随机过程作业和答案第一二章

随机过程作业
第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。

求X(t)的一维和二维分布。

解 先求一维分布。

当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t
故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。

这亦是随机过程X(t)的一维分布。

再求二维分布。

当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t
因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。

则其线性变换也服从正态分布。

且
所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。

P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数
(2) 二维分布函数
解 (1) 先求
所以
22
2
21
1
2
1
1)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,
0)(t t t EX +=+===212121
211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡++++22
2
12121
1111t t t t t t )
3
π
,0x x F )
2
πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4
F x π。

X()cos ,442A A ππ==显然，三值
，，易知它仅取22
3
2 22{()42P X π=={cos 42P A π==
1P{A 1},3==3
1}223)4({ ,31 }2)4
({=
===ππX P X P 同理，⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F
进而有
P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。

解 由题设， 的分布密度为
数学期望 相关函数
方差
P18例题2：随机过程X(t)总共有两条样本曲线 值，所以，它只取显然，。

再求002
cos )2X( )2; (==π
ππA x F ⎩⎨
⎧≥<=0 x 1,0 x 0, )2; (πx F )3
Acos , 0cos {)30, ;,F(x )2(2121x x A P x ≤≤=π
π计算}2A , {}2A , {2121x x A P x x A P ≤≤=≤≤=⎩⎨⎧≤≤≤≤=1222112
},2{2
},{x x x A P x x x A P 当当⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
≥<≥≤<≤<<≤≤<≤<<≤≤<<<≤=23 x ,2x 3,2123x 1 ,2x 32,232
1
x 2
1 ,2x 21,23121 x ,2x 1,
2 ,0)30, ;,F(x 21212121212121212121212121x x x x x x x x x x x x x x x x x 或，当或，当或，当或当π∞<<∞Φ+=t - , )cos()(0t a t X ω1
, 0<<2()2 0 , f ϕπϕπ
⎧⎪=⎨⎪⎩其它
X m (t)EX(t)==2001
cos()2a t d πωϕϕπ
=+=⎰
[cos()]E a t ωϕ+01212(,)[()()]
X R t t E X t X t =0102[cos()cos()]
E a t a t ωω=+Φ+Φ22010201cos()cos()2a t t d πωϕωϕϕ
π=++⎰2201201201{cos ()cos[()2]}22a t t t t d πωωϕϕπ=-+++⎰2
021cos ()2
a t t ω=-2
12()(,)()X X X D t R t t m t =-22a =
1211
2
(,)cos , (,)(,)cos >0,,(,)12X X t a t X t X t a t
21a P(w )=,P(w )=m (t)33t t ωωω===-X
其中常数且试求X(t)的数学期望和相关函数R 。

解 数学期望 相关函数
P38习题1：设随机过程 其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。

试求)(t X 的一维概率分布。

解：X （t ）=Xcos 0ωt ∞<<∞t - 1)当)(t X =0时，Xcos 0ωt=0 得 t=
1
ω（k+
2
1π
）(k=0, ±1, ±2,…..) 此时，(){}10==t X P 2）()0t Xcos 0t X 0≠≠ω时当 得t
≠
1
ω（k+21π）(k=0, ±1, ±2,…..)
因为X 是标准正态变量 所以 1)x (D ,0)x (E ==
所以
[]()[]()t
cos t Xcos D )X(t D 0t Xcos E )X(t E 02
0201ωωω====
所以)X(t 1的一维概率分布为
()t
2cos x 0022
e
2t cos 1t x,f ωπ
ω-
=
(k=0, ±1, ±2,…..)
P38习题2：利用投掷一枚硬币的试验，定义概率各为2
1。

试确定()t X 的一维分布函数 F （x; 21）和F （x;1），以及二维分布函数F （1x ； 2x ；1；2
1）。

解：1）出现正面时，X （21）=2cos π
=0
出现反面时，X （21）=2 ⨯2
1
=1
又因为：2
1121,21021=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭
⎫
⎝⎛X P X P X m (t)EX(t)=21cos (cos )33a t a t =⋅+-⋅cos 3
a
t
=1212(,)[()()]X R t t E X t X t =121221(cos cos )(cos )(cos )33
a t a t a t a t =⋅⋅
+-⋅-⋅212
cos cos a t t =∞<<∞=t - , cos )(0t X t X ω
所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<= 1 x
1,1x 0 ,2
1
0 x 0 )21; ( ，
x F
2）因为出现正面时 X(1)=cos π=-1, 出现反面时，X(1)=2 ⨯1=2 且有(){}(){}2
121,2111===
-=X P X P ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤<= 2 x
1,2x 1- ,2
1-1 x 0 )1; ( ，
x F
3）出现正面时，随机矢量()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫
⎝⎛1X ,21X 可能取值为()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛1X ,21X =（0，1）
出现反面时，随机矢量()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫
⎝⎛1X ,21X 可能取值为()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛1X ,21X =（1，2）
而2
12X(1)1,21,211)1(X ,021=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⎪⎭⎫
⎝⎛=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-==⎪⎭⎫ ⎝⎛X P X P 所以 二维分布函数
F （1x ；2x ；21；1）=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥-≥<≤-<<2 x 1 x
1,2x 1-0x 1x 1x 0 ,21
1x 0 x 02212121且且，且或，
P38习题3 设随机过程{X （t ），-∞<t<∞}总共有三条样本曲线 X(t ，1ω)=1，X(t ，2ω)=sint ，X(t ，3ω)=cost
且P （1ω）=（2ω）=（3ω）=3
1。

试求数学期望EX(t)和相关函数x R （1t ，2t ）。

解 EX(t)=1⨯31+ sint ⨯31+ cost ⨯31=3
1
（1+ sint + cost ）
x R （1t ，2t ）=[])X(t ),X(t E 21=（1⨯1）⨯31+（sin 1t sin 2t ）⨯31+（cos 1t cos 2t ）⨯3
1
=31（1+sin 1t sin 2t +cos 1t cos 2t ）=3
1
[ cos （2t -1t ）]
P38习题5 设随机过程X （t ）=Xt
-e
，（t > 0）,其中X 是具有分布密度f （x ）的随机变量，
假定随机变量X 具有在区间（0,T ）中的均匀分布。

试求随机过程的数学期望EX(t)和自相
关函数x R （1t ，2t ）。

解 由题设，X 的分布密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其它
0,T x 0
,T 1
)1; ( x f
所以X （t ）的数学期望)(t X m = EX(t)= EX(Xt
-e
)=
⎰
--T
T
xt
dx e
1
=
Tt
1
（1 - Tt -e ）（t > 0） 相关函数x R （1t ，2t ）=[])X(t ),X(t E 21= E[1e Xt -，2e Xt -] =
⎰
--T
xt xt dx T e e 0
12
1=()[]
211)
(121t t T e t t T +--+ P39习题8设随机过程{X （t ），-∞<t<∞}的数学期望为)(t X m ，协方差函数),(21t t C x ，而)(t ϕ 是一个函数。

试求随机过程的)()( )t (Y t t X ϕ+=数学期望和协方差函数。

解 )(t Y m =EY(t)=()[])(t X E t ϕ+=)(t X m +)(t ϕ [ϕ为一个函数]
),(21t t C x =()()[]()()[]2211t Y t Y E t m t m Y Y --
=()()()()[]()()()()[]22221111t .t E t t m t X t t m t X x x ϕϕϕϕ--+--+ =()()[]()()[]2211t t E t m X t m X X X -- =),(21t t C x
P39习题10给定一个随机过程X （t ）和常数a ，试用X （t ）的相关函数表示随机过程
()t X a t X -+=)( )t (Y 的相关函数。

解 设X （t ）的相关函数为x R （1t ，2t ），Y （t ）的相关函数为Y R （1t ，2t ） 则Y R （1t ，2t ）=[])Y(t ),Y(t E 21=()()[]()()[]{}2211E t X a t X t X a t X -+-+ =[][][][]))X(t X(t E )a)X(t X(t E a))X(t X(t E a)a)X(t X(t E 21212121++-+-++ =()()()()21212121,,,,t t R t a t R a t t R a t a t R x x x x ++-+-++
P39习题11设随机过程()∞<<-∞+=t t A ,cos )t (X 0ϕω， 其中0ω为正常数，A 和φ是相互独立的随机变量，且A 服从在区间[0，1]上的均匀分布，而φ服从在区间[0，2π]上的均匀分布，试求X （t ）的数学期望和相关函数。

解 因为A 服从在区间[0，1]上的均匀分布，φ服从在区间[0，2π]上的均匀分布，所以
⎩⎨⎧<<=其它 0,1a 0 ,1 )( a f ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它
0,20 ,21 )( πϕπϕf
所以)(t X m =()t EX =()[]()()[]φωφω+=+t E A E t A E 00cos cos =
()
ϕπ
φωπ
d t ada 21
cos 20
01
⎰⎰
+=0 ()=21,t t R X [])X(t ),X(t E 21=()()[]
φωφω++20102cos cos A E t t
=()
()()[]φωφω++20102cos cos A E t t E =()()
ϕπ
ϕωϕωπ
d t t da a 21
cos cos 20
20101
2⎰⎰
++ =31()[]()[]{}ϕπωϕωπd t t t t 21cos 2cos 21
21021020
-+++⎰
=()[]210cos 6
1t t -ω
P40习题13设随机过程X （t ）≡K （随机变量），而EX=a ，DX= 2σ，试求X （t ）的数学期望和协方差函数。

解 因为X （t ）≡X 所以 )(t X m = EX(t)=EX=a
),(21t t C x =()()[]()()[]2211t X t E t m t m X X X --=()[]()[]21X E t m t m X X X --
=()[]2
E t
m X X -=DX=2
σ
P40习题15 设随机过程X （t ）=∞<<-∞++t Zt Yt X ,2 ，其中X ，Y ，Z 是相互独立的随机变量，各自的数学期望为零，方差为1。

试求X （t ）的协方差函数。

解 随机过程X （t ）=∞<<-∞++t Zt Yt X ,2
因为 X ，Y ，Z 是相互独立的随机变量，各自的数学期望为零，方差为1 所以 ),(21t t C x =()()[]()()[]2211t X t E t m t m X X X --=()[]()[]21X E t t X
=()()[]2
2
2
2
1
1Yt
X Yt X E Zt Zt ++++
=[]
2
2212221212212122222
X E t t Z t ZYt XZt t YZt t t Y XZt XYt +++++++ =()222122122
X
E t t Z t t Y ++=()
2X E +()221E Y t t +()
22
221E Z t t
=2
22
1211t t t t ++
P40习题17 设X ， Y 是相互独立分别服从正态分布N(0, 2
σ)的随机变量，作随机过程
X （t ）=Xt+Y 。

试求下列随机变量的数学期望：
()dt t X Z ⎰=10
1 ()dt t X Z ⎰=1
22
解 ()()()()()()[]01
01010
101=+=+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡
=⎰⎰⎰⎰dt Y E X tE dt Y Xt E dt t EX dt t X E Z E ()()()()()()()[]
⎰⎰⎰⎰++=+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102210210
210222dt
Y E tXY E t X tE dt Y Xt E dt t EX dt t X E Z E =()
dt t ⎰+10221σ=23
4σ
第二章
P48例题3 随机相位正弦波()()φω+=t a t X 0cos ,其中a ，0ω是正常数，而随机变量φ服从在[0，2π]区间上的均匀分布。

试证()t X 是平稳过程。

解 计算得到 )(t X m =0和()()1202
21cos 2
,t t a t t R X -=ω
所以 ()()τωττ02
cos 2
,a t t R R X X =+= 表明数学期望是常数，相关函数仅与时间间隔有关，所以()t X 是平稳过程。

P48例题4 设随机过程∞<<-∞+=t t B t A ,cos cos )t (X 00ωω，其中0ω是正常数，而A ，B 是相互独立随机变量，且有 EA=EB=0, DA=DB=2
σ〉0，试证()t X 是平稳过程。

证 先求数学期望()0sin cos 00=+=t EB t EA t EX ωω
又相关函数 ()()()()()[]τωτωωωτ++++=+t B t A t B t A E t t R X 0000sin cos sin cos , =()()τωστωωτωω02
002
002
cos sin sin cos cos =+++t t EB t t EA
仅与τ有关，所以()t X 是平稳过程。

P56例题1 具有随机初相位正弦波 ()∞<<-∞+=t t ,cos )t (X 0φω 其中a 、0ω是正常数，而φ在区间[]π2,0中均匀分布。

试讨论()t X 的各态历经性。

解 ()t X 是平稳过程，计算得 )(t X m =0 ()()τω02
21c o s 2
,a t t R X =
现在计算时间平均和时间相关函数。

时间平均
()()[]⎰⎰
-∞
→-∞
→-=+=T
T
T T
T
T dt t t T
a m
i l dt t a T
m
i l t X φωφωφωsin sin cos cos 2..cos 21..0
0sin cos ..cos cos 2..000===∞→-∞→⎰T
T a m i l tdt T a
m i l T T T T ωωφωφ
时间相关函数
()()
()()[]⎰
-∞→+++=+T
T
T dt t t T
a m i l T t X t X φτωφω002cos cos 2..
=()[]τωτωφτωω02
002cos 2
1cos 22cos 212..a dt t T a m i l T T T =+++=⎰-∞→ 因此 ()X m t X = ()()()ττX R t X t X =+ 所以平稳过程()t X 具有数学期望和相关函数的各态历经性。

P100习题1 指出第一章习题中第5、6、7、11、12、13、14、15题给出的随机过程，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程。

解 （1）()()0>=-t e t X Xt
随机变量X 在（0，T ）上服从均匀分布，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其它
0,T x 0
,T 1
) ( x f
所以EX(t) =
⎰
--T
T
xt
dx e
1
=
Tt
1（1 - Tt
-e ）（t > 0） 相关函数x R （1t ，2t ）=[])X(t ),X(t E 21= E[1
e Xt -，2
e
Xt -]
=
⎰
--T
xt xt dx T e e 0
12
1=()[]
211)
(121t t T e t t T +--+ 所以()t X 是非平稳过程
（2）(){}(){}()P )P 1(0P 1t EX 10,1=-⨯+⨯=-====，所以P t X P P t X P
()()()[]()
2222121P P 10P 1t X t X E t ,t =-⨯+⨯==X R
所以EX(t)为常数，且x R （1t ，2t ）与时间无关，所以()t X 是平稳过程。

（3）()021121
1EX X E EYn n 1j n 1j j n 1j j =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===
()[]==m Y ,Y E m ,n n Y R ()k
j
m
1
k n
1
j m
1k k j n
1
j m 1k k n 1j j X X X X X X E E E ∑∑∑∑∑∑=======⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
()n E ==∑∑
==2
m
1
k n
1
j X （n<m ）所以n
Y 是非平稳过程。

（4）
()[]()[]()0cos 21
cos cos )t (EX 020
10
00=+=+⨯=+=⎰
⎰ϕφωπ
φωφωπ
d t ada t E EA t A E ()()[]()[]φωφω++=201021cos cos t ,t t A t A E R X
()()()()[]ϕωφωπ
d t t t t da a 120210201
02cos 2cos 21
-+++=⎰
⎰
()()()()120120cos 61
cos 2131t t t t E -=-⨯=ωω 所以()t X 是非平稳过程
（5）()∞<<-∞=t t t X ,cos ω 0=t 时，()1=t EX
0≠t 时，()t t t d t t EX 021
2
1cos 21sin 11cos 00ωωωωω⎪⎭
⎫
⎝⎛∆∆=∆=⎰
∆
+∆
-
因为()t EX 在∞<<∞-t 上不是常数，所以()t X 是非平稳过程。

（6）())(随机变量X t X ≡ 因为a =EX
所以()a =t EX ()()()[]2
2D t EX t EX t X -==()222a σ=-t EX
所以
()222a σ+=t EX 所以()()()()()2222121a t X t X t ,t σ+===t EX E R X
所以()t X 是平稳过程。

（7）Yt )t (X +=X ∞<<∞-t
因为随机矢量()的协方差阵为τY ,X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛222
1 σγγσ 所以()2
1XX Cov σ= ()2
2XY Cov σ= ()()γ==X Y,Cov Y X,Cov
()()()[]()[]
2122122121t t Y t t XY X Yt X Yt X t ,t +++=++=E E R X
()[]()[]
()()()221212212212EY t t XY E t t X t t Y E t t XY E X +++=+++=E E
所以()t X 是非平稳过程。

（8）2Zt Yt )t (X ++=X
()()
0Zt Yt E 2=++=X t EX
()()(
)[]2
2
22
1121Yt X Yt X t ,t Zt Zt E R X ++++=
[]
......t t t t t XYt X 12
212122222YXt YZ Y XZ E +++++=
[]
2
22121222122122
t t t t 1t t t t X
++=++=Z Y E 所以()t X 是非平稳过程。

P100习题2 设随机过程 ()Ut t X sin = 其中U 是在[]π2,0上均匀分布的随机变量。

试证 （1）若{}(){}是平稳过程；则，而,...2,1t ,t X ,,...2,1T T ==∈t （2）若(){}不是平稳过程。

则，而0t ,t X ),,0[T T ≥∞=∈t 解 （1）()()t t
tudu t EX ππππ
2cos 11
21sin 2120-==
⎰ ()()()[]⎰==ππ
20212121sin sin 21
t X t X E t ,t udu t u t R X
()[]()[]⎰+--=π
π20
1212
cos cos 41du t t u t t
u
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++---=121212122sin 1
2sin 141t t t t t t t t πππ
当{}()()()是平稳过程。

所以时t X ,0t ,t R ,0t EX ,,...2,1,21x ===∈T T t （2）()()t cos21t
21
ππ-=
t EX ()()()[]⎰
==ππ
20
212121sin sin 21
t X t X E t ,t udu t u t R X 若),,0[T T ∞=∈，而t 则()t EX 不为常数，()21t ,t X R 可能与t 有关， 所以()t X 是非平稳过程。

P100习题6 随机过程 ()()∞<<-∞+=t t A t X ,cos 0φω 其中A 和φ是相互独立的随
机变量，而φ在区间[]π2,0上均匀分布。

试问()t X 是否具有各态历经性。

解 ()()φω+=t A t X 0cos
()()[]()
021
cos cos 20
00=+=+==⎰ϕπ
φωφωπ
d t EA t A E t EX m X ()()()[]()()[]φωφω++==20102121cos cos t X t X E t ,t t A t A E R X
()()
ϕπ
φωφωπ
d t t EA ⎰++=202010221
cos cos ()()()()[]()1202
20
1202102
cos 2
cos 2cos 41t t EA d t t t t EA
-=-+++=⎰
ωϕωφωππ
又因为()()()⎰
⎰-∞→-∞→+=+=T
T
T T
T T dt t T
A
m i l dt t A T
m
i l t X φωφω00cos 2..cos 21
..
0sin cos ..00==∞
→T
T
A m
i l T ωωφ
()()()()[]⎰
-∞→+++=+T
T
T dt t t T
A m i l t X t X φτωφωτ002
cos cos 2..
()[]τωτωφτωω02
0002
cos 2cos 22cos 4..A dt t T
A m i l T
T T =+++=⎰-∞→
所以()X m t X = 而()()()ττX R t X t X ≠+
所以()t X 有数学期望的各态历经性，无相关函数的各态历经性。

P102习题中A ，α都是正常数；而EX(t)=0 。

试问X(t)对数学期望是否有各态历经性。

解 ()0==t EX m X 所以02=X
m
()()01lim lim =+=-∞
→∞
→ταττ
αAe
R T X T 所以()X
X
T m
R 2
lim =∞
→τ 所以()X m t X =，a.s.
所以()t X 有数学期望的各态历经性。

P102习题9 设()t X 与()t Y 是相互独立的平稳过程。

试证()()()t Y t X t Z =也是平稳过程。

证明 ()t X 与()t Y 是相互独立的平稳过程
所以()()ττX X R t t R =+, ()()ττY Y R t t R =+, ()()0==t EY t EX
因为()()()t Y t X t Z =
所以()()()[]()()()()[]ττττ++=+=+t Y t X t Y t X E t Z t Z E t t R Z ,
()()()()[]()()[]()()[]ττττ++=++=t Y t Y E t X t X E t Y t Y t X t X E ()()()()ττττY X Y X R R t t R t t R =++=,,
所以()τ+t t R z ,与t 无关
又因为()()()[]0==t Y t X E t EZ 所以()()()t Y t X t Z =也是平稳过程。

P102习题10 设平稳过程()t X 与()t Y 是相互独立的。

令()()()t Y t X t Z +=。

试求()t Z 的自相关函数。

证明 ()()()[]()()[]{}τττ++++=+t Y t X t Y t X E t t R Z ,
()()()()()()()()[]{}ττττ+++++++=t Y t Y t X t Y t Y t X t X t X E
又因为平稳过程()t X 与()t Y 是相互独立的，
()()()()()Y X Y X Y X X Y Y X Z m m R R m m m m R R t t R 2,++=+++=+τττττ
P102习题11 平稳随机过程(){}∞<<-∞t t X ,的相关函数为
()πτπτττ
3cos cos 4+=-e
R X 试求均方值[]
t X E 2。

P101习题12 指出下图中所列函数曲线哪些不是平稳过程的相关函数，哪些可以是平稳过程的相关函数。

解 由图可知，b 图函数的数学期望()t EX 为常数，且自相关函数()21t ,t X R 与时间t 无关， 所以b 图的函数是平稳过程。

而a 、c 、d 图的函数曲线的自相关函数()21t ,t X R 与时间t 有关。

所以a 、c 、d 图的函数不是平稳过程
P103习题14 设随机过程 ()()()∞<<-∞=t t Y t VX t Z , 其中平稳过程()t X 和()t Y ，及随机变量V 三者相互独立，且 X m = 0 , Y m = 0 , ()()τωττ
02cos 2-=e
R X ,
()2
39ττ-+=e R Y 又 EV=2 DV=9 试求()t Z 的数学期望，方差和相关函数。

解 随机过程 ()()()∞<<-∞=t t Y t VX t Z ,
因为平稳过程()t X 和()t Y ，及随机变量V 三者相互独立 所以()()()[]()()0002=⨯⨯===t EY t EVEX t Y t VX E t EZ
1392222=+=+=DV V E EV
()()τX R t EX =2|()τωτ
τ020cos 2-==e
|20==τ
()()τY R t EY =2|2
309ττ-=+=e |10190=+==τ
（a ）
0 （b ）
0 （d ）
()()()[]
()()260102132222222=⨯⨯===t EY t EX EV t Y t X V E t EZ
所以()()()260026022=-=-=t Z E t EZ t DZ
()()()[]()()()()[]ττττ++=+=+t Y t VX t Y t VX E t Z t Z E t t R Z ,
()()()()[]
()()[]()()[]ττττ++=++=t Y t Y E t X t X E EV t Y t Y t X t X V E 22
()()()()
2
30229cos 26ττ
τωττ--+==e e
R R EV Y X
P103习题15 设()t X 是雷达发射的信号 ，遇到目标后的回波信号是()11,1,τατα<<-t X 是信号返回时间，回波信号必然伴有噪声，记为N(t)，于是接受机收到的全信号为
()()()t N t aX t Y +-=1τ 假定()t X 和()t N 平稳相关。

（1） 试求互相关函数()τXY R ；
（2）若()t N 的数学期望为零，且与()t X 相互独立，求()τXY R 。

解 （1）()()()t N t aX t Y +-=1τ
()()()[]()()()()[]t N t aX t X E t Y t X E R XY +-+=+=1ττττ ()()[]()()[]()()ττττττXN X R aR t N t X E t X t aX E +-=++-+=11
（2）()0=t EN ，且与()t X 相互独立
()()()[]()()()()[]t N t aX t X E t Y t X E R XY +-+=+=1ττττ
()()[]()()[]()()()ττττττ++-=++-+=t EN t EX aR t N t X E t X t aX E X 11 ()()()110ττττ-=⨯+-=X X aR t EX aR
P103习题17 设(){}∞<<-∞t t X ,是独立同分布的随机过程，且()()1,0==t DX t EX 试问()t X 是否平稳过程？又()t X 是否均方连续？ 解 (){}∞<<-∞t t X ,独立同分布 ()()1,0==t DX t EX 因为()()()t X E t EX t DX 2
2
-=
所以()()()()12
2
=+==t X E t DX t EX R X τ
所以()t X 是平稳过程 取,,0∞<<-∞∈t T t
则()()()()()[](){}
022lim lim 02022
00
≠=+-=-→→t EX t X t X E t EX t X t X E t t t t
所以 由均方连续的定义可得，()t X 不均方连续。

P104习题23 （1）下列函数哪些是功率谱密度，哪些不是，为什么？
()()()2
2
21149
+++=ωωωωS ()6512422+++=ωωωωS ()3442
2
23+-+=ωωωωS ()2
242
+=-ωωω
i e S （2）对上面的正确的功率谱密度表达式计算自相关函数和均方值。

解 （1）()()()
()ωωωωω12
221149
S S ≠+-++=- 所以()ω1S 不是偶函数，所以()ω1S 不是功率谱密度
()()ωωωωω224226
51
S S =+++=- 且()ω2S 为非负实的函数，
所以()ω2S 是功率谱密度
()3
442
223+-+=ωωωωS 对分母()123422
22--=+-ωωω 所以3422+-ωω不恒大于0 即()ω3S 不恒大于0 所以()ω3S 不是功率谱密度
()2
242
+=-ωωω
i e S 因为()ω4S 不是实函数 所以()ω4S 不是功率谱密度
（2）()2
1
32651222422+-+=+++=ωωωωωωS
所以()τ
τ
τ232
213
1--
-
=
e
e R X
()()()2
213102-=
==X X R t EX t ψ
P105习题25 试说明图所示函数不可能是某个平稳的自相关函数。

解 由图知，()()()
ωωπ
ωωπ
τωτωτd e a
d e S R i a a
i a
a
X X ⎰⎰
---=
=
22
2121
()()
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+-=
⎰⎰--ωωτωωωτωπd i a d a a a a a sin cos 212222 ()
ωωτωπd a a a
cos 2122⎰--= ()()()()
ωωπ
ωωτωπd a d a R t EX a a a X ⎰⎰-=-==-02
22221cos 210 π
ωωπ320313
32a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
P105习题26 已知下列平稳过程()t X 的自相关函数，试分别求()t X 的功率谱密度。

（1）()τωττ
0cos a X e
R -=，其中a 〉0；
（2）()⎪⎩
⎪⎨⎧<<=其它 0,T -
, -1 X T T
R ττ
τ （3）()πτπτττ
3cos cos 4+=-e
R X ；
解 （1）()2
cos 000τ
ωτωτ
τ
τωτi i a a X e e e
e
R ---+==
因为F []2
2
2a
a e
a +=-ωτ
所以()=ωX S F ()[]()
()
2
2
02
2
0a
a
a
a
R X +++
+-=
ωωωωτ
（2）()⎪⎩
⎪⎨⎧<<=其它 0,T -
, -1 X T T
R ττ
τ
()=ωX S F ()[]2
2222222sin 44
2sin 2T T T T T T TSa R X ωωωωωτ⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
（3）()πτπτττ
3cos cos 4+=-e
R X
()=ωX S F ()[]=τX R F []
πτπττ3cos cos 4+-e
()()()()[]πωσπωσππωπω331111422++-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++-=
P105习题27 已知下列平稳过程()t X 的功率谱密度，试分别求()t X 的自相关函数。

（1）()⎩⎨
⎧≤=其它
0, ,1 S 0X ωωω
（2）()()⎪
⎩⎪⎨⎧≤⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=其它
0,10 ,101208 S X ωωωσω （3）()⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=其它 0, - ,-1 S 000X ωωωωω
ω
解 （1）()⎩⎨⎧≤=其它
0, ,1 S 0
X ωωω ()()ωωω02X S g =
F ()[]()ωωω
ω
ωω
ωωωωωτω0000
002sin 2
sin 220
=
==Sa g
所以()τX R = F ()[]τωπτ
ω0X 1
-sin 1
S =
（2）()()⎪
⎩⎪⎨⎧≤⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=其它
0,10 ,101208 S X ωωωσω 所以()τX R = F
()[]2
2X 1
-5sin 44
S πτ
τ
π
ω+
=
（3）()⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=其它 0, -
,-1 S 000X ωωωωω
ω
所以()τX R = F ()[]2
sin 2
S 02
2
0X 1-τ
ωτ
πωω=
P105习题28 记随机过程 ()()()∞<<-∞+=t t t t ,cos X Y 0φω 其中()t X 是平稳过程，φ为在区间[]π2,0上均匀分布的随机变量，0ω为常数，且()t X 与φ相互独立。

记()t X 的自相关函数为()τX R ，功率谱密度为()ωX S 。

试证()t Y 是平稳过程，且它的自相关函数
()()τωττ0cos 2
1
X Y R R =
证明 ()()()∞<<-∞+=t t t t ,cos X Y 0φω
()()()[]()()[]φωφω+=+=t E t E t t E t 00cos X cos X EY
()()
021
cos X 020=+=⎰ϕπ
φωπ
d t t E ()()()[]()()()()()[]φτωτφωτττ++++=+=+t t X t t E t Y t Y E t R Y 00cos cos X , ()()()()()[]φτωφωτ++++=t t t X t E 00cos cos X
()()()()
ϕπ
φτωφωτπ
d t t R X 21
cos cos 2000⎰+++= ()()()()τωττωτ00cos 2
1
cos 21X X R R ==
P106习题29 如图2-17的系统中，若输入为平稳过程，输出为()()()T t X t Y t Y -+=，求证()t Y 的功率谱密度为()()()T S X Y cos 12S +=ωω。

证明 ()()()T t X t Y t Y -+=
()()()[]()()()()()()[]T t X t T t X t E t Y t Y E R Y -+++-+=+=ττττX X
()()[]()()[]()()[]()()()[]T t X T t X t T t X T t X t t t E -+-+-+-+++=ττττX X X X ()()()()()()()t R t R R R t R t R R X X X X X X X ++-++=+++-+=τττττττ2
所以()=ωY S
F ()[]()()()()()T S e S e S S R X T i X T i X X Y ωωωωωτωωcos 122+=++=-
P107习题33 设()t X 和()t Y 是两个不相关的平稳过程，数学期望X m 和Y m 都不为0，定义
()()()t Y t X t Z += 试求互谱密度()()ωωXZ XY S S 和。

解 ()t X 和()t Y 是两个不相关的平稳过程
所以()()()[]()()Y X m m t EY t EX t Y t X E R =+=+=τττX Y 所以()=ωXY S
F ()[]=τXY R ()()ωσπωπσY X Y X m m m m 22=
又因为()()()t Y t X t Z +=
()()()()()[]()()[]()()[]τττττ+++=+++=t Y t X E t X t X E t Y t X t X E R X Z ()()ττXY X R R +=
所以()ωXZ R = F ()[]()()ωσπωτY X X Y m m S R 2+=。