2＝2×3×6＝6. 故长方体的体积V ＝abc ＝ 6. 答案：A7．一个几何体的三视图如下图所示，已知这个几何体的体积为103，则h 为( )A ．32B ． 3C ．3 3D ．5 3解析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，其底面是长为6，宽为5的矩形，高为h ，所以V ＝13×6×5×h ＝103，解得h ＝ 3.答案：B8．过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为( )A.316B.916C.38D.932解析：设球的半径为R ，截面圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋r 2＝R 2，所以r 2＝34R 2.故S 截面S 球＝πr 24πR 2＝14×34＝316. 答案：A9．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面所有可能的图形是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得①，但无论如何都不能截出④.答案：C10．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A ．24 cm 3B ．40 cm 3C ．36 cm 3D ．48 cm 3解析：由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去两个全等的与三棱柱等底面且高为2的三棱锥形成的，故该几何体的体积V ＝12×4×3×8－2×13×12×4×3×2＝40(cm 3)，故选B.答案：B11．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：根据三视图还原出几何体，再根据表面积公式求解． 由三视图可知其对应几何体应为一个切去了18部分的球，由43πr 3×78＝28π3，得r ＝2，所以此几何体的表面积为4πr 2×78＋3×14πr 2＝17π，故选A.答案：A12．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )A.13B.512C.36D.16解析：VD 1B 1C 1E ＝VE B 1C 1D 1＝13S △B 1C 1D 1·CC 1＝13×12×12×1＝16，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．圆台的底面半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．解析：作圆台的轴截面如图所示，则r 1＝O 1D ＝1，r 2＝O 2A ＝2，AD ＝3. 所以圆台的高h ＝AD 2－AH 2＝32－（2－1）2＝2 2.因此圆台的体积V ＝π3(r 21＋r 22＋r 1r 2)h ＝14 2 π3.答案：142 3π14．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径为圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r，则有πr2·6r＝8πr2＋3×43πr3，即2r＝8，所以r＝4.答案：415．已知一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如下图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．解析：设正三棱柱的侧棱与底面边长为a，则V三棱柱＝34a2·a＝23，所以a＝2，因此底面正三角形的高2×sin 60°＝ 3.故侧视图(矩形)的面积S＝3×2＝2 3.答案：2 316．如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图，A ，B ，C ，D 为其上四个点，则以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积为________．解析：将展开图还原为正方体，如图所示．故以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积V ＝V C ABD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12×1＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图(单位：cm)．(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据； (2)按照给出的数据，求该几何体的体积．解：(1)该几何体的俯视图如图所示．(2)该几何体的体积V ＝V 长方体－V 三棱柱＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．18.(本小题满分12分)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，用a 将h 表示出来．解：V 圆锥液＝πh 2·h3，V 圆柱液＝π·(a 2)2·h ，由已知得πh 33＝π·(a2)2h ，所以h ＝32a .19．(本小题满分12分)把一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与等腰三角形的底边边长x 的函数关系式，并求出函数的定义域．解：在Rt △EOF 中，EF ＝5，OF ＝12x ，则EO ＝25－14x 2，于是V ＝13x225－14x 2.依题意，函数的定义域为{x |0＜x ＜10}．20．(本小题满分12分)在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S ，则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ， 所以AE AO ＝EBOC ，即323＝r 2，所以r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.21．(本小题满分12分)如图所示是已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是由正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q A 1D 1P 的组合体．由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝ 22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)． 22．(本小题满分12分)已知一圆锥的母线长为10 cm ，底面半径为5 cm.(1)求它的高；(2)若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．解：(1)它的高为102－52＝53(cm)．(2)其轴截面如图所示．设球的半径为r cm.由题意知△SCE与△SBD相似，则r5＝53－r10.解得r＝533.于是，所求球的体积V球＝4π3r3＝4π3⎝⎛⎭⎪⎫5333＝5003π27(cm3)．。
2021-2022年高二数学下学期寒假作业验收考试试题
2021-2022年高二数学下学期寒假作业验收考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A.圆柱B.圆锥C.圆台D.球2.已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a {0,1,2}，则a的值为A.0B.1C.2D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为A. B.C. D.4.某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是A.2B.3C.4D.55.在△ABC中，若，则△ABC的形状是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形6.sin1200的值为A. B.－1 C. D.－7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BD 与A 1C 1的位置关系是 A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直8.不等式(x ＋1)(2-x)≤0的解集为 A.{x|－1≤x ≤2}B. {x|－1＜x ＜2}C. {x|x ≥2或x ≤－1}D. {x|x ＞2或x ＜－1}9.点P(m,1)不在不等式x ＋y －2＜0表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是 A.m ＜1B.m ≤1C.m ≥1D.m ＞110.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。
11.样本数据－2，0，5，3，4的方差是＿＿＿＿＿＿。
12.点（1，-1）到直线3x-4y+3=0的距离是＿＿＿＿＿。
13.已知a 是函数f(x)＝2－log 2x 的零点，则实数a 的值为＿＿＿＿＿＿。
14.已知函数y ＝sin x(＞0)在一个周期内的图像如图所示，则的值为＿＿＿＿＿＿。
15.如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、C 之间的距离是100米，∠BAC=105º，∠ACB=45º，则A 、B 两点之间的距离为 米．三、解答题：本大题共5小题，满分40分。
高二数学下学期寒假学习质量检测试题理word版本
武威六中高二年级寒假学习质量检测数学试卷（理）一、选择题：( 本大题共12 小题，每题 5 分) ．1．已知条件p： log 2（ x﹣ 1）＜ 1；条件 q： |x ﹣ 2| ＜ 1，则 p 是 q 成立的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足又不用要条件2．设 f （ x）=xlnx ，若，则x0等于（）A．e2 B． e C．D． ln23．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣ A1 B1C1，CA=CC1=2CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．12为双曲线22的左、右焦点，点12124．已知 F、F C：x ﹣ y =1P 在 C上，∠ F PF =60°，则 |PF | ?|PF |=（）A．2B．4C．6D． 85．在△ ABC中， AB=2，AC=3， =，则?=（）A．﹣B．C．﹣D．6．设p：2x2－ 3x＋1≤ 0，q：x2－ (2 a＋ 1) x＋a( a＋ 1) ≤0，若?p是?q的必需不充足条件，则实数a 的取值范围是()11A．[0 ，2]B ．(0 ，2)11C．( －∞， 0] ∪ [ 2，＋∞ )D． ( －∞， 0) ∪( 2，＋∞ )7．将一枚质地平均的骰子先后投掷两次，若第一次向上一面的点数为a，第二次向上一面的点数21为 b，则函数 y＝ ax －2bx＋1在(－∞，2]上为减函数的概率是()1315A． B． C． D．64468．设抛物线的极点在原点，其焦点 F 在 y 轴上，又抛物线上的点P( k，－2)与点 F 的距离为4，则 k 等于()A．4B． 4 或－ 4C．－ 2D．－2或 29．已知a、b是两异面直线，A、 B∈ a， C、 D∈ b， AC⊥b， BD⊥b 且 AB＝2， CD＝1，则直线 a、 b 所成的角为 ()A．30° B．60° C．90°D．45°10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过 F 且与 C 交于 A， B 两点．若| AF|＝3| BF|，则 l 的方程为 ()33A．y＝x－ 1 或y＝－x＋ 1B．y＝3 ( x－1) 或y＝－3 ( x－ 1)C．y＝ 3( x－ 1)22或 y＝－3( x－1)D． y＝( x－ 1) 或y＝－ ( x－ 1)2211．履行两次如下图的程序框图，若第一次输入x 的值为7，第二次输入 x 的值为9，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为()A．0,0 B ． 1,1C． 0,1 D ． 1,012．在正四棱锥S－ ABCD中， O为极点 S 在底面的射影， P 为侧棱SD的中点，且 SO＝ OD，则直线 BC与平面 PAC所成的角是()A．75° B．60° C．45°D．30°二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，合计20 分）13．函数的单一递减区间为．x2y2214．若双曲线m－m＋2＝ 1 的一个焦点与抛物线y ＝8x 的焦点同样，则实数m＝________.→→→15．已知在空间四边形OABC中， OA＝a、OB＝b、 OC＝c，点M在OA上，且OM＝ 3MA，N为BC 中点，用 a、 b、c→→表示 MN，则 MN等于 ________.16．边长为 1 的等边三角形中，沿边高线折起，使得折后二面角－－为 60°，ABC BC AD B AD C点 D到平面 ABC的距离为________.高二数学下学期寒假学习质量检测试题理word版本_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _号考_ _ _ _ _ _ _名姓_ _ _ _ _级班_ _ _ _校学武威六中高二年级寒假学习质量检测数学试卷（理）答题卡一、选择题： ( 本大题共12 小题，每题5分)．题号123456789101112答案二．填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13．14． ____________________15．16． ____________________三、解答题（共 6 小题， 17 小题 10 分，其他各题每题12 分，共 70 分）题17. （本小题 10 分）设函数f ( x) ＝2x3－ 3( a＋1) x2＋ 6ax＋ 8，此中a∈R. 已知f ( x) 在x＝ 3 处获得答极值．(1) 求f ( x) 的分析式；准(2) 求f(x) 在点A(1,16) 处的切线方程．不内线封密x2y218．( 本小题 12分 ) 已知命题p：“方程a－1＋7－a＝ 1表示焦点在 y 轴上的椭圆”；命题 q：“?x∈R，使得 x2－( a－1) x＋1<0”.(1)若命题 p 为真命题，务实数 a 的取值范围；(2)若命题 p∧ q 为真命题，务实数 a 的取值范围．19．( 本小题满分12 分) 已知椭圆C的中心在座标原点，焦点坐标为(2,0) ，短轴长为 4 3.(1)求椭圆 C的标准方程及离心率；(2) 设P是椭圆 C 上一点，且点P 与椭圆 C 的两个焦点F1、 F2组成一个直角三角形，且|PF1|| PF1|>| PF2| ，求|PF2|的值．20．( 本小题满分12 分) 已知抛物线y2＝4x 截直线 y＝2x＋ m所得弦长| AB|＝3 5.(1)求 m的值；(2)设 P是 x 轴上的点，且△ ABP的面积为9，求点 P的坐标．21．如图， ABCD是边长为3 的正方形， DE⊥平面 ABCD，AF∥ DE，DE=3AF，BE与平面 ABCD所成角为 60°．（Ⅰ）求证： AC⊥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣ BE﹣ D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段 BD上一个动点，试确立点M的地点，使得AM∥平面 BEF，并证明你的结论．22. （ 12分）已知函数 f ( x)＝1x2－ a ln x( a∈R)．2(1)若 f ( x)在 x＝2时获得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单一区间；1223(3) 求证：当x>1时，2x ＋l n x <3 x .高二年级2018 年寒假质量检测考试数学试卷( 理 )参照答案一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分．1-5CBABD．6-10 ADBBC 11-12.DD二、填空题（每空5，合计 20 分）13．（ 0，1] ． 14．＝ 1；m→3111515．则 MN=－4a＋2b＋2c16．10三、解答题（共 5 小题，每题14 分）17. 解： (1) f′ ( x) ＝ 6x2－6( a＋ 1) x＋ 6a.由于 f ( x)在 x＝3处获得极值，因此 f ′(3)＝6×9－6( a＋1)×3＋6a＝0，解得 a＝3，因此 f ( x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A 点在 f ( x)上，由(1)可知 f ′( x)＝6x2－24x＋18，f′(1) ＝ 6－24＋ 18＝ 0，因此切线方程为y＝ 16.18[ 分析](1)若命题 p 为真命题，则有a－ 1>07－ a>0，∴ 1<a<4.7－ a>a－ 1故实数 a 的取值范围是(1,4)．(2) 若命题p ∧q为真命题，则p真、q真，由 (1)知p真， 1< <4.a若 q 真，则不等式 x2－( a－1) x＋1<0有解，即＝ ( a－ 1) 2－ 4>0，∴a2－2a－3>0，∴ a>3或 a<－1.又∵ 1<a<4，∴ 3<a<4.故实数 a 的取值范围是 (3,4) ．x2 y219.[ 分析 ](1) 设椭圆 C 的标准方程为 a2＋ b2＝ 1.由题意得 c ＝ 2， b ＝ 2 3，∴ a ＝ 4.x2 y2c 1故椭圆 C 的标准方程为 16＋12＝ 1，离心率 e ＝a ＝ 2.(2) 当点 P 为短轴的一个端点时，∠ F 1PO ＝ 30°，∴∠ F 1PF 2＝60°.故无论点 P 在椭圆 C 上的任何地点时，∠ F 1PF 2≠90°. ∵ | PF 1|>| PF 2| ，∴∠ PF 2F 1＝90°.b2 12∴ | PF 2| ＝ a ＝ 4 ＝ 3.又∵ | PF 1 | ＋ | PF 2| ＝ 2a ＝ 8，∴ | PF 1| ＝ 5，∴|PF1|＝ 5.|PF2| 320[ 分析 ] (1) 设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，由 y ＝2x ＋ m ， 22y2＝ 4x得 4x ＋ 4( m － 1) x ＋ m ＝ 0，由根与系数的关系得x 1＋ x 2＝ 1－ m ， x 1· x 2＝m2 ，4∴|AB | ＝1＋k2＋ －4x1x2m2＝ 1＋22－ －4× 4＝ －，∵ || ＝3 5，∴ － ＝3 5，解得 ＝－ 4.ABm(2) 设 P ( a, 0) ， P 到直线 AB 的距离为 d ，则 d ＝|2a － 0－ 4|2|a － 2|22＋ ＝ ，－ 5 △ABP12·S △ABP又 S ＝ 2| AB | · d ，则 d ＝ |AB| ，2|a － 2| 2×9 ∴＝ ，∴ | a － 2| ＝ 3， 5 3 5∴ a ＝ 5 或 a ＝－ 1，故点 P 的坐标为 (5,0) 或 ( －1,0) ．21．如图， ABCD 是边长为 3 的正方形， DE ⊥平面 ABCD ，AF ∥ DE ，DE=3AF ，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°．（Ⅰ）求： AC⊥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角 F BE D的余弦；（Ⅲ）点M是段 BD上一个点，确立点M的地点，使得AM∥平面 BEF，并明你的．【解答】明：（Ⅰ）因DE⊥平面 ABCD，因此 DE⊥ AC．因 ABCD是正方形，因此AC⊥BD，进而 AC⊥平面 BDE．⋯（ 4 分）解：（Ⅱ）因 DA，DC，DE两两垂直，因此成立空直角坐系Dxyz 如所示．因 BE与平面 ABCD所成角 600，即∠ DBE=60°，因此．由 AD=3，可知，．A（ 3， 0，0），，， B（ 3， 3， 0）， C（ 0， 3， 0），因此，．平面 BEF的法向量 =（ x， y，z），，即．令， =．因 AC⊥平面 BDE，因此平面BDE的法向量，．因此 cos．因二面角角，因此二面角 F BE D的余弦．⋯（ 8 分）（Ⅲ）点 M是段 BD上一个点， M（t ， t ， 0）．．因 AM∥平面 BEF，因此=0，即 4（ t 3） +2t=0 ，解得 t=2 ．此，点M坐（ 2， 2， 0），即当， AM∥平面 BEF．⋯（ 12 分）a22.解：(1) f′ ( x) ＝x－，由于x＝ 2 是一个极值点，xa因此 2－2＝ 0. 因此a＝ 4.此时f ′(x) ＝4 x2－ 4 (x － 2)(x ＋ 2)－＝＝x.x x x由于 f ( x)的定义域是{ x| x>0}，因此当 0<<2 时，f ′ (x)<0 ；当x>2 时，f′ ()>0.x x因此当 a＝4 时，x＝ 2是 f ( x)的极小值点．因此a＝4.a(2) 由于f′ ( x) ＝x－x，因此当 a≤0时， f ( x)的单一递加区间为(0 ，＋∞ ) ．a x2－ a (x －a)(x ＋a)当 a>0时， f ′( x)＝ x－x＝x＝x，令 f ′( x)>0有 x>a，因此函数 f ( x)的单一递加区间为( a，＋∞ ) ；令 f ′( x)<0有0<x< a，因此函数 f ( x)的单一递减区间为(0 ，a) ．(3)证明：设 g( x)＝ x3－1x2－ln x，32221则 g′( x)＝2x － x－x，(x － 1)(2x2＋ x＋ 1)由于当 x>1时， g′( x)＝x>0，因此 g( x)在(1，＋∞)上是增函数．1因此 g( x)> g(1)＝6>0.1223因此当 x>1时，2x＋ln x<3x .。
江苏省盐城市高二数学寒假作业反馈练习
高二年级寒假反馈练习数学试题（2013.02）一、填空题：1.已知复数34z i =-，则||z = ▲ .2.已知向量,a b 满足||1,||3a b ==，,a b 之间的夹角为060，则()a a b ⋅+= ▲ . 3.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的 取值范围是 ▲ .4.在等差数列}{n a 中，已知1a ＝1，前5项和5S =35, 则8a 的 值是 ▲ .5.工厂生产了某种产品3000为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若 从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，构成等差数列，则乙生产线生产了 ▲ 件产品． 6.执行右图算法框图,若输入20a =,12b =,则输出的值 为 ▲ .7.双曲线x 2－y 24＝1的渐近线被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0所截得的弦长为 ▲ ．8.已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，则下列四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 其中正确命题的序号是 ▲ ．9.已知函数f(x)＝mx 2＋lnx －2x 在定义域内单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ . 10.求值：00sin 40(tan10= ▲ .11.已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ .12.若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .第6题13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若12PQ FO =，11111(F P FOFQ F P FO λλ=+）(>0)｜｜｜｜，则椭圆的离心率为 ▲ .14.对于函数()x f ，若区间[]()b a b a M <=,，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的一个“稳定区间”， 下列4个函数：①()x e x f =，②()3x x f =， ③()x x f 2cosπ=，④ ()1ln +=x x f ；其中存在“稳定区间”的函数的有 ▲ .（填写序号） 二、解答题：15. 已知||2,||2x y ≤≤，点P 的坐标为(,).x y（1）求当,x y ∈R 时，P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率； （2）求当,x y ∈Z 时，P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率．16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)sin ,2cos2(C C-=，)sin 2,2(cosC Cn =，且.⊥ （1）求角C 的大小； （2）若2222c b a +=，求A tan 的值.17.据市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内（以30天计）销售价格()f t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足()100(1)kf t t=+（k 为正常数），日销售量()g t （件）与时间t （天）的函数关系近似满足()125|25|g t t =--，且第25天的销售金额为13000元. （1）试写出该商品的日销售金额()w t 关于时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （2）该商品的日销售金额()w t 的最小值是多少？18.如图，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m .圆D ：02322=--++y x y x .（1）若圆D 过,A F 两点，求椭圆C 的方程； （2）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；（3）在（1）的条件下，若直线m 与x 轴的交点为K ，将直线m 绕K 顺时针旋转4π得直线l ，动点P 在直线l 上，过P 作圆D 的两条切线，切点分别为M 、N ，求弦长MN 的最小值.19.已知数列{}n a 中，21a =，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求1a ；（2）证明数列{}n a 为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q(其中1<p<q)，使1b ，p b ，q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q)；若不存在，说明理由．20. 已知定义在实数集上的函数*(),n n f x x n N =∈，其导函数记为'()n f x ，且满足2221212121()()[()]f x f x f x a x x x x -'+-=-，12,,a x x 为常数，12x x ≠． （1）试求a 的值；（2）记函数13()()ln ()F x b f x f x =⋅-，(]0,x e ∈，若()F x 的最小值为6，求实数b 的值； （3）对于（2）中的b ，设函数()()3xb g x =，1122(,),(,)A x y B x y （12x x <）是函数()g x 图象上两点，若21021'()y y g x x x -=-，试判断012,,x x x 的大小，并加以证明．数学试题（2013.02）一、填空题：1.已知复数34z i =-，则||z = ▲ . 52.已知向量,a b 满足||1,||3a b ==，,a b 之间的夹角为060，则()a a b ⋅+= ▲ .5 3.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的 取值范围是 ▲ . [－1.3]4.在等差数列}{n a 中，已知1a ＝1，前5项和5S =35, 则8a 的 值是 ▲ .225.工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若 从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则乙生产线生产了 ▲ 件产品．10006.执行右图算法框图,若输入20a =,12b =,则输出的值 为 ▲ .5167双曲线x 2－y 24＝1的渐近线被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0所截得的弦长为 ▲ ．48.已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，则下列四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l其中正确命题的序号是 ▲ ．①③9.已知函数f(x)＝mx 2＋lnx －2x 在定义域内单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ .第5题12m ≥10.求值：00sin 40(tan10= ▲ . －111..已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ . (0,1)12.若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 37(,]6-∞ 13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若12PQ FO =，11111(|F PFOFQ F P FO λλ=+）(>0)｜｜｜，则椭圆的离心率为 ▲ .14.对于函数()x f ，若区间[]()b a b a M <=,，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M为函数()x f 的一个“稳定区间”， 下列4个函数：①()x e x f =，②()3x x f =，③()x x f 2cosπ=，④ ()1ln +=x x f ；其中存在“稳定区间”的函数的有 ▲ ②③三、解答题：15. 已知||2,||2x y ≤≤，点P 的坐标为(,).x y（1）求当,x y ∈R 时，P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率；16π（2）求当,x y ∈Z 时，P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率．62516.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)sin ,2cos2(C Cm -=，)sin 2,2(cosC Cn =，且.n m ⊥ （3）求角C 的大小；3π （2）若2222c b a +=，求A tan 的值. 33-17.据市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内（以30天计）销售价格()f t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足()100(1)kf t t=+（k 为正常数），日销售量()g t （件）与时间t （天）的函数关系近似满足()125|25|g t t =--，且第25天的销售金额为13000元. （1）试写出该商品的日销售金额()w t 关于时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （2）该商品的日销售金额()w t 的最小值是多少？ 解：（1）由题意,得(25)(25)13000f g ⋅=,即100(1)1251300025k+⋅=,解得1k = 1()()()100(1)(125|25|)w t f t g t t t=⋅=+--=100100(101)(125,)150(2530,)100(149)t t t N t t t N t t ⎧++⎪≤<∈⎪⎨≤≤∈⎪+-⎪⎩（2）①当125t ≤<时,因为10020t t+≥,所以当10t =时,()w t 有最小值12100 ②当2530t ≤≤时,∵150t t-在[25,30]上递减,∴当30t =时,()w t 有最小值12400 ∵12100〈12400，∴当10t =时，该商品的日销售金额()w t 取得最小值为1210018.如图，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m .圆D ：02322=--++y x y x .（1）若圆D 过,A F 两点，求椭圆C 的方程； （2）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；（3）在（1）的条件下，若直线m 与x 轴的交点为K ，将直线m 绕K 顺时针旋转4π得直线l ，动点P 在直线l 上，过P 作圆D 的两条切线，切点分别为M 、N ，求弦长MN 的最小值. 18．解：（1）圆02322=--++y x y x 与x 轴交点坐标为，(2,0)A -，(0,1)F ，故2,1a c ==，所以b =椭圆方程是：22143x y +=（2）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即2a c a c c-≥+,22a a c c≥+,12a c c a≥+,112e e≥+,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2210e e +-≤102e <≤（3）直线l 的方程是40x y --=，圆D 的圆心是13(,)22，半径是2， 设MN 与PD 相交于H ，则H 是MN 的中点，且PM ⊥MD ，2222MD MP MD MN NH MD PD PD ⋅==⋅=⋅= 当且仅当PD 最小时，MN 有最小值，PD 最小值即是点D 到直线l 的距离是26=d ，所以MN 的最小值是263。
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高二寒假数学补习验收卷
（集合与常用逻辑用语、函数、基本初等函数（1）、基本初等函数（2）、平面向量与解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何） 考试时间：120分钟 总分：120分
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．(2013·湖北高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩∁U A ＝
( ) A ．{2} B ．{3,4} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4,5}
2.【2011年新课标卷文4】椭圆
22
1168
x y +=的离心率为
A.
13 B. 122
3.【2008年海南宁夏文2】双曲线
22
1102
x y -=的焦距为（ ）
4．函数f (x )＝log a (4x －3)过定点( )
A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫34，0 C ．(1,1) D.⎝⎛⎭⎫3
4，1 5．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )
6．函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫
13的x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫13，23
B.⎣⎡⎭⎫13，23
C.⎝⎛⎭⎫12，23
D.⎣⎡⎭⎫12，2
3
7已知α为第二象限角，sin cos αα+=
，则cos 2α=
（A ）3-
（B ）9- （C ）9 （D ）3
8．(2013·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，
则x ＋2y 的最大值是( )
A ．－52
B ．0 C.53 D.5
2
9．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )
A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)
B ．sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1
x 2＋1
>1(x ∈R )
10.命题“x ∀∈[1,2],x 2
-a ≤0为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A.a ≥4 B .a ≤4 C. a ≥5 D.a ≤5 二、填空题（每空5分，共10分）
11．已知函数y ＝log 1
4x 与y ＝kx 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，那么k 的值
为________．
12.【2009年理海南宁夏理13文14】设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________. 三、解答题（每题10分，共60分）
13．(本小题满分10分)(1)计算：3
xy 2xy －
1·xy ·(xy )－
1.
(2)已知14a ＝7,14b ＝5，用a ，b 表示log 3528.
14. (本小题满分10分)已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且
()f x a b =
(1) 求函数()f x 的解析式; (2) 当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.
（3）在第(2)问基础上求函数的单调减区间。
15．(本小题满分10分)(2013·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，
(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．
16．(本小题满分10分)(2013·大纲全国卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2
2，且
S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．
17. (本小题满分10分)【2008年海南宁夏文18】如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。
18．(本小题满分10分)函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，当x≤1时，f(x)＝x2－1，
(1)写出y＝f(x)的解析式并作出图象；
(2)根据图象讨论f(x)－a＝0(a∈R)的根的情况．。