第五节三重积分(二)

第五节三重积分(二)

分布图示

★ 利用柱面坐标计算三重积分 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 利用球面坐标计算三重积分 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 空间立体的质心与转动惯量 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 空间立体对质点的引力 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题10—5 ★ 返回

内容要点

一、利用柱面坐标计算三重积分

点M 的直角坐标),,(z y x 与柱面坐标),,(z r θ之间的关系为 ,cos θr x =,sin θr y =.z z = (5.1) 柱面坐标系中的三族坐标面分别为

=r 常数：一族以z 轴为中心轴的圆柱面； =θ常数：一族过z 轴的半平面； =z 常数：一族与xOy 面平行的平面.

柱面坐标系中的体积微元: dz rdrd dv θ=， 为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于z 轴的直线与区域Ω的边界最多只有两个交点. 设Ω在xOy 面上的投影为D ，区域D 用r ，θ表示. 区域Ω关于xOy 面的投影柱面将

Ω的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为),(1θr z z =，下曲面方程为),(2θr z z =，

),(),(21θθr z z r z ≤≤，D r ∈),(θ，于是

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

=Ω

D

r z r z dz z r r f rdrd dz rdrd z r r f )

,()

,(21),sin ,cos (),sin ,cos (θθθθθθθθ

二、利用球面坐标计算三重积分

点M 的直角坐标),,(z y x 与柱面坐标),,(θϕr 之间的关系为 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=====,cos ,sin sin sin ,cos sin cos ϕθϕθθϕθr z r OP y r OP x (5.3) 球面坐标系中的三族坐标面分别为 =r 常数：一族以原点为球心的球面；

=ϕ常数：一族以原点为顶点，z 轴为对称轴的圆锥面；

=θ常数：一族过z 轴的半平面.

球面坐标系中的体积微元: θϕϕd drd r dv sin 2=，

三、三重积分的应用 空间立体的重心 ⎰⎰⎰Ω

=

dv z y x x M

x ),,(1ρ, ⎰⎰⎰

Ω

=

dv z y x y M

y ),,(1ρ⎰⎰⎰Ω

=

dv z y x z M

z ),,(1ρ.

其中，⎰⎰⎰Ω

=

dv z y x M ),,(ρ为该物体的质量.

空间立体的转动惯量

,)(22⎰⎰⎰Ω

+=dv z y I x ρ,)(22⎰⎰⎰Ω

+=dv z x I y ρ⎰⎰⎰

Ω

+=

dv y x I z )(22ρ.

空间立体对质点的引力

},,{z y x F F F =⎪⎭⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdv r z z G dv r y y G dv r x x G 30303

0)(,)(,)(ρρρ.

例题选讲

利用柱面坐标计算三重积分

例1 (E01) 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --= 上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K), 求Ω的质量m. 解据题意，密度函数为

,),,(22y x K z y x +=ρ

所以.),,(2

2⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

+==

dv y x K dv z y x m ρ 利用柱坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为

},1),({22≤+=y x y x D

故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω

===

2

110

220

2

122

2

)(r D

r

dz dr r d K dz drd r K dz rdrd Kr m πθθθ

.15

16)1(21

22K

dr r r K ππ=

+=⎰

例2 (E02) 计算,⎰⎰⎰Ω

zdxdydz 其中Ω是由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成

(在抛物面内的那一部分)的立体区域.

解利用柱面坐标，题设两曲面方程分别为,422=+z r .32z r += 从中解得两曲面的交线为,1=z ,3=r

Ω在xOy 面上的投影区域为:D ,30≤≤r .20πθ≤≤对投影区域D 内任一点),,(θr 有

.43

22

r z r -≤≤ 所以I ⎰

⎰⎰

-=2

2

43

r r D

zdz rdrd θ

⎰

⎰⎰-⋅=2

2

43

3

20

r r zdz r dr

d πθ.4

13π=

例3 计算⎰⎰⎰

Ω

+=

,)(22dxdydz y x I 其中Ω是曲线0,22==x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面

与平面8,2==z z 所围的立体.

解由曲线,22z y =0=x 绕z 轴旋转所得曲面方程为z y x 222=+旋转抛物面 设:1Ω,20πθ≤≤,40≤≤r 822≤≤z r :2Ω,20πθ≤≤,20≤≤r 22

2

≤≤z r

I ⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

ΩΩ+-

+=

2

1

)()(2222dxdydz y x dxdydz y x ⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⋅-⋅=2

2

22020

8

2

24020

22

r r

dz r r dr

d dz r r dr

d ππθθ

ππ62345

5-=.336π=

利用球面坐标计算三重积分

例4 (E03) 计算,)(22⎰⎰⎰Ω

+dxdydz y x 其中Ω是锥面222z y x =+与平面)0(>=a a z 所围的

立体.

解在球面坐标系中

a z =

r

=

222z y x =+ϕ=

故积分区域Ω可表为

πθπ

ϕϕ20,4

0,cos 0:≤≤≤≤≤

≤Ωa r 所以

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰=+Ω

ϕπ

π

ϕϕθcos 0

3440

20

22

sin )(a

dr r d d dxdydz y x

.10cos cos cos 152cos sin 5254052540535a d a d a πϕϕ

ϕπϕϕϕππ

π=-==⎰⎰ 注: 本题也可采用柱面坐标来计算.此时，锥面222z y x =+z =积分区域 ,20,0,:πθ≤≤≤≤≤≤Ωa r a z r 同样得到