人教版八年级上册数学第13章 轴对称 含30°角的直角三角形的性质

C
5．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过 点E作EF⊥DE，交Bห้องสมุดไป่ตู้的延长线于点F.若CD＝2，则DF的长为( )
A．1B．2C．3D．4
D
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于
点E，垂足为D.若BE＝6cm，则AC等于( )
【点拨】由题意知∠BAD＝30°，∠BCD＝∠BDC＝∠CBD＝60°，∠ABD＝90°，
∴△BCD为等边三角形，BD＝ AD.
∵BC＝20 n mile，
1
∴CD＝BD＝20 n mile.
2
∴AD＝40 n mile.
又∵CD＝20 n mile，
∴AC＝20 n mile.
∴轮船从 A 处到 C 处所用的时间为2100＝2(h)，从 A 处到 D 处所 用的时间为4100＝4(h)． ∴轮船到达 C 处的时间为 13 时 30 分，到达 D 处的时间为 15 时 30 分．
(1)若AD＝2，求AF的长．
解：由题意知 AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°. ∴BD＝AB－AD＝8－2＝6. ∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°－60°＝30°. ∴BE＝12BD＝3. ∴EC＝8－3＝5. ∵EF⊥AC，∴∠FEC＝90°－60°＝30°. ∴FC＝5×12＝52. ∴AF＝8－52＝121.
∠BED＝∠CFD， ∴∠△BBE＝D≌∠△CC，FD(AAS)． ∴BDDE＝＝DCF.D，
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形． ∴∠B＝60°. ∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°. ∴BE＝ BD. ∵BE＝1，∴BD＝2.
A．10m B．15m C．25m D．30m
B
*12.如图，某轮船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向，该轮 船以10nmile/h的速度向东航行到C处，在C处观测到海岛B在北偏东30°方 向，继续向东航行到D处，在D处观测到海岛B在北偏西30°方向，当轮船 到达C处时恰与海岛B相距20nmile.则轮船到达C处的时间为____________， 到达D处的时间为_________________．
【答案】13时30分；15时30分
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证DE＝DF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BED和△CFD中，
∴∠CAD＝∠ABE. ∵∠CAD＋∠BAP＝∠BAC＝60°， ∴∠ABE＋∠BAP＝60°. ∴∠BPQ＝60°. ∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°. ∴∠PBQ＝90°－∠BPQ＝30°. ∴BP＝2PQ.
15．如图，等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于 点E，过点E作EF⊥AC于点F.
1 ∴BC＝2BD＝4. 2 ∴△ABC的周长为12.
14．如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q. 求证BP＝2PQ.
证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB，∠C＝∠BAC＝60°. 在△ACD和△BAE中，
∴A△CAC＝D≌BA△，BAE(SAS)． ∠C＝∠BAE， CD＝AE，
答案显示
1．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
______________． 斜边的一半
*2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，∠A＝30°，则AD
与BD之间的数量关系为__________．
AD＝3BD
【点拨】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC，∠B＝60°. ∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°. ∴∠BCD＝30°. ∴BC＝2BD.
A．6cm
B．5cm
C．4cm
D
D．3cm
7．(中考·河池)已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC 于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长 是( )
A．3B．4C．8D．9 C
8．(2019·海南)如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在 DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( )
(2)当AD取何值时，DE＝EF?
解：当 DE＝EF 时，易证△BDE≌△CEF， ∴BE＝CF，BD＝CE. ∵CF＝12CE，∴BE＝12CE. 又∵BE＋CE＝8，∴CE＝136. ∴BD＝136. ∴AD＝83. 即当 AD＝83时，DE＝EF.
16．如图，△ABC是边长为9的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运 动(与点A，C不重合)；H是CB延长线上一动点，与点P同时以相同速度由 点B沿CB延长线方向运动(点H不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连 接PH交AB于点D.
(1)当∠BHD＝30°时，求AP的长．
【思路点拨】用含30°角的直角三角形的性质求解；
解：当∠BHD＝30°时，易证HB＝DB＝AP. 设AP＝x，易知AD＝2x， ∴x＋2x＝9， 解得x＝3，即AP＝3.
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果 发生变化，请说明理由．
【思路点拨】构造全等三角形求解． 解：不发生变化． 过点H作HF⊥AB，交AB的延长线于点F. 易证△HFB≌△PEA，△DEP≌△DFH， ∴BF＝EA，DE＝DF. ∴DE＋DF＝AB. ∴DE＝DF＝ AB＝ .
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人教版八年级上
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形 第4课时 含30°角的直角三角形的性
质
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1 斜边的一半 2 AD＝3BD 3C 4C 5D
6D 7C 8C 9 直角 10 A
答案显示
11 B 12 13时30分；15时30分 13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题
∴BD＝14AB. ∴AD＝34AB. ∴AD＝3BD.
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC，若
BE＝1，则AC的长为( )
A．2B．3C．4D．6
C
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，
则BC的长为( )
A．8B．4C．12D．6
A．12 B．15 C．18 D．21
C
9．实际中有关测量的应用问题，常常要建立直角三角形模型，用________三角 形的性质解决． 直角
10．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB＝8m，∠A＝
30°，则立柱BC的长度为( )
A．4m B．8m
A
C．10m D．16m
11．如图，一次强台风中，一棵大树在离地面5m处折断倒下，倒下部分与地面 成30°角，这棵大树在折断前的高度为( )