十字相乘法(因式分解)专题讲解及练习

因式分解方法：:十字相乘法
知识点一、对于二次项系数为1的二次三项式
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
知识点二、对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
一、二次项系数为1二次三项式的十字相乘
例1.分解因式：652++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，
即2+3=5。

解：652++x x =32)32(2⨯+++x x
=)3)(2(++x x
例2.分解因式：672
+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x
=)6)(1(--x x
))(()(2
b x a x ab x b a x ++=+++
练习
分解因式
(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542
-+x x
(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x
二、二次项系数不为1的二次三项式的十字相乘
例1.分解因式：101132+-x x
解：101132+-x x =)53)(2(--x x
练习
分解因式：
（1）6752-+x x （2）2732
+-x x
（3）317102+-x x （4）101162++-y y
三．多字母的二次多项式
例1.分解因式：2
21288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+
练习
分解因式
(1)2
223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --
例2.22672y xy x +- 例3.232
2+-xy y x 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy
练习
分解因式：
（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a
综合小练 （1）17836--x x
（2）22151112y xy x --
（3）10)(3)(2-+-+y x y x
（4）344)(2+--+b a b a
（5）222265x y x y x --
（6）2634422++-+-n m n mn m
（7）3424422---++y x y xy x
（8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++
（9）10
364422-++--y y x xy x
（10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++
十字相乘法分解因式综合练习
一．把下列各式分解因式
⑴256x x ++ ⑵ 256x x -+ ⑶2
56x x +-
⑷256x x --
⑸2710a a -+ ⑹2820b b +-
⑺22215a b ab --
⑻422318a b a b --
二．把下列各式分解因式
⑴2243a ab b -+
⑵22310x xy y --
⑶22710a ab b -+
⑷22820x xy y +-
⑸22215x xy y --
⑹2256x xy y +-
⑺22421x xy y +-
⑻22712x xy y ++
三．把下列各式分解因式
⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2
()5()6x y x y +-+-
⑶2()8()20x y x y +++- ⑷2()3()28x y x y +-+-
⑸2()9()14x y x y +-++
⑹2()5()4x y x y ++++
⑺2()6()16x y x y +++-
⑻2()7()30x y x y +++-
四．把下列各式分解因式
⑴222(3)2(3)8
x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----
⑶32231848x x y xy --
⑷222(5)2(5)24x x x x +-+-
⑸22(2)(27)8x x x x ++--
⑹4254x x -+
⑺ 223310x y xy y --
⑻2234710a b ab b -+。