2008-12河南师范大学高等代数考研试题
2008—数一真题、标准答案及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数（ ）()A 0()B 1 ()C 2()D 3（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于（ ） ()A i()B -i ()C j()D -j（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=.()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为（ ）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.（7）设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）设随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . （10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .（11）已知幂级数()02nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为.（12）设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .（13）设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，12120,2A A αααα==+，则A 的非零特征值为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分） 计算曲线积分()2sin 221Lxdx xydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)（本题满分10分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点.(18)（本题满分10分）设()f x 是连续函数，（1）利用定义证明函数()()0xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（2）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数()22()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰也是以2为周期的周期函数.(19)（本题满分10分）()21(0)f x x x π=-≤≤，用余弦级数展开，并求()1211n n n-∞=-∑的和.(20)（本题满分11分）T T A ααββ=+，T α为α的转置，T β为β的转置.（1）证()2r A ≤；（2）若,αβ线性相关，则()2r A <. （21）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1n A n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+ （1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度．（23）（本题满分11分）设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ11ni i X X n ==∑，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n =- （1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln(2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln(2)02x f x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞） 所以()f x '只有一个零点. (2)【答案】A【详解】因为2211x y f x y '=+，2221y x y f x y -'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '=所以 (0,1)10f =⋅+⋅=grad i j i (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= (4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z a b c '''--=，即二次型的标准型为222222x y z f a b c'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D 二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x =. (10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即nn n a t∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x -<-≤得15x <≤，即幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5] (12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰ 1122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y ydxdydz x dxdy x y dxdy Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22300142d r dr πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AP PB =因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P AP -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1. (14)【答案】12e【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！三、解答题(15) 【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16) 【详解】 方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）2222220000sin 22(1)[sin 22(1)sin cos ]sin 21cos 2cos 2sin 2sin 222222Lxdx x ydyx x x x dx xxdxx x x x xdx x xdx ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域112220sin 2000022000sin 22(1)sin 22(1)sin 22(1)14sin 24cos 22sin 21(1cos 2)sin 2sin 22222LL L L xDxdx x ydyxdx x ydy xdx x ydyxydxdy xdx dx xydy x x xdx x x x x dx x xdx πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLxdx ydy xydy -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LLLxdx x ydy xdx ydy x ydy I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Qy x∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10sin 20I xdx π==⎰2222202200022122sin cos sin 2cos 221111cos 22cos 2sin 222221111sin 2cos 22222LI x ydy x x xdx x xdx x d x x x x xdx xd xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到xOy 面的距离为||z ，故求C 上距离xOy 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)xy zL x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 220235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 或111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以0000()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰0()()limlimlim ()x x xx x x f t dt f xf xxξξ+→→→===⎰ ，其中ξ介于x 与x x +之间 由于0lim ()()x f f x ξ→=，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dtf x f t dt f x f t dt +'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t dt f t dt =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x x G x G x f t dt x f t dt f t dt x f t dt ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()2222002x xf t dt f t dt f t dt f t dt +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()()()000222[2]0x x xf t dt f u du f t f t dt ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】 由于 220022(1)23a xdx πππ=-=-⎰21224(1)cos (1)1,2,n n a x nxdx n n ππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()cos 14cos 023n n n n a f x a nx nx x n ππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑令0x =，有 2121(1)(0)143n n f n π+∞=-=-+ ∑ 又(0)1f =，所以 1221(1)12n n n π+∞=- =∑ (20)【详解】(I) ()()()()()()2T T T T r A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12T T T r A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100,T Tk k +为任意常数．(22)【详解】 (I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-={1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-= []1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ，所以2(,)X N n σμ，从而2,E X DX n σμ= =． 因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n=- 221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-= 所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n =-⋅+ 4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+ 因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n， 有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n =+=所以2242222()()()()()E X D X E X D D X E X⎡⎤=+=++⎣⎦ 2221()D D X n ⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭ ()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==--，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=-- 所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立) 222222221111(1)(1)DX DS D D n S n n n n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n n n n n n =⋅+⋅⋅-=--。
2008考研数学二真题及参考答案
2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x，则'()f x 的零点个数为（）A 0BCD 3（2）曲线方程为()y f x 函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()a taf x dx （）A 曲边梯形ABCD 面积.B 梯形ABCD 面积.C 曲边三角形ACD 面积. D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2xy C eC x C x （123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）（5）设函数()f x 在(,)内单调有界，n x 为数列，下列命题正确的是（）A 若n x 收敛，则()n f x 收敛. B 若n x 单调，则()n f x 收敛.C 若()n f x 收敛，则n x 收敛.D 若()n f x 单调，则n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy xy，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A ，则（）A E A 不可逆，E A 不可逆.B EA 不可逆，EA 可逆.C EA 可逆，EA 可逆.D EA 可逆，EA 不可逆.（8）设1221A，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）A2112. B2112.C 2112.D 1221.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）已知函数()f x 连续，且201cos[()]lim1(1)()x x xf x ef x ，则(0)____f .（10）微分方程2()0xy x e dxxdy的通解是____y .（11）曲线sin ln xy yx x 在点0,1处的切线方程为.（12）曲线23(5)y xx 的拐点坐标为______.（13）设xyy zx，则(1,2)____z x.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,.若行列式248A ，则___.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分9分）求极限4sin sin sin sin limx x xxx.(16)（本题满分10分）设函数()y y x 由参数方程2()ln(1)t xx t yu du确定，其中()x t 是初值问题200xt dx tedt x的解.求22yx.(17)（本题满分9分）求积分12arcsin 1x x dx x.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy 其中{(,)02,02}Dx y x y (19)（本题满分11分）设()f x 是区间0,上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f .对任意的0,t，直线0,xxt ，曲线()yf x 以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)（本题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ，使得()()()baf x dx f ba (2)若函数()x 具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ，证明至少存在一点(1,3),()使得（21）（本题满分11分）求函数222uxyz 在约束条件22zxy 和4xy z 下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵2221212n naaa AaaO OO ，现矩阵A 满足方程AX B ，其中1,,TnXx x L ，1,0,,0B L ，（1）求证1nA n a ；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,为A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足323A，（1）证明123,,线性无关；（2）令123,,P，求1P AP.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)【答案】D 【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ，由罗尔定理知至少有1(0,1)，2(1,2)使12()()0f f ，所以()f x 至少有两个零点.又()f x 中含有因子x ，故0x 也是()f x 的零点，D 正确.本题的难度值为. (2)【答案】C 【详解】()()()()()()a a a a a xf x dxxdf x xf x f x dx af a f x dx其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()a f x dx 为曲边梯形ABOD 的面积，所以()a xf x dx为曲边三角形的面积．本题的难度值为. (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2rri ，所以特征方程为(1)(2)(2)0r ri r i ，即32440rrr .故以已知函数为通解的微分方程是4yyy本题的难度值为. (4)【答案】A 【详解】0,1xx时()f x 无定义，故0,1x x是函数的间断点因为000ln 11lim ()limlimlimcsc |1|csc cot xxxxx x f x xx x x同理0lim ()xf x 又1111ln 1lim ()limlim sin limsin1sin11xxx xx f x xx x所以0x 是可去间断点，1x 是跳跃间断点. 本题的难度值为. (5)【答案】B 【详解】因为()f x 在(,)内单调有界，且{}n x 单调.所以{()}n f x 单调且有界.故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为. (6)【答案】A【详解】用极坐标得222()22211,()v u u f r r Df u v F u vdudvdvrdr vf r druv所以2F vf uu本题的难度值为.(7)【答案】C 【详解】23()()E A EAA E AE ，23()()E A E A A E AE故,EA EA 均可逆．本题的难度值为. (8)【答案】D【详解】记1221D，则2121421E D ，又2121421E A 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.本题的难度值为. 二、填空题(9)【答案】2 【详解】2222201cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()limlim lim ()[()2]4(1)()xxx x xf x xf x xf x f x x f x xf x ef x 所以(0)2f 本题的难度值为. (10)【答案】()xx e C 【详解】微分方程20xyx edx xdy可变形为xdy y xedxx所以111()dxdxxxxxxyexe e dx Cxxedx C x e C x本题的难度值为. (11)【答案】1yx【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x ，则1cos()11cos()x yy xy F dy y x dxF x xy y x，将(0)1y 代入得1xdydx ，所以切线方程为10y x ，即1y x 本题的难度值为. (12)【答案】(1,6)【详解】53235y xx23131351010(2)333x yxxx1x 时，0y；0x 时，y 不存在在1x左右近旁y 异号，在0x左右近旁0y，且(1)6y 故曲线的拐点为(1,6)本题的难度值为. (13)【答案】2(ln 21)2【详解】设,y x uvx y ，则vzu所以121()ln v vz z u z v y vuu uxuxvxxy所以(1,2)2(ln 21)2z x 本题的难度值为. (14)【答案】-1 【详解】||236A Q 3|2|2||A A 本题的难度值为. 三、解答题(15)【详解】方法一：43[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlimxxx x x x x x x方法二：331sin ()6xx x o x Q 331sin(sin )sin sin (sin )6x xxo x本题的难度值为. (16)【详解】方法一：由20xdx tedt得2xe dxtdt ，积分并由条件0t x 得21xet ，即2ln(1)xt 所以2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dx t dxdtt方法二：由20xdx tedt得2x e dxtdt ，积分并由条件0t x 得21xet ，即2ln(1)xt 所以2222ln(1)2(1)ln(1)21xdydy t tdt t t e xdx t dxdt t所以22(1)xd ye x dx本题的难度值为. (17)【详解】方法一：由于221arcsin lim1x x x x，故212arcsin 1x x dx x是反常积分.令arcsinx t ，有sin x t ，[0,2)t 方法二：212arcsin 1x x dxx1221(arcsin )2x d x 令arcsinxt ，有sin x t ，[0,2)t故，原式21164本题的难度值为.(18)【详解】曲线1xy 将区域分成两个区域1D 和23D D ，为了便于计算继续对区域分割，最后为max ,1Dxy dxdy本题的难度值为.D 1D 3D 2(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx ，侧面积22()1()tSf x fx dx ，由题设条件知上式两端对t 求导得22()()1()f t f t f t ，即21y y 由分离变量法解得21ln(1)y yt C ，即21ty yCe将(0)1y 代入知1C，故21tyye ，1()2ttyee 于是所求函数为1()()2xxy f x e e 本题的难度值为.(20)【详解】(I)设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即由定积分性质，有()()()b am b a f x dx M b a ，即()baf x dx mMba 由连续函数介值定理，至少存在一点[,]ab ，使得()()b af x dx f b a即()()()b af x dx f b a (II)由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]，使32()()(32)()x dx 又由32(2)()()x dx，知23对()x 在[1,2][2,]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)，()(2)得在12[,]上对导函数()x 应用拉格朗日中值定理，有本题的难度值为. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z xyzxyz x y z 令2222022020040x yzF x x F y y F z F x y zFxyz 解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z故所求的最大值为72，最小值为 6. 方法二：问题可转化为求2242242u xyxx yy 在224x y x y条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u xyx y x y xyxy令323222442(12)0442(12)040xyF x xyx x F y x y y y Fxy xy解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ，代入22z xy ，得122,8z z 故所求的最大值为72，最小值为 6. 本题的难度值为.(22)【详解】(I)证法一：证法二：记||nD A ，下面用数学归纳法证明(1)nnD n a ．当1n 时，12D a ，结论成立．当2n时，2222132a D a aa，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得故||(1)nA n a证法三：记||n D A ，将其按第一列展开得2122n nnD aD a D ，所以211212()n nnn n n D aD aD a D a D aD 即12122()2nnn nnnn nD aaD aa aaD aa D (II)因为方程组有唯一解，所以由AxB 知0A，又(1)nAn a ，故0a．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为所以11(1)n nD n x D n a(III)方程组有无穷多解，由0A ，有0a ，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n ，所以方程组有无穷多解，其通解为10000100,TTk k LL 为任意常数．本题的难度值为. (23)【详解】(I) 证法一：假设123,,线性相关．因为12,分别属于不同特征值的特征向量，故12,线性无关，则3可由12,线性表出，不妨设31122l l ，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3为0，由323A可知20，而特征向量都是非0向量，矛盾)32321122A l l ，又311221122()AA l l l l 112221122l l l l ，整理得：11220l 则12,线性相关，矛盾.所以，123,,线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A22A得1123233()0k k k k (2)(1)—(2)得113220k k (3)因为12,是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,线性无关，从而130k k ，代入(1)得220k ，又由于20，所以20k ，故123,,线性无关.(II)记123(,,)P ，则P 可逆，所以110001101P AP. 本题的难度值为.。
2008—数二真题、标准答案及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y +=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ）()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O O O ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T nX x x =L ，()1,0,,0B =L ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+， （1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x edx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-， 将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒2311351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)21)- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)(ln 21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=Q 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+Q 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d y e x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122220000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知2()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1ln(y t C =+， 即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =，故t y e =，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x x y f x e e -==+本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a a a a A r ar aaa a =-=O O L OO O OO O OO OO121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++O K O OO OO 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-OO O OO21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=L即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+L1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa a a a D na a a a a --⨯-⨯-===O O OO O OO O OO OO所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M O OM 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +L L为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)Q 11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。
2008—数二真题、标准答案及解析
( B) E − A 不可逆， E + A 可逆.
(C ) E − A 可逆， E + A 可逆.
( D) E − A 可逆， E + A 不可逆.
（8）设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
，则在实数域上与
A
合同的矩阵为（
）
(
A)
⎛ ⎜ ⎝
−2 1
1⎞
−2
⎟ ⎠
.
(
B)
⎛ ⎜ ⎝
2 −1
−1⎞
2
本题的难度值为 0.537.
(6)【答案】 A
【详解】用极坐标得
( ) 所以 ∂F = vf u2 ∂u
本题的难度值为 0.638.
(7) 【答案】 C
∫∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) F
u, v
=
D
f
u2 + v2 u2 + v2
dudv =
v
dv
0
u 1
f
(r r
2
)rdr
=v
u 1
f
(r2 )dr
⎟ ⎠
.
(C
)
⎛ ⎜ ⎝
2 1
1⎞
2
⎟ ⎠
.
(
D
)
⎛ ⎜ ⎝
1 −2
−2 ⎞
1
⎟. ⎠
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
已知函数
f
(
x)
连续，且
lim
x→0
1− cos[xf (ex2 −1) f
( x)] (x)
856高等代数考研真题答案08
河南科技大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码： 856 科目名称： 高等代数一、（15分）计算下列各题：1、（5分）已知4阶行列式D 的第3行元素分别为 1,0,2,4-，第4行元素对应的余子式依次是5,10,,4a ，求a 的值。
2、（5分）已知矩阵B A ,满足关系A B AB =-，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012021B ，求矩阵A 。
3、（5分）设*A 为3阶方阵A 的伴随矩阵，A =2，计算行列式|21)3(|*1A A --。
解：1、因为 31413242334334440a A a A a A a A +++=，(3)L L分这里ij a 和ij A 分别是第i 行第j 列处的元素和该元素的代数余子式，所以有 150102440a -⨯+⨯+⨯-+⨯=（-）（），可得212a =。
(5)L L 分 2、 因为B A AB =-，所以B E B A =-)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-20001210211)(1E B B A ，(5)L L 分 3、|21)3(|*1A A --=111||3A A ---=12||3A --=312()||3A --=427-。
(5)L L 分二、（15分）计算)3(≥n n 阶行列式：0111101010n x xD x x x x =L L LM M M OM L。
（注释：该行列式主对角线上元素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外，其余的都是1，行列式中其余的元素都是x 。
要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）。
解（法一）：0111101010n x x D x x x x =L L LM M M O M L1(),(2,3,,)i r x r i n ⨯-+=L 0111100100100x x x---L L L M M M O M L(6)L L 分当0x ≠时，再把第j 列的1x倍加到第1列（2,3,,j n =L ），就把n D 化成了上三角行列式 121111000(1)(1)000000n n n n x x D n x x x----==----L LL M M M O M L， (12)L L 分当0x =时，显然有0n D =。
高代考研试题及答案
高代考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C2. 若向量α=(1,2,3)和向量β=(2,3,4)，则向量α和向量β的点积为：A. 20B. 21C. 22D. 23答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)：A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^2+3答案：A4. 若矩阵B为3阶方阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵C为2阶方阵，其特征值为1和2，则矩阵C的特征多项式为________。
答案：λ^2 - (1+2)λ + 1*2 = λ^2 - 3λ + 22. 设向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则向量a和向量b的叉积为________。
答案：(0,0)3. 设函数g(x)=x^2+2x+1，则g''(x)=________。
答案：24. 设线性方程组Ax=b，其中A为3阶方阵，且A的秩为3，b为3维列向量，则该方程组的解集为________。
答案：非空集合三、解答题（每题10分，共60分）1. 求矩阵D=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]的逆矩阵。
答案：矩阵D的逆矩阵为\[\begin{matrix}2 & -1 \\ -3 &2\end{matrix}\]。
2. 设向量c=(3,-1)和向量d=(2,4)，求向量c和向量d的夹角。
答案：向量c和向量d的夹角为cos^-1((3*2 + (-1)*4) / (sqrt(9+1) * sqrt(4+16))) = cos^-1(0.6)。
3. 设函数h(x)=x^3+3x^2-3x+1，求h'(x)和h''(x)。
2008考研数学2真题
文登考研高质量高水平高信誉2008 年研究生入学考试数学二试题及分析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 f ( x ) = x2( x − 1)( x − 2 ) ，则 f ′ ( x ) 的零点个数为[ ]（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【分析】先求导函数，然后判断. 【详解】 f ′ ( x ) = 2 x ( x − 1)( x − 2 ) + x2( x − 2 ) + x 2 ( x − 1)= 2 x ( 2 x 2 − 3x + 1) = 2 x ( 2 x − 1)( x − 1) ，则 f ′ ( x ) 的零点个数为 3. 故选（D）. 【评注】易看出 f ( x ) 的零点个数为 3，由罗尔定理能得出 f ′ ( x ) 在 ( 0,1) ， (1, 2 ) 两区间内 至少有两个零点，又 x = 0 是 f ( x ) 的二重零点，所以 x = 0 是 f ′ ( x ) 的零点. 故选（D）. 类似例题见文登强化班讲义《高等数学》第 6 讲【例 15】. （2）如图，曲线段的方程为 y = f ( x ) ，函数 f ( x ) 在区间[0, a ] 上有连续的导数，则定积分 ∫0 xf ′ ( x )dx 等于a（A）曲边梯形 ABOD 的面积 （B）梯形 ABOD 的面积 （C）曲边三角形 ACD 的面积 （D）三角形 ACD 的面积 [ ] 【分析】 先利用分部积分法变换积分， 然后结合定积分的几何 意义即可看出. 【详解】∫a0xf ′ ( x )dx = ∫ xdf ( x ) = af ( a ) − ∫ f ( x )dx ，a a 0 0 a a 0 0而∫ f ( x )dx 表示曲边梯形 OBAD 的面积，故可知 ∫ ∫b axf ′ ( x )dx 应为曲边三角形ACD 的面积，故选（C）.【评注】定积分f ( x)dx 表示曲线 y = f ( x) 与直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形 xf ′ ( x )dx = ∫ xdf ( x ) = af ( a ) − ∫ f ( x )dx ，然后才能解出.a a 0 0位于 x 轴上方的图形面积减去位于 x 轴下方的图形面积的差值. 本题必须先利用 分部积分法∫a0本题考查定积分的几何意义和分部积分法，相关结论见 08 版《数学复习指南》 （理—1—文登考研高质量高水平高信誉工类）P77.知识点精讲一（2） 、四（3） ，类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P180 精选习题六 1（5）. （3）在下列微分方程中，以 y = C1e + C2 cos 2 x + C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 是任意常数）为x通解的是 （A） y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 （C） y′′′ − y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 （B） y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 （D） y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 [ ]【分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征 值，然后从特征方程入手. 【详解】因为 y = C1e + C2 cos 2 x + C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 是任意常数）为通解，x所以微分方程的特征值为 1, ±2i . 于是特征方程为 ( λ − 1)( λ − 2i )( λ + 2i ) = 0 ，即λ 3 − λ 2 + 4λ − 4 = 0 .故微分方程为 y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 ，故选（D）. 【评注】本题考查微分方程解的结构. 因为常系数齐次线性微分方程与其特征方程一一对 应，所以本题的关键是要能够从所给的解中分析出特征方程的根. 完全类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P144【例 5.17】 ，文登强化班讲 义《高等数学》第 7 讲【例 9】【例 10】. ，（4）设函数 f ( x ) =ln x sin x ，则 f ( x ) 有 x −1（A）有 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 （B）有 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点 （C）有两个无穷间断点 （D）有两个跳跃间断点 【分析】利用间断点的定义. 【详解】 f ( x ) =[]ln x sin x 在 x = 0 ， x = 1 无定义， x −1 ln x sin x = 0 ，所以 x = 0 为可去间断点； x −1而 lim f ( x ) = limx →0 x →0lim f ( x ) = limx →1ln 1 + x − 1 x −1 sin x = lim sin x ， x →1 x →1 x − 1 x −1而 lim +x →1x −1 x −1 sin x = sin1, lim sin x = − sin1 ， x →1− x − 1 x −1—2—文登考研高质量高水平高信誉所以 x = 1 为跳跃间断点，故选（A）. 【评注】首先确定间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断. 第一类间断点： x = x0 为函数 f ( x) 的间断点，且 lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 均存在，则称x → x0 x → x0x = x0 为函数 f ( x) 的第一类间断点. 其中：（1）跳跃型间断点： lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) .x → x0 x → x0（2）可去型间断点： lim− f ( x) = lim+ f ( x) ≠ f ( x0 ) .x → x0 x → x0第二类间断点： x = x0 为函数 f ( x) 的间断点，且 lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 之中至少有一个不x → x0 x → x0存在，则称 x = x0 为函数 f ( x) 的第二类间断点. 其中： （1）无穷型间断点： lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 至少有一个为 ∞ .x → x0 x → x0（2）振荡型间断点： lim f ( x ) 为振荡型，极限不存在.x → x0本题为常规题型，类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P31【例 1.42】 ，文登 强化班讲义《高等数学》第 1 讲【例 4】. （5）设函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内单调有界， { xn } 为数列，下列命题正确的是 （A）若 { xn } 收敛，则 f （C） f 若n({ x }) 收敛n n（B）若 { xn } 单调，则 f （D） f 若n({ x }) 收敛n n则 ({ x }) 收敛， { x } 收敛则 ({ x }) 单调， { x } 收敛[]【分析】利用单调有界数列必收敛. 【详解】若{ xn } 单调，而由题设可知函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内单调有界，则 f ({ xn }) 单调有界，故收敛，故选（B） 【评注】本题为基础题型. 定理可见各教材和辅导讲义.（6）设函数 f 连续，若 F ( u , v ) =Duv∫∫f ( x2 + y2 ) x2 + y2dxdy ，其中区域 Duv 为图中阴影不分，则∂F = ∂u—3—文登考研高质量高水平高信誉（A） vf u( )2（B） vf ( u )（C）v v f ( u 2 ) （D） f ( u ) u u[]【分析】本题中二重积分的积分域由图形表示，易联想到需变换为极坐标形式，然后再求偏 导. 【详解】 F ( u , v ) = 所以Duv∫∫2 f ( x2 + y 2 ) v u f (r ) u rdr = v ∫ f ( r 2 ) dr ， dxdy = ∫ dθ ∫ 0 1 1 r x2 + y2∂F = vf ( u 2 ) ，故选（A）. ∂u【评注】本题考查了二重积分的坐标变换，变上限积分的求导. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P310【例 12.11】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 10 讲【例 4】. （7）设 A 为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A = O ，则3（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆 （C） E − A 可逆， E + A 可逆 【分析】从 A = O 入手.3（B） E − A 不可逆， E + A 可逆 （D） E − A 可逆， E + A 不可逆[]【详解】 A = O ⇒ A + E = E ⇒ ( A + E ) A − A + E = E ，所以 A + E 可逆，3 3 2()A3 = O ⇒ A3 − E = − E ⇒ ( E − A ) ( A2 + A + E ) = E ，所以 E − A 可逆，故选（C）. 【评注】也可这么求解：A 是幂零矩阵， 只有零是其特征值， 所以 ±1 不是其特征值， E − A 和 E + A 都可逆 . 故完全类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P367【例 2.27】 ，文登强化班讲 义《线性代数》第 2 讲【例 4】.—4—文登考研高质量高水平高信誉（8）设 A = ⎢⎡1 2⎤ ⎥ ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 ⎣2 1⎦（B） ⎢（A） ⎢⎡ −2 1 ⎤ ⎥ ⎣ 1 −2 ⎦⎡ 2 −1⎤ ⎥ ⎣ −1 2 ⎦ ⎡ 1 −2 ⎤ ⎥ ⎣ −2 1 ⎦[ ]（C） ⎢⎡2 1⎤ ⎥ ⎣1 2⎦（D） ⎢【分析】实对称矩阵必可对角化，求出题中每个矩阵的特征值，然后根据实对称矩阵合同的 充要条件是对应的二次型有相同的正负惯性指数进行判断. 【详解】因为 A = ⎢⎡1 2⎤ T 为实对称矩阵， A 的特征值为 −1,3 ， x Ax 的正负惯性指数为 1， 2 1⎥ ⎣ ⎦1； ⎢⎡ 2 −1⎤ ⎡2 1⎤ ⎡ −2 1 ⎤ 的特征值为 −1, −3 ； ⎢ 的特征值为 1,3 ； ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 的特征值为 −1, −3 ， ⎣ 1 −2 ⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣1 2⎦⎡ 1 −2 ⎤ ⎢ −2 1 ⎥ 的特征值为 −1,3 ；故选（D）. ⎣ ⎦【评注】本题为基础题型. 完全类似例题见《数学复习指南》 （理工类）P454【例 6.1】. 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （9）已知函数 f ( x ) 连续，且 lim1 − cos ⎡ xf ( x ) ⎤ ⎣ ⎦ = 1 ，则 f 0 = __________. ( ) x2 x →0 e −1 f ( x)()【分析】利用等价无穷小代换及函数 f ( x ) 的连续性即可.1 2 2 x f ( x) 1 − cos ⎡ xf ( x ) ⎤ 1 1 ⎣ ⎦ = 1 = lim 2 【详解】 1 = lim = lim f ( x ) = f ( 0 ) ， 2 x2 x →0 x →0 x →0 2 2 x f ( x) e −1 f ( x)()则 f ( 0) = 2 . 【评注】 本题已知极限和函数的连续性，求函数点的值，为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P31【例 1.43】. （10）微分方程 y + x e(2 −x) dx − xdy = 0 的通解是______.【分析】本题变换后可为全微分方程. 【详解】 y + x e(2 −x) dx − xdy = 0 ，即( ydx − xdy ) + x 2e− x dx = 0 ，—5—文登考研高质量高水平高信誉当 x ≠ 0 时，ydx − xdy − x y ⎛ y⎞ + e dx = 0 ⇒ d ⎜ − ⎟ − d ( e− x ) = 0 ⇒ − − e − x = −C 2 x x ⎝ x⎠−x即 y = x C−e(). (−x显然 x = 0, y = 0 满足微分方程，且满足上述解，故所求通解为 y = x C − e 【评注】本题为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P135【例 5.11】. （11）曲线 sin ( xy ) + ln ( y − x ) = x 在点 ( 0,1) 的切线方程为__________. 【分析】本题实质上为隐函数方程求导. 【详解】 sin ( xy ) + ln ( y − x ) = x 两边对 x 求导得).cos ( xy )( y + xy′ ) +y′ − 1 = 1 ，则 y′ y−x( 0,1)= 1 ，所以切线方程为y − 1 = x ，即 y = x + 1 .【评注】注意隐函数求导时记住 y 是 x 的函数. 类似例题见 08 版《数学复习指南》P48（理工类） 【例 2.20】 ，精选习题二 1（9）. （12）函数 f ( x ) = ( x − 5 ) x 的拐点坐标为________. 【分析】利用判断拐点的充分条件求解. 【详解】 f ′ ( x ) = ( x − 5 ) x 3 =2 2 35 2 10 − 1 x3 − x 3 ， 3 3f ′′ ( x ) =10 − 1 10 − 4 10 − 4 x 3 + x 3 = x 3 ( x + 1) . 9 9 910 − 1 ⎛ 1 ⎞ x 3 ⎜1 + ⎟ = 0 ，得 x = −1 9 ⎝ x⎠令 f ′′ ( x ) =f ′′ ( x )x =0⎛ 10 − 1 10 − 4 ⎞ =⎜ x 3 + x 3⎟ 9 ⎝9 ⎠x =0不存在.f ′′ ( x ) 经过 x = 0 时不变号，而经过 x = −1 时由负变正，且 f ( −1) = −6故拐点坐标为 −1, f ( −1) ，即 ( −1, −6 ) . 【评注】拐点的判别定理 1 若在点 x0 处有 f ′′( x0 ) = 0（或 f ′′( x0 ) 不存在） ，当 x 经过 x0 时，()—6—文登考研高质量高水平高信誉f ′′( x) 变号，则 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y = f ( x) 的图形的拐点.拐点的判别定理 2 设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内有三阶导数，且 f ′′( x0 ) = 0 ，f ′′′( x0 ) ≠ 0 ，则 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y = f ( x) 的图形的拐点.本题为基础题型，类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P167【例 6.30】.x∂z ⎛ y ⎞y （13）已知 z = ⎜ ⎟ ，则 ∂x ⎝x⎠x ⎛ y⎞ ln ⎜ ⎟ y ⎝ x⎠(1,2 )=【分析】本题求幂指函数的偏导数，应先对数化处理，然后再求偏导.【详解】∂z ∂x(1,2 )=∂e∂x(1,2 )⎧ ⎡ ⎤⎫ y ⎪ x ln ⎛ x ⎞ ⎢ 1 ⎛ y ⎞ x 1 ⎛ y ⎞ ⎥ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ = ⎨e y ⎝ ⎠ ⋅ ⎢ ln ⎜ ⎟ + ⋅ − y ⎜ x2 ⎟⎥ ⎬ ⎝ ⎠⎥ ⎪ ⎪ ⎢y ⎝ x⎠ y ⎪ x ⎣ ⎦⎪ ⎩ ⎭(1,2 )=2 ( ln 2 − 1) . 2【评注】多元函数对一个变量求偏导时，需将其他变量看作常数. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P236【9.6】 【例 9.10】. （14） 阶矩阵 A 的特征值是 2,3, λ ， 3 其中 λ 未知， 若行列式 2 A = −48 ， λ = 则 【分析】因为 A = 2 ⋅ 3 ⋅ λ ，联合 2 A = −48 可解出. 【详解】 2 A = −48 ⇒ 2 A = 8 ⋅ λ ⋅ 2 ⋅ 3 = −48 ⇒ λ = −1 .3.【评注】本题利用行列式求特征值.. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P446【例 5.25】 ，文登强化班讲义《线 性代数》第 5 讲【例 16】.三、解答题：15～23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） (本题满分 9 分) 求极限 lim⎡sin x − sin ( sin x ) ⎤ sin x ⎣ ⎦ . x →0 x4 ⎡sin x − sin ( sin x ) ⎤ sin x sin x − sin ( sin x ) ⎣ ⎦ = lim x →0 x →0 x4 x3—7—【分析】利用等价无穷小代换和洛必达法则即可. 【详解】 lim文登考研高质量高水平高信誉= limcos x − cos ( sin x ) ⋅ cos x x →0 3x 2cos x ⎡1 − cos ( sin x ) ⎤ ⎣ ⎦ 3x 2= limx →01 2 sin x 1 − cos ( sin x ) 1 = lim = lim 2 2 = . 2 x →0 x →0 3x 3x 6【评注】本题为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P25【例 1.24】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 1 讲【例 17】. （16） (本题满分 10 分)⎧ x = x (t ) ⎪ 设函数 y = y ( x ) 由参数方程 ⎨ 确定，其中 x ( t ) 是初值问题 t2 ⎪ y = ∫0 ln (1 + u ) du ⎩⎧ dx −x d2 y ⎪ − 2te = 0 dt 的解，求 2 . ⎨ dx ⎪ x t =0 = 0 ⎩ ⎧ dx −x ⎪ − 2te = 0 求出 x ( t ) ，然后利用参数方程的求导公式求解. 【分析】先根据 ⎨ dt ⎪ x t =0 = 0 ⎩【详解】由dx − 2te− x = 0 得 e x dx = 2tdt ， 积 分 并 由 条 件 x dtt =0= 0 ， 得 ex = 1 + t 2 ， 即x = ln (1 + t 2 ) .dy 2 dy dt ln (1 + t ) ⋅ 2t = = = (1 + t 2 ) ln (1 + t 2 ) ， 2t dx dx dt 1+ t2 d 2 y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ 1 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dt ⎝ dx ⎠ dx dt= d ⎡(1 + t 2 ) ln (1 + t 2 ) ⎤ ⎣ ⎦ dx dt—8—文登考研高质量高水平高信誉2t ln (1 + t 2 ) + 2t = = (1 + t 2 ) ⎡ ln (1 + t 2 ) + 1⎤ . ⎣ ⎦ 2t 1+ t2【评注】本题为一道参数方程求导和一阶微分方程求解的综合题. 求d2 y 时要注意 dx 2d 2 y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ 1 . = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dt ⎝ dx ⎠ dx dt类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P45【例 2.11】 ，文登强化班讲义《高等 数学》第 7 讲【例 15】. （17） (本题满分 9 分) 求积分∫1x 2 arcsin x01 − x2dx .【分析】本题需做变量代换 arcsin x = t . 【详解】由于 lim −x →1x 2 arcsin x1 − x2= +∞ ，故 ∫ ⎡ π⎞ ⎟. ⎣ 2⎠1x 2 arcsin x01 − x2dx 是反常积分.令 arcsin x = t ，有 x = sin t , t ∈ ⎢ 0,∫1x 2 arcsin x01 − x2dx = ∫π2 0t sin 2 t cos tdt cos t1 − cos 2t t2 dt = 2 4 t sin 2t 4π2 0= ∫2t⋅0ππ2 0−1 π ∫02 t ⋅ d sin 2t 4=π216−+1 π 2 sin 2tdt 4 ∫0cos 2t = − 16 8π2π2 0=π216+1 . 4【评注】本题虽然是一道反常积分，但由于无穷间断点在端点，所以可按通常定积分求解. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P80【例 3.27】 ，文登强化班讲义《高等 数学》第 5 讲【例 15】.（18） （本题满分 11 分）—9—文登考研高质量高水平高信誉计算∫∫ max ( xy,1) dxdy ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} .D【分析】被积函数为 max ( xy ,1) ，为非初等函数，实质为求分区域积分. 【详解】曲线 xy = 1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2 .∫∫ max ( xy,1) dxdyD= ∫∫ xydxdy + ∫∫ dxdyD1 D2= ∫1 dx ∫1 xydy + ∫ 2 dx ∫ dy + ∫1 dx ∫ x dy2x2212210020=15 19 − ln 2 + 1 + 2 ln 2 = + ln 2 . 4 4【评注】 对分段函数 max { x, y} , min { x, y} 及带绝对值符号的被积式须将积分域 D 作分析 处理. 完全类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）第一篇第十章【例 10.4】 ，文登强 化班讲义《高等数学》第十讲【例 12】 （19） (本题满分 11 分) 设 f ( x ) 是区间 [ 0, +∞ ) 上具有连续导数的单调增加函数，且 f ( 0 ) = 1 . 对任意的t ∈ [ 0, +∞ ) ，直线 x = 0, x = t ，曲线 y = f ( x ) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( x ) 的表达式. 【分析】 本题为微分方程的应用题， 需先利用平面图形绕坐标轴旋转后所得的旋转体的体积 和表面积公式列出方程，然后求解. 【详解】旋转体的体积 V = π 条件知∫t0f 2 ( x ) dx ，侧面积 S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′2 ( x )dx ，由题设t0∫t0f 2 ( x ) dx = ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ) d x ，t0上式两端对 t 求导得 f 由分离变量法解得2(t ) = f (t )1 + f ′2 ( t ) ，即 y′ = y 2 − 1 .ln y + y 2 − 1 = t + C1 ，即 y+()y 2 − 1 = Ce t—10—文登考研高质量高水平高信誉将 y ( 0 ) = 1 代入知 C = 1 ，故 y + 于是所求函数为 y = f ( x ) =y 2 − 1 = et ， y =1 t −t (e + e ) ， 21 x −x (e + e ) . 2【评注】由曲线 y = f ( x) > 0 和直线 x = a, x = b 及 x 轴围成的图形 （1） 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： Vx = π∫bbaf 2 ( x)dx ；侧面积公式为S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′2 ( x )dx .b a（2） 绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： Vy = 2π∫axf ( x)dx .类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P176【例 6.45】 ，精选习题六 3(4)，文 登强化班讲义《高等数学》第 6 讲【例 3】 【例 4】.（20） (本题满分 11 分) （Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续，则至少存在一点ξ ∈ [ a, b ] ，使得∫ f ( x ) dx = f (η )( b − a ) .b a（Ⅱ）若函数 ϕ ( x ) 具有二阶导数，且满足 ϕ ( 2 ) > ϕ (1) ， ϕ ( 2 ) > 一点 ξ ∈ (1,3) 使得 ϕ ′′ (ξ ) < 0 .∫ ϕ ( x )dx ，则至少存在3 2【分析】 （Ⅰ）利用闭区间上连续函数的介值定理； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论及拉格朗日中值 定理证明. 【详解】 （Ⅰ）设 M 和 m 分别是 f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的最大值和最小值，则有m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) ，b a不等式各除以 b − a ，得m≤1 b f ( x ) dx ≤ M ， b − a ∫a根据闭区间上连续函数的介值定理，在 [ a, b ] 至少存在一点η ，使得f (η ) =1 b f ( x ) dx ，两端各乘以 b − a ，即得 b − a ∫a∫ f ( x ) dx = f (η )( b − a ) .b a（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可知至少存在一点η ∈ [ 2,3] ，使得—11—文登考研高质量高水平高信誉∫ ϕ ( x )dx = ϕ (η )( 3 − 2 ) = ϕ (η ) .3 2又由 ϕ ( 2 ) >∫ ϕ ( x )dx = ϕ (η ) 知， 2 < η ≤ 3 .3 2对 ϕ ( x ) 在 [1, 2] 和 [1, 2] 上 分 别 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 并 注 意 到 ϕ (1) < ϕ ( 2 ) ，ϕ (η ) > ϕ ( 2 ) ，得ϕ ′ (ξ1 ) =ϕ ′ (ξ 2 ) =ϕ ( 2 ) − ϕ (1)2 −1> 0 ， 1 < ξ1 < 2 ，ϕ (η ) − ϕ ( 2 ) < 0 ， 2 < ξ2 < η ≤ 3 . η −1在 [ξ1 , ξ 2 ] 上对导函数 ϕ ′ ( x ) 应用拉格朗日中值定理，有ϕ ′′ (ξ ) =ϕ ′ (ξ 2 ) − ϕ ′ (ξ1 ) < 0 ， ξ ∈ (ξ1 , ξ 2 ) ⊂ (1,3) . ξ 2 − ξ1【评注】 （Ⅰ）为教材中定理，证明教材中均有； （Ⅱ）中证明 ϕ ′′ (ξ ) < 0 需两次运用拉格朗日中值定理. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P317【例 12.26】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 8 讲§2【例 2】.（21） (本题满分 11 分) 求函数 u = x + y + z 在约束条件 z = x + y 和 x + y + z = 4 下的最大值和最小值.2 2 2 2 2【分析】本题求多元函数的条件最值，利用拉格朗日乘数法求解. 【详解】设 F ( x, y, z; λ , µ ) = x + y + z + λ x + y − z + µ ( x + y + z − 4 ) ，2 2 2 2 2()⎧∂F ⎪ ∂x = 2 x + 2λ x + µ = 0 ⎪ ⎪ ∂F 令⎨ = 2 y + 2λ y + µ = 0 联合 z = x 2 + y 2 ， x + y + z = 4 可解得 ⎪ ∂y ⎪ ∂F = 2z − λ + µ = 0 ⎪ ⎩ ∂x—12—文登考研高质量高水平高信誉⎧ x = −2 ⎧ x = 1 ⎪ ⎪ ⎨ y = −2 ， ⎨ y = 1 ⎪z = 8 ⎪z = 2 ⎩ ⎩而 x +y +z2 2(2)(−2, −2,8 )= 72 ， ( x 2 + y 2 + z 2 )(1,1,2 )=6.故所求的最大值为 72，最小值为 6. 【评注】 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P253【例 9.36】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 8 讲【例 17】.（22） (本题满分 12 分) 设 n 元线性方程组 Ax = b ，其中⎡ 2a 1 ⎢ a 2 2a ⎢ 矩阵 A = ⎢ ⎢ ⎢0 0 ⎢0 0 ⎣0⎤ 0 0⎥ ⎥ ⎥ ， x = ( x1 , x2 , ⎥ 2a 1 ⎥ a 2 2a ⎥ n×n ⎦ 0n, xn ) ， b = (1, 0,T, 0) ，（Ⅰ）证明行列式 A = ( n + 1) a ； （Ⅱ）当 a 为何值时，该方程组有惟一解，并求 x1 ； （Ⅲ）当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. 【分析】 （Ⅰ）为 n 阶行列式的求解，可利用递推法； （Ⅱ） （Ⅲ）利用通常的方法.2a 1 a 2 2a【详解】 （Ⅰ） Dn = A =0 00 0 = 2aDn −1 − a 2 Dn − 2 .0 00 02a 1 a 2 2a现用数学归纳法证明.n = 2 时， D2 =2a 1 = 3a 2 = ( 2 + 1) a 2 . 2 a 2ak假设 n ≤ k 时， Dk = ( k + 1) a ， 则 n = k + 1 时，有.Dk +1 = 2aDk − a 2 Dk −1= 2a ( k + 1) a k − a 2 ka k −1 = ( k + 2 ) a k +1 ，综上可得， A = ( n + 1) a .n—13—文登考研高质量高水平高信誉（Ⅱ） A = ( n + 1) a ≠ 0 ，即 a ≠ 0 时，方程组有惟一解，设将 A 的第一列用 b 替换后所n得矩阵为 A1 ，根据克莱姆法则可得A1 Dn −1 na n −1 n . x1 = = = = n n A (n + 1)a (n + 1)a ( n + 1) a（Ⅲ）当 a = 0 时，方程组有无穷多解. 此时⎡0 ⎢0 ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣1 0 0 00 0 0 00⎤ ⎧ x2 = 0 0⎥ ⎪x = 0 ⎥ ⎪ ⎥ ，则 Ax = 0 的同解方程组为 ⎨ 3 . ⎥ ⎪ 1⎥ ⎪ xn = 0 ⎩ 0 ⎥ n×n ⎦ , 0) .T易求得 Ax = 0 的基础解系为 (1, 0,⎡0 1 ⎡0⎤ ⎢ ⎢1 ⎥ ⎢ 0 0 因为 A ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎣0⎦ ⎢ ⎣0 0 从而 Ax = b 的通解为 x = k (1, 0,T0 0 0 0 , 0 ) + ( 0,1,0⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0⎤ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ，所以 ⎢ ⎥ 是 Ax = b 的特解， ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣0⎦ 0 ⎥ n×n ⎦ , 0 ) ，其中 k 为任意常数.T【评注】n 阶方阵的求解见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P346【例 1.18】 ，方程组求解 类似例题见《数学复习指南》 （理工类）P411【例 4.9】 ，文登强化班讲义《线性代数》第 4 讲【例 4】. （23） (本题满分 10 分) 设 A 为 3 阶矩阵，α1 , α 2 为 A 的分别属于特征值 −1,1 的特征向量，向量 α 3 满足Aα 3 = α 2 + α 3 ，（Ⅰ）证明： α1 , α 2 , α 3 线性无关. （Ⅱ）令 P = (α1 , α 2 , α 3 ) ，求 P AP .−1【分析】 （Ⅰ）利用线性无关的定义； （Ⅱ）利用题设条件将 A (α1 , α 2 , α 3 ) 变换成矩阵乘积—14—文登考研高质量高水平高信誉⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 的形式，即 A (α1 , α 2 , α 3 ) = ( Aα1 , Aα 2 , Aα 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) 0 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦【详解】 （Ⅰ）由题设可知，向量 α1 , α 2 是属于 A 的特征值 −1,1 的特征向量，则 α1 , α 2 线性 无关， 且 Aα1 = −α1 , Aα 2 = α 2 . 假设存在数 k1 , k2 , k3 ，使得 k1α1 + k2α 2 + k3α 3 = 0 ， 则等式两边乘以 A ，可得 ①A ( k1α1 + k2α 2 + k3α 3 ) = k1 Aα1 + k2 Aα 2 + k3 Aα 3 = − k1α1 + k2α 2 + k3 (α 2 + α 3 ) = − k1α1 + ( k2 + k3 ) α 2 + k3α 3 = 0②①－② 2k1α1 − k3α 2 = 0 ，因为 α1 , α 2 是 A 的分别属于不同特征值的特征向量，所以 α1 , α 2 线性无关，从而 k1 = k3 = 0 ，代入①式可得 k2α 2 = 0 ，又由于 α 2 ≠ 0 ，所以 k2 = 0 ， 故 α1 , α 2 , α 3 线性无关. （Ⅱ）令 P = (α1 , α 2 , α 3 ) ，则 P = (α1 , α 2 , α 3 ) 可逆.⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 因为 A (α1 , α 2 , α 3 ) = ( Aα1 , Aα 2 , Aα 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) 0 1 1 ， ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 所以 P AP = 0 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦−1【评注】抽象的向量线性无关的证明一般用定义. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P380【例 3.5】 【例 3.6】 ，文登强化 班讲义《线性代数》第 3 讲【例 4】【例 14】. ，—15—。
2008—数一真题、标准答案及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数（ ）()A 0()B 1 ()C 2()D 3（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于（ ） ()A i()B -i ()C j()D -j（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=.()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为（ ）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.（7）设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）设随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . （10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .（11）已知幂级数()02nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为.（12）设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .（13）设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，12120,2A A αααα==+，则A 的非零特征值为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分） 计算曲线积分()2sin 221Lxdx xydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)（本题满分10分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点.(18)（本题满分10分）设()f x 是连续函数，（1）利用定义证明函数()()0xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（2）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数()22()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰也是以2为周期的周期函数.(19)（本题满分10分）()21(0)f x x x π=-≤≤，用余弦级数展开，并求()1211n n n-∞=-∑的和.(20)（本题满分11分）T T A ααββ=+，T α为α的转置，T β为β的转置.（1）证()2r A ≤；（2）若,αβ线性相关，则()2r A <. （21）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1n A n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+ （1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度．（23）（本题满分11分）设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ11ni i X X n ==∑，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n =- （1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln(2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln(2)02x f x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞） 所以()f x '只有一个零点. (2)【答案】A【详解】因为2211x y f x y '=+，2221y x y f x y -'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '=所以 (0,1)10f =⋅+⋅=grad i j i (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= (4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z a b c '''--=，即二次型的标准型为222222x y z f a b c'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D 二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x =. (10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即nn n a t∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x -<-≤得15x <≤，即幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5] (12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰ 1122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y ydxdydz x dxdy x y dxdy Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22300142d r dr πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AP PB =因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P AP -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1. (14)【答案】12e【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！三、解答题(15) 【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16) 【详解】 方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）2222220000sin 22(1)[sin 22(1)sin cos ]sin 21cos 2cos 2sin 2sin 222222Lxdx x ydyx x x x dx xxdxx x x x xdx x xdx ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域112220sin 2000022000sin 22(1)sin 22(1)sin 22(1)14sin 24cos 22sin 21(1cos 2)sin 2sin 22222LL L L xDxdx x ydyxdx x ydy xdx x ydyxydxdy xdx dx xydy x x xdx x x x x dx x xdx πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLxdx ydy xydy -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LLLxdx x ydy xdx ydy x ydy I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Qy x∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10sin 20I xdx π==⎰2222202200022122sin cos sin 2cos 221111cos 22cos 2sin 222221111sin 2cos 22222LI x ydy x x xdx x xdx x d x x x x xdx xd xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到xOy 面的距离为||z ，故求C 上距离xOy 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)xy zL x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 220235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 或111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以0000()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰0()()limlimlim ()x x xx x x f t dt f xf xxξξ+→→→===⎰ ，其中ξ介于x 与x x +之间 由于0lim ()()x f f x ξ→=，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dtf x f t dt f x f t dt +'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t dt f t dt =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x x G x G x f t dt x f t dt f t dt x f t dt ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()2222002x xf t dt f t dt f t dt f t dt +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()()()000222[2]0x x xf t dt f u du f t f t dt ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】 由于 220022(1)23a xdx πππ=-=-⎰21224(1)cos (1)1,2,n n a x nxdx n n ππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()cos 14cos 023n n n n a f x a nx nx x n ππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑令0x =，有 2121(1)(0)143n n f n π+∞=-=-+ ∑ 又(0)1f =，所以 1221(1)12n n n π+∞=- =∑ (20)【详解】(I) ()()()()()()2T T T T r A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12T T T r A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100,T Tk k +为任意常数．(22)【详解】 (I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-={1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-= []1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ，所以2(,)X N n σμ，从而2,E X DX n σμ= =． 因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n=- 221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-= 所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n =-⋅+ 4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+ 因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n， 有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n =+=所以2242222()()()()()E X D X E X D D X E X⎡⎤=+=++⎣⎦ 2221()D D X n ⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭ ()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==--，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=-- 所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立) 222222221111(1)(1)DX DS D D n S n n n n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n n n n n n =⋅+⋅⋅-=--。
2008年考研高数一真题(附答案)
2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xf x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x xx yy∂==∂++．222221x f x yx yx yy-∂-==∂++．所以(0,1)1f x∂=∂，(0,1)0f y∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z ac+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()m ax{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x =．【详解】由dy y dxx=-，得dy dx yx=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x-=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nnn ax ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以0(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx xdxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ222116424=∙==⎰⎰．(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭． 记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此 0201AP P ⎛⎫=⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________． 【答案】应填12e.【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX D X ==．从而由22()D X EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]3sin sin(sin )limx x x x→-=＝2cos cos(sin )cos lim3x x x xx→-21cos(sin )lim3x x x→-= 0sin(sin )cos lim6x x xx→=(或221(sin )2lim 3x x x→=，或2221sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]4sin sin(sin )sin limsin x x x xx→-=＝3sin limt t t t→-201cos lim3t t t→-=2202lim 3t tt →=（或0sin lim 6t tt→=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰2sin 2x xdx π=⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰2cos 22xx xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P yx∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关．10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ， 2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入35x y z ++=，得5z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()x F x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlimx x x x x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰()limlim ()()x x f x f f x xξξ∆→∆→∆===∆【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim limx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x x f t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x x f t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()220()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有220()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()x G x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n-∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰220cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22sin 2sin x nx x nxdx nnπππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰1222(1)n nππ--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n nn n a f x x nanx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f nπ2121(1)(0)143-∞=-=-+∑又(0)1f =，所以n n nπ1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为T TA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0TTαξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0A x =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00TT TT A αααββαββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00T TaA αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组A x b =，其中2222212121212a a a aa A aa aa ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aa D A aa aa==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n aa aa D aD aa aa2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD aD aD a ------=-==-= ．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aa A aa aa=221222130121212212na aa a r ar aa aa-3222221301240123321212na aar ar a a aa aa-=n n na aan r ar nn an n an12130124011301110----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aa aa D na aa aa aa aa---===所以，11(1)n nD a x D n a-==+．（III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤==⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P {X+Y z,X=-1}+P {X+Y z,X=0}+P {X+Y z,X=1} =P {Y z+1,X=-1}+P {Y z,X=0}+P {Y z-1,X=1}=P {Y z+1}P {X=-1}+P {Y z}P {X=0}+P {Y z-1}P {X=1}1 =[{Y z+1}P {Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P {Y z-1}]1 =[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它 （23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni iXnX 11，2211()1ni i S X X n ==--∑，221T XS n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.D T . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次 221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nnnσμσ=+-=+-2μ=对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111nnij k i j kn T XXX X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1njk j knET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nXχ ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n nn =+-=--。
高等代数考研试题精选
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
2008年考研数学二真题答案解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)x Î，21(1,2),2)x Î使12()()0f f x x ¢¢==，所以()f x ¢至少有两个零点. 又()f x ¢中含有因子x ，故0x =也是()f x ¢的零点，的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C【详解】000()()()()()()aaaaa xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx ¢==-=-òòòò其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()a f x dx ò为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()a xf x dx ¢ò为曲边三角形的面积．曲边三角形的面积． 本题的难度值为0.829. (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ¢¢¢¢¢¢-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点是函数的间断点 因为因为 0000ln11lim ()limlimlim csc |1|csc cot x x x x x x f x xx x x++++®®®®=×=--20sin lim lim 0cos cos x x x xx xx++®®=-=-= 同理同理 0lim ()0x f x -®= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++®®®®æö=×==ç÷-èø所以所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486. (5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-¥+¥内单调有界，且{}nx 单调. 所以{()}nf x 单调且有界. 故{()}nf x 一定存在极限. 本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vuuf r rDf u v F u v dudv dvrdr vf r dr u v +===+òòòòò所以所以 ()2F vf u u ¶=¶本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -æö=ç÷-èø， 则()2121421E D l l l l --==---，又()2121421E A l l l l ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值. 又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2 【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x ®®®-×==×- 011lim ()(0)122x f x f ®=== 所以所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为xdy y xe dx x--=所以所以 111()dx dx x x x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----éùæöòò=+=×+=-+êúç÷èøëûòò本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--¢-=-=-¢+-，将(0)1y =代入得01x dydx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)--【详解】53235y xx=-Þ23131351010(2)333x y x x x -+¢=-= Þ134343101010(1)999x y xx x --+¢¢=+= 1x =-时，0y ¢¢=；0x =时，y ¢¢不存在不存在在1x =-左右近旁y ¢¢异号，在0x =左右近旁0y ¢¢>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以所以121()ln v v z z u z vy vu u u x u x v xx y -¶¶¶¶¶=×+×=-+׶¶¶¶¶ 2ln 11ln x y vvy u y y u uxy x y x æöæöæö=-+=×-+ç÷ç÷ç÷èøèøèø所以所以 (1,2)2(ln 21)2zx ¶=-¶本题的难度值为0.575. (14)【答案】-1 【详解】||236A l l =´´= 3|2|2||A A =32648l \ ´=- 1l Þ=- 本题的难度值为0.839. 三、解答题 (15)【详解】【详解】 方法一：43[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x xx x xx x x x ®®--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x ®®®--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x x x o x x x x ®®éù-\ =+=êúëû 本题的难度值为0.823. (16)【详解】【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dx t dxdt t +×===+++ 222222[(1)ln(1)]2ln(1)221d t t d y d dy t t t dtdx t dx dx dx dt t ++++æö===ç÷èø+22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt --=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21xdydy t t dt t t e x dx t dxdt t +×===++=+ 所以所以22(1)xd ye x dx =+本题的难度值为0.742. (17)【详解】【详解】 方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-®=+¥-，故212arcsin 1x x dx x-ò是反常积分. 2)1dx tx ppp-22200sin 244tt t p p 2ppp21dx x -20pp p 221x xòòòD 1D 3 D 2(19)【详解】旋转体的体积2()t V f x dx p =ò，侧面积202()1()tS f x f x dx p ¢=+ò，由题设条件知设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx ¢=+òò上式两端对t 求导得求导得 22()()1()f t f t f t ¢=+， 即 21y y ¢=- 由分离变量法解得由分离变量法解得 21l n (1)y y t C +-=+， 即 21t y y C e +-=将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2t t ye e -=+于是所求函数为于是所求函数为 1()()2xxy f x ee -==+本题的难度值为0.497. (20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即上的最大值与最小值，即()m f x M ££ [,]x a b Î由定积分性质，有由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -££-ò，即，即 ()baf x dx m M b a££-ò由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b h Î，使得，使得 ()()b af x dx f b ah =-ò即()()()baf x dx f b a h =-ò(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]h Î，使，使 32()()(32)()x dx j j h j h =-=ò又由又由 32(2)()()x d x j j j h>=ò，知，知 23h <£ 对()x j 在[1,2][2,]h 上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)j j <，()(2)j h j <得1(2)(1)()021jjj x -¢=>- 112x <<2()(2)()02j h j j x h -¢=<- 123x h <<£在12[,]x x 上对导函数()x j ¢应用拉格朗日中值定理，有应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0j x j x j x x x ¢¢-¢¢=<- 12(,)1(1,3),3)x x x ÎÌ 本题的难度值为0.719. (21)【详解】【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z l m l m =++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z l ml m l m l m ¢=++=ì¢=++=ïï¢=-+=íï¢=+-=ï¢=++-=ïî解方程组得111222(,,)1(1,1,1,1,2),(,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6. 方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y l l ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y ll l ¢ì=++++=ï¢=++++=íï¢=+++-=î 解得1122(,)1(1,1,1,1),(),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：222212221213211221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a a n a a n a r ar a n a nnn a n--+-=×××=++证法二：记||nDA =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-21221222(1)(1)n n nn n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||nD A =，将其按第一列展开得，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以所以 2211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n nn n a a a n a -=-+×=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ¹，又(1)nA n a =+，故0a ¹． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a a a aa aa aD naa a a a --´-´-===所以所以 11(1)n nD nxD n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为，则方程组为12101101001000n n x x x x -æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I) 证法一：假设123,,a a a 线性相关．因为12,a a 分别属于不同特征值的特征向量，故12,a a 线性无关，则3a 可由12,a a 线性表出，不妨设31122l l a a a =+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3a 为0，由323A a a a =+可知20a =，而特征向量都是非0向量，矛盾) 11,A a a =-22A a a =\32321122A l l a a a a a a =+=++，又311221122()A A l l l l a a a a a =+=-+ \112221122l l l l a a a a a -+=++，整理得：11220l a a +=则12,a a 线性相关，矛盾. 所以，123,,a a a 线性无关. 证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k a a a ++= (1) 用A 左乘(1)的两边并由11,A a a =-22A a a =得1123233()0k k k k a a a -+++= (2) (1)—(2)得 113220k k a a -= (3) 因为12,a a 是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,a a 线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k a =，又由于20a ¹，所以20k =，故123,,a a a 线性无关. (II) 记123(,,)P a a a =，则P 可逆，可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A a a a a a a ==1223(,,)a a a a =-+123100(,,)01101a a a -æöç÷=ç÷ç÷èø10001101P -æöç÷=ç÷ç÷èø所以所以 1100011001P AP --æöç÷=ç÷ç÷èø. 本题的难度值为0.272. 。
2008—数三真题、标准答案及解析
（22） （本题满分 11 分） 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， X 的 概 率 分 布 为 P X i
1 i 1, 0,1 ， Y 的 概 率 密 度 为 3
1 0 y 1 fY y ，记 Z X Y 0 其它
（1）求 P Z
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 2 - 页 共 14 页
（1）证明对任意实数 t ，有 （2）证明 G x
t 2
t
f x dx f x dx ；
0
2
x
0
2 f t t 2 f s ds dt 是周期为 2 的周期函数． t
所以 f y (0, 0) 存在．故选 B . (4)【答案】 A 【详解】用极坐标得
02 y 4
1
y
e y 1 y2 lim lim 0 y 0 y 0 y y
2
F u, v
D
f u 2 v2 u 2 v2
dudv dv
0
v
u f (r2 ) r 1
2 2
dxdy ，其中 Duv 为图中阴影部分，则
（D）
F （ u
）
（A） vf (u )
2
（B）
v f (u 2 ) u
（C） vf (u )
3
v f (u ) u
）
（5）设 A 为阶非 0 矩阵 E 为阶单位矩阵若 A 0 ，则（
A E A 不可逆， E A 不可逆. C E A 可逆， E A 可逆.
x c
x c x c
2 2 x c
河南师范大学801高等代数
第1页，共2页........................ 优质文档..........................2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码与名称：801高等代数 适用专业或方向：数学、统计学 表考试时间：3小时 满分：150分试题编号：A 仓（必须在答题纸上答题，在试卷上答题无效，答题纸可向监考老师索要） 一、（15分）求整系数多项式X 5 + X 4-6X 3-14X 2-11X -3的有理根，并写出它 的标准分解式。
'1二、（15分）求矩阵』=~一1 "1三、（15分）设印.，O,S1,2,3,・・・,〃，计算下面行列式的值:四、 （15分）设力、"分别为sxn, nxm 矩阵,证明关于矩阵秩的不等式：五、 （15分）证明：方阵刀为正定矩阵的充分必要条件是存在〃个线性无关的向量名,％,…,％，使得A = a'i a i +a'2a 2 + ■•■ + a'n a n ,其中a ；为％的转置。
六、（15 分）在 R'中求向量a =（0,0,0,1）在基扃=（1,1,0,1）,勻=（2,1,3,1）,勻= （1,1,0,0）, /=（0，l ，T ，T ）下的坐标。
1+。
11 …1 12 2 +2 … 2 23 33 + Q3 ,,,3377 —1 77-1 ■•- （〃-1） + % n — \nn n ••- n〃 + % D n-1 -1 -r 1 -1 -1 -1 1 -1-1 -1 1 ,中所有元素的代数余子式之和t 鸟=七、(20分)设叫,吧是数域尸上〃维线性空间■的两个子空间，且dim%+dimW2=〃，求证：存在/的线性变换A,使得A '(0)= %, XV = W,O八、(20分)求下列矩阵的最小多项式及若当标准形。
(1)〃阶方阵刀，其所有元素均为1;(2)〃阶方阵力邱丁,其中a早为非零〃维实列向量，并且0玲=0。