浙教版七年级数学下册二元一次方程组的应用(无答案)

第四讲 二元一次方程组的应用
思维导图
重难点分析
重点分析：
列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤与列一元一次方程解决实际问题的方法和步骤一致，一般经历“审→找→设→列→解→验→答”七个环节.列方程组解应用题需要多找一些等量关系，列出两个或两个以上的方程.
难点分析：
在运用二元一次方程组解决实际问题时，理解问题、分析数量关系、找出题中隐含的等量关系是一个难点.
例题精析
例1、课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？如果假设鸡有x 只，兔有y 只，请列出关于x ，y 的二元一次方程组： .
思路点拨：本题中涉及的生活常识：一只鸡有一个头，两只脚；一只兔有一个头，四只脚.本题中的等量关系为①鸡的只数+兔的只数=35；②2×鸡的只数+4×兔的只数=94.
解题过程：根据鸡的只数+兔的只数=35，得方程x+y=35；根据2×鸡的只数+4×兔的只数=94，得方程2x+4y=94.即⎩⎨⎧=+=+94.
4y 2x ,35y x
方法归纳：本题考查生活常识在数学中的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键. 易错误区：鸡和兔的头、足数量关系不要搞错.
例2、如图1，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等.
（1）求x ，y 的值；
（2）在图2中完成此方阵图.
图1 图2
思路点拨：（1）要求x ，y 的值，根据方阵图中的数据，即可找到只含有x ，y 的行或列，列出方程组即可；（2）根据（1）中求得的x ，y 的值和每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等即可完成方阵图的填写.
解题过程：（1）由题意得⎩⎨⎧++=+++=++,x 43x -2y 2-3,x -2y y x x 43解得⎩⎨⎧==2.
y ,-1x
（2）如图：
方法归纳：本题的等量关系比较简单，直接根据题意即可得到方程组.
易错误区：列方程时注意未知数是x ，y ，因此要能够列出关于x ，y 的方程组，即列出的方程不能含a ，b ，c.
例3、在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S （次/分）与这个人的年龄n （岁）满足关系式：S=an+b ，其中a ，b 均为常数.
（1）根据下面的对话，求a ，b 的值；
甲：根据医学上的科学研究表明，人在运动时，心跳的快慢通常和年龄相关.
乙：在正常情况下，年龄15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和144次/分.
（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？
思路点拨：（1）首先根据题意列出S 关于n 的关系式，将n=15,S=164,n=45,S=144两对值代入关系式，即可求得a ，b 的值；（2）根据（1）中的关系式求得63岁老人的正常心跳值，与测得1分钟的心跳数比较大小.
解题过程：（1）S 关于n 的关系式为S=an+b ，
根据题意得⎩⎨⎧=+=+144,b 45a 164,b 15a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.
174b ,32-a
∴a 的值为-3
2，b 的值为174. （2）由（1）知S ＝-3
2n+174. 当n=63时，S=-3
2×63+174=132， 即他能承受的最高次数是每分钟132次.
现在他每分钟的心跳次数为26×6=156（次）.
显然，156＞132，故他有危险.
方法归纳：本题考查二元一次方程组的应用，通过待定系数法求得S 关于n 的关系式是解答本题的关键.
易错误区：关系式S=an+b 中,a ，b 为常数，这里的常数是未知的，即待定系数，字母较多，要分清常量与变量.
例4、温州苍南马站四季柚，声名远播，今年又是一个丰收年.
某经销商为了打开销路，对1000个四季柚进行打包优惠出售.
打包方式及售价如图所示.假设用这两种打包方式恰好装完全
部柚子.
（1）若销售a 箱纸盒装和a 袋编织袋装四季柚的收入共950
元，求a 的值；
（2）当销售总收入为7280元时.
①若这批四季柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？ ②若该经销商留下b （b ＞0）箱纸盒装送人，其余柚子全部售出，求b 的值.
思路点拨：（1）根据收入共为950元，可得出一元一次方程，解出即可；（2）①纸盒装共包装了x 箱，编织袋装共包装了y 袋，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②根据①的关系可以用y 表示出x ，减去留下的b 箱纸盒装，再由销售总收入为7280元，可得出方程，解出即
可.
解题过程：（1）由题意得64a+126a=950，解得a=5.
∴a 的值为5.
（2）①设纸盒装共包装了x 箱，编织袋装共包装了y 袋.
由题意得⎩⎨⎧=+=+7280,126y 64x 1000,18y 8x 解得⎩⎨⎧==40.
y 35,x
∴纸盒装共包装了35箱，编织袋共包装了40袋. ②由8x+18y=1000，可得x=
8181000y -=125-49y ， 由题意，得64×)49125(b y --+126y=7280，解得y=40-9
32b . ∵x，y ，b 都是整数，且x≥0，y≥0，b ＞0，
∴b=9，x=107，y=8.∴b 的值为9.
方法归纳：本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，确定问题中的等量关系，列出方程或方程组求解.
易错误区：第（2）题的②是用二元一次方程的整数解解决问题，所以只能列出一个二元一次方程而不是方程组.
例5、有三把扶梯，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的.每把扶梯的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作连结点（如点A ）.
（1）通过计算，补充填写下表：
（2）一把扶梯的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个结点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其他因素忽略不计）.现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本.
思路点拨：（1）根据已知图示可以分别求出七步梯、九步梯的扶杆长、横档总长、连结点个数；横档总长等于横档的平均长度与步数的积；（2）设扶杆单价为x 元/m ，横档单价为y 元/m.根据扶梯的成本可以列出方程组，解方程组即可求得九步梯的成本.
解题过程：（1）七步梯、九步梯的扶杆长分别是5m,6m ； 横档总长分别是21×（0.4+0.6）×7=3.5（m ）, 2
1×（0.5+0.7）×9=5.4（m ）； 连结点个数分别是14个、18个.
（2）设扶杆单价为x 元/m ，横档单价为y 元/m.
依题意得⎩
⎨⎧=⨯++=⨯++,361413.5y 5x ,261012y 4x 即⎩⎨⎧=+=+,223.5y 5x ,8y 2x 解得⎩⎨⎧==2.y ,3x 故一把九步梯的成本为6×3+5.4×2+1×18=46.8（元）.
方法归纳：解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来.
易错误区：本题横档总长的计算是个难点，容易算错，可先通过最短与最长横档的长度算出平均长度，再乘以步数即可.
探究提升
例、有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天生长的量相等），若放牧24头牛，则6天吃完牧草；若放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
思路点拨：首先设牧场原有草量为a ，每天生长的草量为b ，每头牛每天吃草量为c ，16头牛x 天吃完草.（1）根据原草量+每天生长的草量×放牧的天数=每头牛每天吃草量×放牧的牛头数×天数，列出方程组，可解得x 的值；（2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y 头牛.要使牧草永远吃不完，则有每头牛每天吃草量×放牧的牛头数≤每天生长的草量，解得结果即为所求.
解题过程：设牧场原有草量为a ，每天生长的草量为b ，每头牛每天吃草量为c ，16头牛x 天吃完草.
（1）由题意得
由②-①得b=12c④.
由③-②得（x-8）b=（16x-168）c⑤.
将④代入⑤得（x-8）×12c=（16x-168）c,解得x=18.
∴如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草.
（2）设至多放牧y 头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y≤c
b =12.∴要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛. 方法归纳：本题考查三元一次方程组的应用.有些应用题，它所涉及的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些未知数辅助建立方程，辅助未知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”.
易错误区：本题未知数的个数多于方程个数，其中a ，b ，c 不用求出，只要得到它们之间的关系即可.
走进重高
1.【茂名】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，则可列方程组为（ ）.
A.⎩⎨⎧=+=+1003y 3x 100,y x
B.⎩⎨⎧=+=+1003y x 100,y x
C.⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+100y 313x 100,y x D.⎩⎨⎧=+=+100y 3x 100,y x 2.【滨州】某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套.
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个.
高分夺冠
1.在抗洪抢险中，江堤边某洼地发生管涌，江水已涌进了x(m3)，并且还以y(m3/min)的速度不停地进水，现在要进行抽水堵涌工程.若用1台抽水机工作，需30min才能将水抽完，投入施工.若用2台抽水机同时工作，需10min即可将水抽完，投入施工.因形势紧急，指挥部要求5min内将水抽完立即投入施工，则至少需要组织多少台抽水机同时工作？［（假设每台抽水机的抽水量均为z(m3/min）］
2.［涵涵游园记］
涵涵早晨到达上海世博园D区入口处等待开园，9时整开园，D区入口处有10n条安全检查通道让游客通过安检入园，游客每分钟按相同的人数源源不断地到达这里等待入园，直到中午12时D区入口处才没有排队人群，游客一到就可安检入园.9时12分涵涵通过安检进入上海世博园时，发现平均一个人通过安全检查通道入园耗时20秒.
［排队的思考］
（1）若涵涵在9时整排在第3000位，则这时D区入口安检通道可能有多少条？
（2）若9时开园时等待在D区入口处的人数不变：当安检通道是现有的1.2倍且每分钟到达D区入口处的游客人数不变时，从中午11时开始游客一到D区入口处就可安检入园；当每分钟到达D区入口处的游客人数增加了50%，仍要求从12时开始游客一到D区入口处就可安检入园，求这时需要增加安检通道的数量.。