人教新课标高中数学B版必修1《3.2.3 指数函数与对数函数的关系》教学设计

《3.2.3 指数函数与对数函数的关系》教学设计 教学目标
知识与技能
1、能从数形两方面考虑指数函数与对数函数的关系；并根据指数函数x a y =到对数函数x
loga y =的变化过程讨论反函数的定义；分析互为反函数的两个函数的特点；观察x 2y =与x 2log y =，比较这两个函数增长的差异。

2、从观察图象到引出概念，培养学生观察、分析、探究问题的能力；数学结合思想的运用能力，提高学生由特殊到一般的归纳概括能力。

过程与方法 数形结合
情感态度价值观
引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美。

重点 指数函数与对数函数的关系
难点 反函数概念的理解
情境设置
利用生活实际引入新课：
我们生活在对称美的世界中，对称美无所不在，无处不有。

洁白的雪花，彩色的蝴蝶，雄伟的建筑。

大家想一想哪两个函数也有这样的对称美呢？那以a 为底的指数函数和以a 为底的对数函数又有怎样的对称美呢？让我们展开今天的学习，指数函数与对数函数之间的关系。

知识新授
一、指数函数与对数函数的关系
根据指数函数与对数函数的图象归纳并总结图象关系：
我们在初中就已经学习了画函数图象的三个步骤，请你填写表格，并在同一个直角坐标系中画出x 2y =与x
2
log y =的图象比较两个表格说明数据的联系，这两条曲线又有怎样的对称关系？快速画出x 21y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=与x
2
1
log y =的图象，他们也具有这样的对称关系吗？其他的指对函数呢？我们来通过几何画板演示一下。

请通过这些特殊的例子得到一般性的结论。

由特殊到一般归纳并总结是我们解决问题的重要途径，但数学是一门严谨的学科，仅靠两个特例，仅靠观察还是不够的，那指数函数与对数函数之间为什么会有这种对称关系呢？
根据对数函数的形成过程找寻指数函数与对数函数的图象的形成原因
x a y =-------------y loga x =---------------x loga y =
指数式 互化 对数式 x ，y 互换
问：哪一步使得x a y =与x
loga y =的图象关于直线x y =对称呢？第一步有没有引起图象的变化？第二步有没有引起图象的变化？
大家从数形两方面明确了x a y =与x
loga y =的图象是关于直线x y =对称的，由形的发现转为数的分析是数形结合思想的重要体现。

学以致用
1、x
loga x f =）（过（2，1），）（x g 与）（x f 关于y=x 对称，求）（x g 2、x
2x f =）（与）（x g 关于y=x 对称，）（a g +）（b g =4，求ab 其实指数函数与对数函数之间的关系并不是它们所特有的，大量的函数之间也具有这种关系，我们称它们互为反函数。

二、反函数
根据指数函数x a y =到对数函数x
loga y =的变化过程讨论反函数定义 请大家根据指数函数x a y =到对数函数x
loga y =的变化过程讨论反函数的定义是什么？ 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。

我们将f （x ）的反函数记为）（x f 1
- 互为反函数的两个函数的特点
大家想一想一个函数的反函数是不是函数？为什么要强调原函数是一一映射的呢？是不是所有的函数都有反函数？互为反函数的两个函数定义域和值域有怎样的关系？互为反函数的两个函数图象又有怎样的特点？
步步深入
1、，）（b 2x f x +=其反函数）（x f y 1
-= 的图象过（5，2），求）（x f 2、k a
x f x -=）（的图象过（1，3），其反函数）（x f y 1-= 的图象过（2，0）求）（x f 3、）（）（0x 12x f x ≥+=，求）（x f 的定义域
4、）（x f y =反函数）（x f 1-如图所示，则0x f =）（在【2，4】上的根是多少？ -
三、增长差异
我们已经知道了x 2y =与x
2
log y =的关系，现在让我们来比较这两个函数增长的差异。

可以利用几何画板或者教科书的封皮
思考题
1、方程x 2+x-3=0的根为a ，方程x
2
log +x-3=0的根为b ，求a+b 2、a 为底的指数函数和以a 为底的对数函数有几个交点？（0、1、2、3）四种情况。

用几何画板演示。

总结反思
指数函数与对数函数的关系，反函数定义和图象特征，指数函数与对数函数增长差异
作业设计练习册。