泰勒公式及其应用

本科生毕业论文设计泰勒公式及其应用
目录
中文摘要、关键词...........................................................................1引言 (2)
1 泰勒公式的引入 (3)
1.1 一元泰勒公式的引入 (3)
1.2 二元及多元泰勒公式的引入 (4)
1.3 泰勒公式的几种形式 (7)
1.3.1带Peano余项的泰勒公式 (7)
1.3.2 带Lagrange余项的泰勒公式 (7)
1.3.3 带积分余项的泰勒公式 (9)
1.3.4 带柯西余项的泰勒公式 (9)
1.3.5 几种常见的带有佩亚诺余项的Maclaurin公式 (11)
2 泰勒公式应用 (11)
2.1 在近似计算中的应用 (11)
2.2 在求极限中的应用 (13)
2.3 利用泰勒公式的系数求函数在指定点处高阶导数的值 (14)
2.4 泰勒公式在证明中的应用 (15)
2.5 泰勒公式与一元函数极值的问题 (16)
2.6 利用泰勒公式来研究函数图像的局部性质 (20)
2.7 利用泰勒公式研究线性插值 (21)
2.8 应用泰勒公式判断数项级数敛散性 (22)
2.9 利用泰勒公式进行函数幂级数展开 (23)
2.10 二元及多元函数泰勒公式的应用 (26)
3 复变函数中的泰勒公式 (27)
4 总结与归纳 (28)
参考文献 (29)
英文摘要、关键字 (30)
泰勒公式及其应用
数学与信息科学学院数学与应用数学专业
摘要:泰勒公式作为数学分析中的一个基本概念，是在拉格朗日中值定理基础上进行的进一步推广。

它利用函数中最简单的形式多项式函数的形式，来进行各种理论的分析和探究，在进行近似计算以及估值等方面有广泛的应用。

本文从大家熟悉的多项式函数以及导数入手进而引入泰勒公式，并根据余项不同分成了带佩亚诺余项、带拉格朗日余项、带柯西余项以及积分余项等形式的泰勒公式，接下来根据带不同余项的泰勒公式的不同的性质对其应用进行分类讨论。

对于带佩亚诺余项的泰勒公式可以用来计算不定式的极限；利用带拉格朗日余项以及柯西余项的泰勒公式可以进行近似计算以及一些理论的证明；将数域扩充到复数域上还可以研究关于解析函数的泰勒公式。

总之，泰勒公式贯穿于整个数学分析的理论之中，是一个最基本又重要的概念。

关键词:泰勒公式近似计算余项
引言
泰勒公式是数学分析中最基础最重要的概念之一，是拉格朗日定理的进一步推广。

它将一些复杂的函数用简单的多项式函数近似地表达出来，这种化简的能力使得泰勒公式成为分析和研究其他一些数学问题的重要工具，也是我们学习数学分析的重要知识点，需要重点掌握。

泰勒公式在函数的估值以及近似计算、求函数极限、研究函数极值问题还有定积分等式或不等式的证明等方面有广泛的应用，它是解决其他数学问题乃至一些实际生活问题的有力工具。

泰勒公式在理论分析中的重要地位以及其广泛的应用吸引着国内外的学者对其进行深入的研究。

对于泰勒公式应用的研究还在进行之中,目前已有许多研究者在该领域获得了多项研究成果，文献的作者充分研究和总结了泰勒公式在各个领域上的应用，将泰勒公式的相关理论充分应用到实践之中，采用的方法新颖而独特，值得我们借鉴和学习。

本篇论文共分三个部分，第一部分是关于泰勒公式的引入并给出其证明，还给出了带不同余项的泰勒公式；第二部分是关于泰勒公式的应用，详细介绍了泰勒公式在近似计算、求函数极限、求函数最值以及研究函数图像局部性质等方面的应用；第三部分是将数域扩充到复数域上，在复数域上来研究解析函数的泰勒公式并讨论其应用。

1.泰勒公式的引入
1.1 一元函数泰勒公式的引入
在学习导数和微分的相关概念时我们知道如果函数f 在点0x 可导，则有
()()()()()0000ο'=+-+-f x f x f x x x x x .
即在点0x 附近，用一次多项式()()()000'+-f x f x x x 逼近函数()f x 时，其误差为()0-x x 的高阶无穷小量。

然而在许多情况下，取一次多项式的逼近是远远不够的，常常需要二次或高于二次的多项式去逼近，并要求其误差为()()0
ο-n x x ，
其中n 为多项式的次数.
我们考察任一多项式()()()()2
0010200n
n n p x x x x x x x αααα=+-+-++- 逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到
()()()()()0001020,,2!,!n
n n n n n p x p x p x p x n αααα'''==== ，
即()()()()()
0000012,,,,.1!2!!
n n n n n n p x p x p x p x n αααα'''====
由此可见，多项式()n p x 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定.
对于一般的函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构造一个n 次多项式
()()()()()()()()()20000000.2n n
n f x f x T x f x f x x x x x x x n '''=+-++-++- ！！
称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式。

下面要证
()()()()
()0.n
n n R x f x T x x x ο
=-=-
定理1假设函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，有()()()()0
n n f x T x x x ο=+-，
即
()()()()()()()
()()()2
00000()
0002.
n n n
f x f x f x f x x x x x f
x x x x x n ο'''=+-+
-++-+- ！
！
证：设
()()()n n R x f x T x =-，()()0n
n Q x x x =-，
现在只要证
()
()0lim
=0.n x x n R x Q x →
易知： ()()()()00,0,1,2,,k k n f x T x k n ==
∴()()()()0000n n n
n R x R x R x '==== 并易知
()()()()()()100000,!n n n n
n n Q x Q x Q x Q x n -'===== 因为()()0n f x 存在，所以在点0x 的某邻域()0U x 内f 内存在1n -阶导函数()f x 。

于是，当()0x U x ∈ 且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次，得到
()()()()()()
()
()0001
1lim =lim =lim n n n n n x x x x x x n n
n R x R x R x Q x Q x Q x --→→→'=' ()()()()()()()()()0110000lim 12n n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=-- ()()()0110001lim n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-⎢⎥-⎣⎦！
0.=
证毕.
1.2 二元及多元泰勒公式的引入：
二元函数的泰勒公式，与一元函数的泰勒公式类似，对于n 元函数(2)n >也有相同的公式，只是在形式上更复杂一些.
定理2（泰勒定理）若函数f 在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有直到
1n +阶
的连续偏导数，则对()
0U P 内任一点()00,x h y k ++，存在相应的()0,1θ∈，使得 ()()()()()()()0000002
00001
00,,,1,2!1,!1,.
1!n n f x h y k f x y h k f x y x y h k f x y x y h k f x y n x y h k f x h y k n x
y θθ+⎛⎫
∂∂++=+++
⎪∂∂⎝⎭⎛⎫
∂∂+++ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂++ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫
∂∂+++ ⎪
+∂∂⎝⎭
上式称为二元函数f 在点0P 的n 阶泰勒公式。

定理3设n U ⊂ 为一个凸区域，函数f 为1U → 具有1m +阶连续偏导数，
0000
12(,,,)n x x x x U =∈ ，12(,,,)n x x x x U =∈ ，0x x ξ∃∈（0x 与x 的连线）
11221212112211
121121
0000
01,,,11
000
,,,11()()()()()()!1()()()()(1)!k k
k k
m m m m k m
n
i i i i i i k i i i i i i m n i i i i i i i i i i i i f f x f x x x x x x x x k x x x f x x x x x x m x x x ξ++++==+=∂=+---∂∂∂∂+
---+∂∂∂∑∑∑
或是
1
0000
11
111()()()()()()
!(1)!k
m m
n n i i i i k i i i i f x f x x x f x x x f k x m x ξ+===⎛⎫⎛⎫∂∂=+-+- ⎪ ⎪
∂+∂⎝⎭⎝⎭∑∑∑
证明：令0()((1))t f t x tx ϕ=-+，[0,1]t ∈，明显的11([0,1],)m C ϕ+∈ ，并且
0(0)()f x ϕ=，(1)()f x ϕ=， 11
11
00()((1))()n
i i i i f
t t x tx x x x ϕ∂'=-+-∂∑
，
11
1212()
000
,,1()((1))()()k k k k
k n
k i i i i i i i i i i f t t x tx x x x x x x x ϕ=∂=-+--∂∂∂∑ ， 其中 1,2,,1k m =+
把0t =代进上述公式之后可得
11110000
1
(0)()()=()()n
n i i i i i i i i f x x x x x f x x x ϕ=⎡⎤∂∂'=--⎢⎥∂∂⎣⎦∑∑，
111212()
000
,,1001
(0)()()()()()
k k
k k
k n
k i i i i i i i i i i k
n
i i i i f x x x x x x x x x x f x x ϕ==∂=--∂∂∂⎡⎤
∂=-⎢⎥∂⎣⎦∑∑ ，
112211
121121
1(1)
0000
,,,1()((1))()()()m m m m m n
m i i i i i i i i i i i i f x x x x x x x x x x x ϕ
θθθ++++++=∂=-+---∂∂∂∑
1
01=()()m n i i i i x x f x ξ+=⎡⎤∂-⎢⎥
∂⎣
⎦∑， (0,1)θ∈，0=(1-).x x ξθθ+
在ϕ上应用一元函数的带拉格朗日余项的泰勒公式可以得出
()(1)11
(0)
()
(1)(0)(10)(10)!
(1)!
k m m
k
m k k m ϕϕθϕϕ++==+-+
-+∑
，(0,1)θ∈，
即可得出：
000
11
1
11()()()()
!1()().
(1)!k
m
n i i k i i m n i i i i f x f x x x f x k x x x f m x ξ==+=⎡⎤∂=+-⎢⎥∂⎣⎦⎡⎤∂+-⎢⎥+∂⎣⎦
∑∑∑
在利用上述这个公式解题时，该泰勒公式的前三项十分重要，其具体的表达
式如下：011000()()()n n x x f x f x Jf x x x ⎛⎫
- ⎪
=+ ⎪ ⎪-⎝⎭
2220
1111000
1122220211(,,,)2!n n n n n n n x
f f x x x x x x x x x x x f f x x x x x ⎛⎫∂∂ ⎪⎛⎫∂∂∂- ⎪ ⎪ ⎪+---+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂- ⎪⎝⎭
⎪∂∂∂⎝⎭ ， 其中方阵
02221
102
2
21()n n n
x
f
f x x x Hf x f f x x x ⎛⎫
∂∂ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪= ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭
称作是函数f 的黑塞矩阵，该矩阵是一个n 阶对称方阵.
1.3泰勒公式的几种形式：
泰勒公式根据其所带余项的不同,可以分成带Peano 余项、带Lagrange 余项、积分余项以及带柯西余项的泰勒公式，下面将分别介绍这些带不同余项的泰勒公式以及他们的用途。

1.3.1带Peano 余项的泰勒公式
定理4假设()f x 在0x 处存在n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于在该邻域中的任何一点x ，成立
()()()()()()()()()()200000002!!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n '''=+-++-++-+ .
其中余项()n r x 满足()()(
)
0n
n r x x x ο=-.
上述这个公式就称为()f x 在0x x =处的带佩亚诺余项的泰勒公式. 证明过程见上文定理1的证明.
1.3.2 带Lagrange 余项的泰勒公式
定理5假设()f x 在[],a b 区间上具有n 阶连续导数，并且在(),a b 上具有
1n +阶导数。

设[]0,x a b ∈为一定点，则对于任意的[],x a b ∈，成立：
()()()()()()()
()
()2
00000()
002.
n n
n f x f x f x f x x x x x f
x x x r x n '''=+-++-++-+ ！
！
其中余项()n r x 满足()()
()()
11
01n n n f r x x x n ξ++=
-+！
，ξ在x 与0x 之间.
上述公式称为()f x 在0x x =处的带拉格朗日余项的泰勒公式. 证：构造函数()F t ，使得()1()
()()(),[,].!
k n
k k f t F t f t x t t a b k ==+-∈∑
构造函数()G t ，使得1()().n G t x t +=-
那么()F t 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，当(,)t a b ∈时，
(1)()11
()()1
1
122(1)()()()[()()]
!(1)!()()()()()()(1)!(1)!
()
(),(,).
!
k k n
k
k k j k n n j k j k n n f t f F t f t x t x t k k f t f t f t x t x t f t j k f t x t t a b n +-=+--==+''=+----''=+------=-∈∑∑∑
对()F t ，()G t 在区间(,)a b 上应用柯西中值定理，(,)a b ξ∃∈，
(1)00(1)()()
()()()!()()()()()().!()
n n
n n f x F x F x F n G x G x G G f x n G ξξξξξξξξ++-'-==''-=-'，
()00010(1)0()
()()[()()]!
()()
()()[()()].!()
k n
k n k n n f x R x f x f x x x k F x F x f x G x G x n G ξξξ=+=-+-=-=--'∑
根据1()()n G t x t +=-，那么()(1)()n G t n x t '=-+-，()0G x =，100()()n G x x x +=-，
所以可以得出：
(1)10(1)
10()
()()[()]!(1)()
()
().
(1)!
n n n n n
n n f R x x x x n n x f x x n ξξξξ++++=----+-=
-+
1.3.3积分余项的泰勒公式
泰勒公式还存在带有积分形式的余项.
定理6设函数设()f x 在0x 的某邻域()0U x 内有1n +阶连续导函数。

令
()0x U x ∈，[]0,t x x ∈，得：
()()()()()()()
()
()
2
00000()
002n n
n f x f x f x f x x x x x f
x x x r x n '''=+-++-++-+
！
！
其中余项()n r x 满足()()(
)()011x n
n n x r x f t x t dt n +=-⎰！。

上述公式称为()f x 在0x x =处的带积分余项的泰勒公式
1.3.4柯西余项的泰勒公式
对泰勒公式的积分型余项应用积分第一中值定理，则得：
()()()()()101n
n n r x f x x x ξξ+=
--n ！
， ()00,01x x x ξθθ=+-≤≤
由于
()()()()()()
00001
01n
n n n x x x x x x x x x x x ξθθ+--=----⎡⎤⎣⎦=--
可以将()n r x 改写为
()()()()()()1
100011,01n n n n r x f x x x x x n θθθ++=
+---≤≤！
特别当00x =时，又有
()()()()1111,01n
n n n r x f x x θθθ++=
-≤≤n ！
以上两个公式称为泰勒公式的柯西型余项
对于柯西型余项的泰勒公式的证明类似于带拉格朗日余项的泰勒公式的证明，即取()G t x t =-，那么()1G t '=-，()0G x =，00()G x x x =-
(1)0(1)
0()
()()[0()]
!(1)
()
()()!
n n n n n f R x x x x n f
x x x n ξξξξ++=----=--
注意：若f 在点0x 附近满足
()()(())n
n f x P x o x x =+-， 其中00
()()n
k n k k P x a x x ==-∑为n 次多项式，试问()n P x 一定是f 的泰勒多项式
()()00
()()!
k n
k
n k f x T x x x k ==-∑
？ 答案是不一定，举一反例，若1
()(),n f x x D x n N +=∈
，其中()D x 为Dirichlet
函数，易知
1000()()lim lim lim ()0n n n
x x x f x x D x xD x x x +→→→===， 所以
0()()0().n
n
k n k f x o x x o x ===+∑
但是因为f 在0x ≠处不连续，所以不可导，那么也就不能定义(0),
f ''(0),,f ''' 也就不能构造出高于一次的的泰勒公式()n T x ，因为在0x =处，
100()0(0)lim lim ()0,0
n n x x x D x f x D x x +→→-'===-
所以一次的泰勒多项式为
1(0)
()(0)00.1!
f T x f x x '=+
=+
1.3.5几种常见的带有佩亚诺余项的Maclaurin 公式 泰勒公式在00x =时的特殊形式：
()()()()()()()20000.2!!
n
n
n f f f x f f x x x x n ο'''=+++++
它被称为带有佩亚诺余项的Maclaurin 公式. 以下为几种常见的麦克劳林公式：
()21.2n
x
n x x e x x n ο=+++++ ！！
()()()35211
2sin 1+.3521m m m x x x x x x m ο--=-+++-- ！！！
()()24221cos 11.242m m m x x x
x x m ο+=-+++-+ ！！！
()()()231ln 1++-1.24n
n n x x x
x x x n
ο-+=-++
()()
()()
()211111.2n
n n n x x x x x n ααααααο---++=++
++
+ ！
！
()21
1.1n n x x x x x
ο=+++++- 利用麦克劳林公式，可以间接求得其他一些函数的泰勒公式，还可求某些类型的函数极限.
2泰勒公式应用
2.1 在近似计算中的应用
泰勒公式在实践中有许多的应用，其中近似计算是一个重要的应用.在利用泰勒公式进行近似计算时，我们需要注意到泰勒公式是一种局部性质，因此在利用其进行近似计算时x 不要远离0x ，不然会使近似效果变差。

例1计算e 的值，使其误差不超过710-
解：将x e 的麦克劳林公式改写为带有拉格朗日余项的形式
()x f x e =，由(
)
()1n x f x e +=，得到
()2112!!1!
n x
x
n x x e e x x n n θ+=++++++ ，
()01,x θ<<∈-∞+∞，
当1x =时有
()11112!!1!e e n n θ
=++++++ 01θ<<.
故()()()3
11!1!n e R n n θ=<++，当10n =时，便有
()7103311011!39916800
R -<
=<. 从而略去()101R 求得e 的近似值为
11111 2.71828532!9!10!
e ≈++
++≈ . 在进行近似计算时，需要先凑出项数n ，使得(1)n R （记作1r ）尽可能的小，要小于题目要求的误差-710.差值-710-(1)n R 不能太小，要使每一项
11
,,3!9!
在进行计算时，由于四舍五入进而产生的误差和（记作2r ）不能超过610(1)n R --.于是，总误差71210,r r -≤+<符合题目的要求.
根据这道例题我们可以看出在进行近似计算时，自然项数n 越大，计算所得到的数值也就越精确，但是会增加计算量，所以在进行近似计算时，近似者需要根据情况来确定n 的值.
例2利用泰勒多项式来估计正弦函数sin x ，分别以1m =，2m =这两种情况来讨论x 的取值范围，并将其误差控制在-310以内 解：（1）当1m =时，sin x x ≈，其误差应该满足
3
13
32(1)cos ()103!6
x R x x ξ--=≤<，
即110()0.1817()x rad rad -<=≈，即大约是在原点附近102440''' 的范围之内用x 来近似sin x ，其误差是小于-310的.
（2）当2m =时，3
sin 6
x x x ≈-，其误差应该满足
5
25
34(1)cos ()105!120
x R x x ξ--=≤<，
即0.6543()x rad <=≈，即大约是在原点附近372938'''
范围内，用3
3!
x x -近似sin x ，其误差是小于-310的.
2.2 在求极限中的应用
泰勒公式在不定式极限的计算中也有广泛的应用，利用带皮亚诺余项的泰勒公式求未定式的极限，分别设()f x 与()g x 在x a =的泰勒公式分别为
()()()
()
n
n
f x A x a x a ο
=-+-，()()()
()m
m
g x B x a x a ο
=-+-，
其中0B ≠，则
()
()()()
()()()()
lim
lim
0.,0
n
n m m
x a
x a A m n B A x a x a f x n m
g x B x a x a n m A ο
ο
→→⎧⎪=-+-⎪==>⎨-+-⎪∞<≠⎪⎩
当易求()f x ，()g x 的泰勒公式，但()f x ，()g x 的导数的计算较为复杂时，便可以利用泰勒公式来求极限()
()
lim
x a
f x
g x →.在利用这个方法求极限时，必须熟记某些基本初等函数的泰勒公式才可以轻松解题.
例2
求极限()
22
20
12
lim .cos sin x x x I x e x
→+-=-
解：因()()2224444111111222
88x x x x x x x οο⎛⎫+=+-+-+=+ ⎪⎝⎭ ，
()()()22222213cos 1122x x e x x x x x οο⎛⎫
-=--++=-+ ⎪⎝⎭
又()22sin 0x x x → ，所以()()440222
11188lim 331222x x x I x x x οο→+===-⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦
.
例3确定常数a 和b 的值，使()(
)2
sin x f x x a be x =-+当0x →时是x 的5阶
无穷小量.
解：()2
42
5
12x x e x x ο=+++，()356sin 6120
x x x x x ο=-+
+，可得 ()()()()()35245635
5261201.
612062b x x f x x a b bx x x x x a b a b b b a b x b x x x οοο⎡⎤⎡⎤=-++++-++⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎛⎫⎛⎫=--+---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
只有当10a b --=与
06
a b
b +-=同时成立()f x 才能满足题设条件.据此可解得常数51,66a b ==，并且得到()()5
523360f x x x ο=-
+，()f x 是x 的5阶无穷小量()0x →.
在求极限中，尤其是对于00∞
∞
，型等不定型极限的计算中经常利用洛必达法
则，但是有时在求导时会遇到一些麻烦，此时应用泰勒公式来计算这样的极限会比较方便，不但可以减轻计算量，而且在熟练运用泰勒公式的基础上可以快速看出所需要求得的极限值.
2.3利用泰勒公式的系数求函数在指定点处高阶导数的值
我们还可以巧妙地利用泰勒公式的定义及性质，来解决在指定点处高阶导数值的问题.
例4设()f x 在0x =处()2n n ≥阶可导且()130lim 1x x f x e →+=⎡⎤⎣
⎦，求
()(0),(0),,(0).n f f f ' 解：根据()()1
1ln 1300
lim 1lim n
f x x x
x x f x e
e +⎡⎤⎣⎦
→→+==⎡⎤⎣⎦得
()()0
01
lim
ln 13lim ln 10.n x x f x f x x
→→+=⇒+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()00lim 00.(0)x f x f f →⎧=⇒=⎨⎩
再用当0x →时的等价无穷小替换()()ln 1f x f x +⎡⎤⎣⎦ ，可得()
0lim 3n
x f x x →=. 利用()1ο表示当0x →时的无穷小量，那么当0x →时的极限与无穷小的关系
()()31n
f x x
ο=+，并利用()()1n n x x οο=可得()()4n n
f x x x ο=+。

从而由泰勒公式的唯一性既得:
()()()
()(
)
()()
()1000,00,,00,
303!!
n n n f f f f
f n n -'===== ，故.
2.4泰勒公式在证明中的应用
在许多证明题中对于出现某函数的二阶或者二阶以上的导数时可以考虑利用泰勒公式进行证明.在证明中可先写出比题设条件中低一阶的泰勒展开式，然后根据给出的条件选择出恰当的0x 和x ，最后再依据题设所给出的高阶导数的大小对展开式放大或者缩小。

例5设02x π<<，证明22
1cos 42
x x x <-<.
证明：根据带拉格朗日余项的泰勒公式
()2411
cos 1cos ,01,24!
x x x x θθ=-+<<
可以得出22111cos cos .224x x x x θ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
注意当02x π
<<时有2
221111111
cos 222422422964x x ππθ⎛⎫>->-=-> ⎪⎝⎭，故命题
得证，即
221cos 42x x x <-<0,.2x π⎛⎫
⎛⎫∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 在利用带拉格朗日型余项的泰勒公式解决问题时，关键是选择好公式当中的展开点0x 和被展开点x ，可根据不同的题设条件和结论进行选择，灵活解决问题.通常会将题目中给定的某阶导数值的点或者需要估计导数值大小的点取为展开点0x ，将题中给定函数值的点或者区间的端点取作被展开点x .有时需要设法去除在展开式中出现的未知的函数值或者导数值.
例6设()f x 在[]0,1二阶可导，且()0f a ≤，()1f a ≤，()"f x b ≤，其中
,a b 为非负常数，求证：对任何()0,1,c ∈有
()122
f c a b '≤+.
证明：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，通常需要利用函数在某点的泰勒展开式，可联想到将()f x 在点x c =处展开.
考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：[]()0,1,0,1,x c ∀∈∀∈有
()()()()()()2
1,2
f x f c f c x c f x c ξ'''=+-+
- （*） 其中(),0 1.c x c ξθθ=+-<<
在（*）式中，令0x =，得
()()()()()2111
0,01;2
f f c f c c f c c ξξ'''=+-+<<< 在（*）式中，令1x =，得
()()()()()2221
11,0 1.2
f f c f c c f c c ξξ'''=+-+
<<<
两式相减得()()()()()()2
2211101.2f f f c f c f c ξξ⎡⎤'''''-=+--⎣
⎦
于是得 ()()()()()()2
2121101.2f c f f f c f c ξξ⎡⎤'''''=-+--⎣⎦两边同时
取绝对值并且放大即可得出
()()()2
211121212222f c a b c c a b c c a b ⎡⎤'≤+-+≤+-+=+⎣⎦.
其中利用了对任何的()0,1c ∈有()2
211,,c c c c -≤-≤于是
()
2
211c c -+≤.
在证明之中存在着某点使得函数或者高阶导数在该点取值满足某一等式（或者不等式）或具有某种其他要求的特性时也常用到泰勒公式，并且所求的点还常是公式余项中出现的中间值.
例7设函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且()()1010, 2.2f f f ⎛⎫
===- ⎪⎝⎭
证
明：[]
()0,1max 16.x f x ∈''≥
证明：为求出()f x ''的估值可以利用泰勒公式找到它与()0f ，()1f 及
()min f x 之间的关系。

由于题设条件中给出了()0f 与()1f 的函数值，又涉
及到二阶导数()f x ''，因此可以考虑利用()0f 和()1f 在展开点01
2
x =处的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式.
将()f x 在01
2
x =
处展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，则有 ()()2
11111,22222f x f f x f x ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ξ在x 与12之间）
在上式中分别令0x =，1x =，并利用()()010f f ==即得
()111111
10,0,2228
2f f f ξξ⎛⎫⎛⎫'''=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()221111
10,12228
2f f f ξξ⎛⎫⎛⎫'''=++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
将上述两式相加消去未知的一阶导数值12f ⎛⎫
' ⎪⎝⎭可得
()()12110228
f f f ξξ⎛⎫''
''=++⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝⎭，即()()12116.2f f f ξξ⎛⎫''''+=- ⎪⎝⎭
由于 []()()()120,112max 1632,2x f x f f f ξξ∈⎛⎫
''''''≥+=-= ⎪⎝⎭
因此 []
()0,1max 16x f x ∈''≥.
2.5 泰勒公式与一元函数极值的问题
利用泰勒公式还可以证明有关极值的相关定理.
定理7（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域()0;U x δ内一阶可导，在
0x x =处二阶可导，且()00f x '=，()00f x ''≠. （i ）若()00f x ''<，则f 在0x 取得极大值. （ii ）若()00f x ''>，则f 在0x 取得极小值. 证：根据条件可得f 在0x 处的二阶泰勒公式为
()()()()()()()()2
2000000
1.2!
f x f x f x x x f x x x x x ο'''=+-+-+-
由于()00f x '=，所以
()()()()()2
00012f x f x f x x x ο''⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦. （1）
又因为()00f x ''≠，故存在正数δδ'≤，当()0;x U x δ'∈时，
()01
2
f x ''与()()01
12
f x ο''+同号.所以，当()00f x ''<时，（1）式取负值，从而对任意()0;x U x δ'∈ 有()()00f x f x -<，
即f 在0x 取极大值.同样的对()00f x ''>，可得f 在0x 取极小值. 定理8设f 在0x 的附近存在1n +阶连续导数，并且
()(1)0000()()()0,()0n n f x f x f x f x +'''====≠ .
（1）如果n 为偶数，那么0x 不是f 的极值点.
（2）如果n 为奇数，那么0x 是f 的严格极值点，当(1)0()0n f x +>时，0x 是f 的严格极小值点；当(1)0()0n f x +<时，0x 是f 的严格极大值点. 证明：将f 在0x 点作带Peano 余项的泰勒展开，即
(1)110000()
()()()(())(1)!
n n n f x f x f x x x o x x n +++=+-+-+.
于是
(1)1100001
0()(())
()()[]()(1)!()
n n n n f x o x x f x f x x x n x x ++++--=+-+-. 由于
0(1)1100010()(())()
lim[],(1)!()(1)!
n n n n x x f x o x x f x n x x n ++++→-+=+-+ 故0δ∃>，在00(,)x x δδ-+中，
(1)1001
0()(())
(1)!()
n n n f x o x x n x x +++-++- 与(1)0()
(1)!n f x n ++同号。

（1）若n 为偶数，则由10()n x x +-在0x 附近变号可知，0()()f x f x -也变号，所以0x 不是f 的极值点.
（2）若n 为奇数，则1n +为偶数，那么10()n x x +-在0x 附近不变号，所以
0()()f x f x -与
(1)0()
(1)!
n f x n ++同号.
若10()0n f x +>，则0()()f x f x >，0000(,)(,)x x x x x δδ∀∈-+ ，0x 为f 的严格极小值点；
若10()0n f x +<，则0()()f x f x <，0000(,)(,)x x x x x δδ∀∈-+ ，0x 为f 的严格极大值点.
2.6利用泰勒公式来研究函数图像的局部性质
定理9设X ⊂ 为任一非空集合，0x X ∈.函数:f X → 在0x 处n 阶可导，并且满足条件：
(1)()0000()()()0,()0n n f x f x f x f x -'''''====≠ .
（1）若n 为偶数，如果()0()0(0)n f x ><，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 的邻近位于曲线过该点的切线的上（下）方.
（2）若n 为奇数，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时就称曲线()y f x =在点00(,())x f x 处与该点的切线横截相交. 证明：因为f 在0x 处n 阶可导，且
(1)000()()()0n f x f x f x -'''''==== ，()0()0,n f x ≠
所以，f 在0x 的开邻域内的n 阶泰勒公式为
()()()()()()()()000()000
.
n n
n f x f x f x x x f x x x x x n ο
'=+-++-+-
！
所以
000()0000()[()()()]()(())()[1].
!()n n n
n
f x f x f x x x f x o x x x x n x x '-+--=-+- 由此易知，00,(,),x X B x δδ∃>∀∈ 有000()[()()()]f x f x f x x x '-+-与
()()()00n n
f x x x n -！
同号.
（1）若n 为偶数且()0()0n f x >，则
000()[()()()]0f x f x f x x x '-+->， 0(,),x X B x δ∀∈
说明在点00(,())x f x 的邻近处，曲线()y f x =位于切线()()()000y f x f x x x '=+-的上方；
若()0()0n f x <，则()()()()0000f x f x f x x x '-+-<⎡⎤⎣⎦，0(,),x X B x δ∀∈
在点
00(,())x f x 的邻近处，曲线()y f x =位于切线000()()()y f x f x x x '=+-的下方； （2）若n 为奇数且()0()0(0)n f x ><，则
000000(0),(,),
()[()()()]0(0),(,)x X B x f x f x f x x x x X B x δδ+-⎧><∀∈'-+-⎨<>∀∈⎩
，
据此可知，在0x 的右侧，曲线()y f x =位于切线000()()()y f x f x x x '=+-的上（下）方；在0x 的左侧，曲线()y f x =位于切线000()()()y f x f x x x '=+-的下（上）方。

所以可知曲线()y f x =在点00(,())x f x 处与该点的切线横截相交.
2.7利用泰勒公式研究线性插值
定义1设f 为区间[,]a b 的一元实函数，l 为由点(,())a f a 与点(,())b f b 所决定的一个线性函数，即
()()().b x x a
l x f a f b b a b a
--=
+-- l 就称为f 在区间[,]a b 上的线性插值.
若f 在(,)a b 内二阶可导，且f 在[,]a b 上连续，那么我们便可以对插值造成的误差进行估计。

可利用带拉格朗日余项的泰勒公式，(,),(,)a x x b ξη∃∈∈
22()()(()())(()())1[()()()()]21[()()()()]2()()(()())
2()()(),(,),
2
b x x a
l x f x f a f x f b f x b a b a b x a x f x a x f b a x a b x f x b x f b a b x x a x a b x f f b a b a b x x a f a b ξηξηζζ---=
-+----'''=-+---'''+-+------''''=+----''=∈ 最后一个等式是因为
0x a b a ->-，0b x
b a
->-，
min{(),()}min{(),()}(
)()()max{(),()}.
x a b x
f f f f b a b a
x a b x
f f b a b a f f ξηξηξηξη--''''''''=+----''''≤
+--''''≤
若M 为f ''的上界（特别是在f ''在[,]a b 上连续，由最值定理取[,]
max x a b M ∈=）
()f x ''，那么误差估计为
2
()(,[,)
()()()
2
(.
)2
]b x x a l x f x f b b a M x a ζ∀--''-=
-≤∈
这说明，M 值越小线性插值的逼近效果也就越好， 当M 特别小时，曲线
()y f x =的切线变化的不剧烈，这也符合我们对于几何图像的直观感受.
2.8应用泰勒公式判断数项级数敛散性
泰勒公式还有一个重要的应用，可以将级数进行泰勒展开，进而判断级数的敛散性.具体应用见以下例题.
例8设0α>，判断级数11
ln cos
n n
α∞
=∑的敛散性 解：当0α>，n →∞时，
1
0n
α→估计级数项的阶
22221111111ln cos
ln(1())()2!2o o n n n n n =-+=-+ 这个级数为常号级数，其项与级数21
11
2n n ∞
=-
∑的项等价，因为后者仅在
12α>时收敛，也就是说原级数当且仅当1
2
α>
时收敛
例9判断级数111
(ln )n n n
n ∞
=+-∑的敛散性
解：先将11ln n n n +-改写为11ln(1)n n -+，利用泰勒公式来确定11
ln(1)n n -+关
于1
n
的阶. 由于22111111ln(1)[()]2o n n n n n n -+=--+
222111
()(),22o n n n n
=+→∞ 所以111(ln )n n n
n ∞
=+-∑收敛.
在判断级数的敛散性时，可以根据级数的形式来选取恰当的方法进行判断，例如遇见x e 、sin x 、cos x 、ln(1)x +等形式时可以考虑利用泰勒公式，将其写成多项式的形式，确定其等价无穷小量，之后判断敛散性。

例如上道例题，将
1ln(1)n +写成关于1n 的泰勒展式，确定其关于1
n
的阶，之后可以利用比较判别法
判断出级数的收敛性.
2.9利用泰勒公式进行函数幂级数展开
在进行函数的幂级数展开时，可以直接利用泰勒公式直接进行展开另外也可以利用一些常见函数的麦克劳林展开式利用间接法求解，以下例题主要是利用间接法进行求解，一般会涉及到微分法、积分法与分解函数法等方法.
例10将2ln(1)x x ++展成麦克劳林级数并指出其展开式成立的区间.
解：可将原式2
ln(1)x x ++写成31ln 1x x
--，3
31ln
ln(1)ln (1)1x x x x -=----，利用
关于ln(1)x +的麦克劳林公式，分别以3()x -与()x -替代当中的x ，就有
1
1()ln(1)(1)
,(11)n
n n x x x n
∞
-=--=--<-≤∑. 33
1
31
()ln(1)(1)
,(11)n
n n x x x n
∞
-=--=--<-≤∑. 所以 33
11ln(1),
11n n
n n x x x x x n n
∞
∞==++=-+-≤<∑∑.
例11将1arctan
1x
x
+-展成麦克劳林级数并指出其展开式成立的区间. 解：由于()222211
1121arctan ,1111111111x x x x x x x x x x ''
-+⎛
⎫⎛⎫=
== ⎪ ⎪+-+⎝⎭
⎝⎭-++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
利用
1
1x
+的麦克劳林公式，并用2x 来替代其中的x ，就能得出 22
01arctan (1),111n n n x x x x ∞='-⎛⎫=--<< ⎪+⎝
⎭∑即11x -<<.
将上式的两边进行积分，利用01arctan
,14
x x x π
=+=-再根据
()(0)()x
f x f f t dt '-=⎰可得
200011arctan arctan (1)1414x x n n
n x t dt t dt x t ππ∞='++⎛⎫=+=+- ⎪--⎝
⎭∑⎰⎰ 210(1),11421
n n
n x x n π
+∞
==+--<<+∑. 我们发现函数1arctan
1x
x
+-在端点1x =-处是连续的，幂级数21
0(1)421
n n
n x n π
+∞
=+-+∑在点1x =-处也是收敛的，所以上式在端点1x =-处也是成立的，即
21
01arctan (1),111421
n n n x x x x n π+∞=+=+--≤<-+∑.
注意：对于有些级数，展开的方式可能不仅一种，此时需要考虑其复杂程度，例如对于2ln(1)x x ++，若将2x x +作为ln(1)x +的麦克劳林公式中的x ，就会变成22
1
1()ln(1)(1)
n
n n x x x x n
∞
-=+++=-∑，这样就很难将其转化为x 的幂级数.另外有些函数不易将其直接展开求解，此时可以先将其导数求出来，在展开之后再进行积分.但这时需要注意要使用正确的牛顿—莱布尼兹公式，即应有等式
()()(0)x
f x f t dt f '=+⎰.一定要注意不要忘记加(0)f ，虽然在很多情况下
(0)0f =，
但也有特殊情况，例如在上例中的01(0)arctan 14
x x f x π
=+==-.此时(0)
f 并不等于0.在幂级数进行逐项积分以及逐项求导时，只能保证收敛区间不发生改变，但是在区间的端点处幂级数的敛散性可能会发生变化，所以我们在求出展开式的收敛区间之后必须要验证展开式在区间端点处是否成立.
例12将
2
1
32
x x ++，在1x =处展开为泰勒级数. 解：利用间接法在指定点0x 处做泰勒展开，需要利用0x x -，或是0x x -的倍数以及方幂等来代替原来的x 。

对于题中的函数21
()32
f x x x =
++，将分母
232x x ++分解成(1)(2)x x ++。

原式即为
21111
(),32(1)(2)12
f x x x x x x x =
==-++++++
其中0111111(1),11112(1)222212n
n n x x x x x ∞=--⎛⎫===--<< ⎪-++-⎛⎫⎝⎭+ ⎪
⎝⎭∑ 即13x -<<. 上述展开式就是以
1
2
x -去代替x ，同理可知 0111111(1),11123(1)333313n
n n x x x x x ∞=--⎛⎫===--<< ⎪-++-⎛⎫⎝⎭+ ⎪
⎝⎭∑即24x -<<， 所以可得：
110111
1()(1)(1),13122
3n n n n n f x x x x x ∞
++=⎛⎫=-=----<< ⎪++⎝⎭∑.
2.10二元及多元函数泰勒公式的应用
泰勒公式不仅在一元函数中有广泛的应用，在二元及多元函数中也有许多应用.见以下的例子.
例13求22(,)231f x y x xy y x y =-+-+-在(0,0)与(1,1)-处的泰勒展开式 解：由(0,0)1f =-，(0,0)(0,0)(431)1x f x y '=--=-，
(0,0)(0,0)(321)1y f x y '=-++=，(0,0)4xx
f ''=，(0,0)3(0,0)xy yx f f ''''=-=，(0,0)2yy f ''=及三阶以上的偏导数全部为零，所以f 在(0,0)处的泰勒展开式则为
22(,)123f x y x y x xy y =--++-+
在(1,1)-点处，(1,1)3f -=，(1,1)(1,1)(431)6x f x y -'-=--=，
(1,1)(1,1)(321)4y f x y -'-=-++=-，(1,1)4xx
f ''-=，(1,1)3(1,1)xy yx f f ''''-=-=-，(1,1)2yy
f ''-=及三阶以上的偏导数全部为零，所以f 在(0,0)处的泰勒展开式则为 22(,)36(1)4(1)2(1)3(1)(1)(1)f x y x y x x y y =+--++---+++.
3复变函数中的泰勒公式
在前面讨论了在实数域上的泰勒公式的各种形式及其应用，现在我们来探讨在复数域上的泰勒公式.利用泰勒公式来研究在圆内解析的函数展成幂级数的问题.
定理10（解析函数泰勒定理）：圆:K z a R -<含于区域D 中，假设()f z 在D 中解析，a D ∈，则()f z 能在K 内展开成幂级数
0()()n n n f z c z a ∞
==-∑，
其中系数 ()11()()
2()!
n n n f f a c d i a n ρζζπζ+Γ==
-⎰ .(:,0;0,1,2)a R n ρζρρΓ-=<<=
展开式的形式是唯一的.
例14将1z
e z
-在0z =处展开成幂级数.
解：因为1z
e z
-在1z <内解析，所以展开后的幂级数在1z <内收敛，已知：
()23
12!3!
z
z z e z z =++++<+∞
， ()231
111z z z z z
=++++<- ，
在1z <时将二个式子相乘可得
211111111!1!2!z e z z z ⎛⎫⎛⎫
=++++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 例15将函数()2
z
f z z =
+按照1z -的幂级数展开，并写出其收敛范围. 解：
0122
()1122(1)3
212111(1)133313121(1)(13).333n
n n n
n n z f z z z z z z z z ∞=∞===-=-
++-+-⎛⎫=-=-- ⎪-⎝⎭
+⎛⎫
=----< ⎪⎝⎭
∑∑
4 总结与归纳
通过归纳总结以上有关于泰勒公式的应用，可以看出泰勒公式在很多方面都起到了很大的作用。

它是在研究函数在某一点附近的性质的强大工具。

利用带
Peano余项的泰勒公式可以轻松地计算出许多不定型得极限，如0
型、
∞
∞
型；利
用泰勒公式还可以计算出函数的近似值，并对于误差进行估计；对于一些在题目中出现某函数的二阶或者二阶以上的导数的命题也常常需要考虑利用泰勒公式进行证明；另外对于函数极值判定定理的证明也要用到泰勒公式；在对于级数敛散性的证明也常常需要泰勒公式来进行辅助证明，可以说泰勒公式贯穿于一元微分学的方方面面。

对于多元函数以及解析函数，泰勒公式也大有可为。

在经济学领域，还可以利用泰勒公式来估计菜单成本带来的损失，这里就不再赘述。

参考文献
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[2] 钟玉泉.复变函数论第三版.高等教育出版社,2013.5.
[3] 徐森林，薛春华.数学分析第一、二册.清华大学出版社，2006.12.
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[5]裴礼文，数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社，2010.9.
[6] Rudin，数学分析原理.机械工业出版社，2004.1.
Taylor Formula and Its Application
Abstract:As a basic concept of mathematical analysis,Taylor formula has beendevelo ped from Lagrange mean value theorem. It isapplied in the form ofpolynomialsto theo retical analysis and research as well as the approximatecalculation and valuation.
Taylor formula is introduced in this thesis from the discussion on polynomialfuncti on and derivative, and is divided into Taylor formula with Penano remainderterm,with Lagrange remainder term, with Cauchy remainder term, and with integralremainder t erm. Then their respective application will be researched according to the characteristi c qualities: Taylor formula with Penano remainder term can be used tocalculate the in determinate limit; Taylor formulas with Lagrange remainder term, and with Cauchy re mainder term can be applied to the approximate calculation andtheoretical identificati on; within the complex number field, Taylor formula of analytic functions can also be studied. .
In a nutshell, Taylor formula plays a basic role of vital importance throughout thethe ories of mathematical analysis.
Keywords: Taylor formula;Approximatecalculation;The remaining items。