2019年福建省泉州市晋江市中考数学一模试卷(解析版)

2019年福建省泉州市晋江市中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
1．2﹣1等于（）
A．2B．﹣2C．D．﹣
2．用科学记数法表示196000000，其结果是（）
A．0.196×1010B．19.6×107C．1.96×10﹣8D．1.96×108
3．如图在数轴上表示的解集是（）
A．﹣3＜x＜2B．﹣3≤x＜2C．﹣3≤x≤2D．﹣3＜x≤2
4．如图是梭长都相等的三棱柱横放在水平面上，则其主视图正确的是（）
A．B．C．D．
5．正八边形的每一个外角都等于（）
A．60°B．45°C．36°D．18°
6．若⊙O的圆心O到直线l的距离d小于半径r，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交
7．如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
8．现有一组数据3、4、5、5、6、6、6、6、7，若去掉其中一个数6，则不受影响的是（）
A．众数B．中位数
C．平均数D．众数和中位数
9．若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（）A．（x+3）（x﹣5）B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5）D．2（x﹣3）（x+5）
10．如图，曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，过点P作直线PQ⊥l于点Q，且直线l的解析式是y＝x，则△POQ的面积等于（）
A．B．C．D．5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．计算|﹣3|﹣（﹣2）＝．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝20°，则∠ADE的度数是．
13．机器人沿着坡度为1：7的斜坡向上走了5米，则机器人在竖直方向上升的高度为米．
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过腰AB上的点E作EF∥AD交另一腰CD于点F，若且DF＝3．则CD＝．
15．方程组的解满足x+y＞﹣2，则m的取值范围是．
16．如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt △AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是．
三、解答题：本题共9小题，共86分
17．（8分）先化简，再求值：•（1﹣），其中a＝+1．
18．（8分）在学校文化艺术节中，围棋比赛进行了单循环赛，若每两个学生之间都只比赛一场，共比赛了45场，求参加围棋比赛的学生人数．
19．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E．
（1）求作：线段CF，使得CF⊥BD于点F（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法和证明，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：AE＝CF．
20．（8分）在一个不透明的布袋中装入3个球，其中有2个红球，1个白球，它们除了颜色外其余都相同．
（1）如果先摸出1个球，记下颜色后，不放回，再摸出1个球求两次摸出球的颜色恰好相同的概率（请用树状图或列表法说明）；
（2）若把n个白球放入原来装有3个球的布袋中，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．
21．（8分）在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BD于点O，AC＝CB，，求sin∠DBC的值．
22．（10分）在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树C与人（A处）相距不知多远，立四根标杆A、B、G、E，前后左右的距离各为1丈（即四边形ABGE是正方形，且AB＝100寸），使左两标杆A、E与所观察的树C三点成一直线．又从后右方的标杆B观察树C，测得其“入前右表”3寸（即FG＝3寸），问树C与人所在的A 处的距离有多远？
23．（10分）如图，直线y1＝2x+1与双曲线y2＝相交于A（﹣2，a）和B两点．（1）求k的值；
（2）在点B上方的直线y＝m与直线AB相交于点M，与双曲线y2＝相交于点N，若MN＝，
求m的值；如图，直线y1＝2x+1与双曲线y2＝相交于A（﹣2，a）和B两点；
（3）在（2）前提下，请结合图象，求不等式2x＜﹣1＜m﹣1的解集．
24．（13分）如图1，在⊙O中，圆心O关于弦AB的对称点C恰好在⊙O上，连接AC、BC、BO、
AO．
（1）求证：四边形AOBC是菱形；
（2）如图2，若点Q是优弧（不含端点A、B）上任意一点，连接CQ交AB于点P，⊙O的
半径为2．
试探究
①线段CP与CQ的积CP•CQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求CP•PQ的取值范围．
25．（13分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角板ABC的底边AB上的中线EC放置于x
轴的正半轴上滑动，OE＝t，AC＝2，经过O、E两点作抛物线y1＝ax（x﹣1）（a为常数，a ＞0），抛物线与直角边AC交于点M，直线OA的解析式为y2＝kx（k为常数，k＞0）．
（1）求tan∠AOE的值；（用含t的代数式表示）
（2）当三角板移动到某处时，此时a＝，且线段OM经过△AOC的重心，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+2时，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+2时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．
2019年福建省泉州市晋江市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
1．【分析】根据a，可得答案．
【解答】解：2，
故选：C．
【点评】本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数．
2．【分析】在用a×10n来表示较大的数的时候，n的值等于原来的数的整数位数减1，或者是小数点发生位移的位数．196000000共9位整数，所以n应该是8．
【解答】解：196000000＝1.96×100000000＝1.96×108
故选：D．
【点评】本题考查的是表示较大的数的科学记数法，把握a×10n中a、n的意义与表示方法是重点．
3．【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【解答】解：由图可得，x≥﹣3且x＜2，
∴在数轴上表示的解集是﹣3≤x＜2，
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的解集在数轴上的表示方法是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大无处找．
4．【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个三角形．
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意能看到的线用实线画，看不到的线用虚线画．
5．【分析】根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数．【解答】解：∵多边形的外角和为360度，
∴每个外角度数为：360°÷8＝45°，
故选：B．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
6．【分析】根据圆O 的半径和圆心O 到直线l 的距离的大小，相交：d ＜r ；相切：d ＝r ；相离：d ＞r ；即可选出答案．
【解答】解：⊙O 的圆心O 到直线l 的距离d 小于半径r ，
∴直线L 与⊙O 的位置关系是相交．
故选：C ．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
7．【分析】根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．
【解答】解：∵△MNP ≌△MEQ ，
∴点Q 应是图中的D 点，如图，
故选：D ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
8．【分析】根据众数、平均数和中位数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A 、这组数据3、4、5、5、6、6、6、6、7的众数是6，若去掉其中一个数6时，众数还是6，故本选项正确；
B 、原数据的中位数是6，若去掉其中一个数6时，中位数是
＝5.5，故本选项错误；
C 、原数据的平均数是
＝，若去掉其中一个数6时，平均数是
＝，故本选项错误； D 、众数不变，中位数发生改变，故本选项错误；
故选：A ．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、平均数和众数的能力．一些学生往往
对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
9．【分析】先提取公因式2，再根据已知分解即可．
【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，
∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）
＝2（x+3）（x﹣5），
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能够根据方程的解分解因式是解此题的关键．
10．【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，则PQ⊥y轴，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
【解答】解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y 轴重合．
双曲线C3，的解析式为y＝﹣，
∵PQ⊥l于点Q，
∴PQ⊥y轴．
＝×5＝
由反比例函数比例系数k的性质可知，S
△POQ
故选：B．
【点评】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．【分析】根据绝对值的性质，有理数减法，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：|﹣3|﹣（﹣2），
＝3+2，
＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
12．【分析】首先根据题意，可得：∠CED＝∠B，然后根据三角形的内角和定理，求出∠B的度数，即可求出∠ADE的度数是多少．
【解答】解：∵将△ABC沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，
∴∠CED＝∠B，
∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∴∠CED＝70°，
∵∠CED＝∠ADE+∠A，
∴∠ADE＝70°﹣20°＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
13．【分析】设机器人在竖直方向上升的高度为x米，根据坡度的概念用x表示出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：设机器人在竖直方向上升的高度为x米，
∵坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得，x2+（7x）2＝（5）2，
解得，x＝1，
∴机器人在竖直方向上升的高度为1米，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．【分析】根据梯形的性质和平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴AD∥EF∥BC，
∴，
即，
解得：FC＝6，
∴CD＝DF+FC＝3+6＝9，
故答案为：9
【点评】此题考查梯形的性质，关键是根据梯形的性质和平行线分线段成比例解答．
15．【分析】方程组中的两个方程相加求出x+y＝，根据方程组的解满足x+y＞﹣2得出不等式＞﹣2，求出不等式的解集即可．
【解答】解：
①+②得：3x+3y＝m+2，
x+y＝，
∵方程组的解满足x+y＞﹣2，
∴＞﹣2，
解得：m＞﹣8，
故答案为：m＞﹣8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式，能得出关于m的一元一次不等式是解此题的关键．
16．【分析】设AE＝x，PE＝y，则PF＝8﹣x，BF＝6﹣y，通过角的关系得到PE∥BF，由平行得
到△PEA∽△BFP；由相似得到x与y的关系，在Rt△FEP中，FE2＝FP2+EP2，得到FE2＝（
x）2+x2﹣16x+64＝x2﹣16x+64＝（x﹣）2+，结合x的取值范围，确定EF的范围．【解答】解：设AE＝x，PE＝y，则PF＝8﹣x，BF＝6﹣y，
∵∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，
∴PE∥BF，
∴△PEA∽△BFP，
∴＝，
∴4y＝3x，
在Rt△FEP中，FE2＝FP2+EP2，
∴FE2＝y2+（8﹣x）2，
∴FE2＝（x）2+x2﹣16x+64＝x2﹣16x+64＝（x﹣）2+，
∵0＜x＜8，
∴当x＝时，FE有最小值，
当x＝0时，EF有最大值8，
∴≤EF＜8．
故答案为≤EF＜8．
【点评】本题考查二次函数最值，三角形相似，勾股定理，平行线的判定，是综合性很强的一道题；能够通过平行得到三角形相似，能够通过相似得到边的关系，利用勾股定理得到二次函数的解析式，再由二次函数的值的范围求解，因此熟练掌握相似、平行、二次函数最值的求法是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分
17．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•
＝，
当a＝+1时，
原式＝＝1+．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．【分析】设参加围棋比赛的学生人数为x人，每两个学生之间都只比赛一场，共可以比赛x（x
﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．
【解答】解：设参加围棋比赛的学生人数为x人，依题意得：
x（x﹣1）＝45
整理，得x2﹣x﹣90＝0
解得x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：参加围棋比赛的学生人数是10人．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，主要关键是从实际问题中抽象出相等关系，列出方程并解答．
19．【分析】（1）利用基本作图，过点C作BD的垂线，垂足为F即可；
（2）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则∠ABC＝∠CDB，然后证明△ABE≌△CDF，从而得到AE＝CF．
【解答】（1）解：如图，CF为所作；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵∠ABC＝∠CDB，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝90°，∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
20．【分析】（1）根据题意画出树状图，求出两次摸出的球颜色恰好不同的情况数和总的情况数，再求出他们的商即可；
（2）先分别求出将n个白球放入袋后白球的个数和总的球数，再根据摸出一个球是白球的概率
是，列出关于n的方程，再解方程即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中两次摸出球的颜色恰好相同的有2种结果，
所以两次摸出球的颜色恰好相同的概率为＝；
（2）根据题意，得：
＝， 解得n ＝5，
经检验：n ＝5是原分式方程的解，
∴n 的值为5．
【点评】此题考查了画树状图求概率，用到的知识点是概率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据概率公式列出关于n 的方程．
21．【分析】由CD ∥AB 可得出△OCD ∽△OAB ，利用相似三角形的性质可得出
的值，进而可得
出的值，结合AC ＝CB 可得出的值，由AC ⊥BD 结合正弦的定义可求出sin ∠DBC 的值．
【解答】解：∵CD ∥AB ，
∴△OCD ∽△OAB ，
∴
＝＝，
∴＝＝．
∵AC ＝CB ，
∴＝．
∵AC ⊥BD ，
∴∠COB ＝90°．
在Rt △COB 中，sin ∠DBC ＝sin ∠OBC ＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，利用相似三角形的性质结合AC
＝CB，求出的值是解题的关键．
22．【分析】通过相似三角形△BAC∽△FGB的对应边成比例得到：＝．由此求得AC的长度．
【解答】解：∵四边形ABGE是正方形，
∴∠A＝∠G＝90°，AE∥BG，
∴∠ACB＝∠GBF．
∴△BAC∽△FGB．
∴＝．
又AB＝BG＝100寸，FG＝3寸．
∴＝．
解得AC＝．
答：树C与人所在的A处的距离为寸．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
23．【分析】（1）把点A（﹣2，a）代入y1＝2x+1与y2＝，即可得到结论；
（2）根据已知条件得到M（，m），N（，m），根据MN＝列方程即可得到结论；
（3）求得N的坐标，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，a）在y1＝2x+1与y2＝的图象上，
∴﹣2×2+1＝a，
∴a＝﹣3，
∴A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6；
（3）∵M在直线AB上，
∴M（，m），
∵N在反比例函数y＝的图象上，∴N（，m），
∴MN＝x N﹣x M＝﹣＝，
整理得，m2﹣4m﹣12＝0，
解得m1＝6，m2＝﹣2，
经检验，它们都是方程的根，
由得或，∴B（，4），
∵M在点B上方，
∴m＝6．
（3）∵m＝6，
∴N的横坐标为1，
∵2x＜﹣1＜m﹣1，
∴2x+1＜＜m﹣1，即y1＜y2＜m，
由图象可知，x＜﹣2或1＜x＜．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了平行于x轴的直线上点的坐标特征，解分式方程以及数形结合的思想．
24．【分析】（1）连接OC交AB于I，根据轴对称的性质、垂径定理得到AB垂直平分OC，OC 平分AB，根据菱形的判定定理证明；
（2）①连接AC、AQ，根据菱形的性质得到AC＝OA＝2，证明△ACP∽△QCA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
②根据正弦的定义求出AB，根据相交弦定理得到CP•PQ＝AP•PB，利用配方法、非负数的性质
计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC交AB于I，
∵圆心O与点C关于弦AB对称，
∴AB垂直平分OC，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴OC平分AB，
∴四边形AOBC是菱形；
（2）解：①CP•CQ为定值12，
理由如下：连接AC、AQ，
∵四边形AOBC是菱形，
∴AC＝OA＝2，
∵CA＝CB，
∴＝，
∴∠CAB＝∠AQC，又∠ACP＝∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴＝，即CP•CQ＝AC2＝12；
②如图1，在Rt△AOI中，OI＝OC＝OA，
∴∠OAI＝30°，∴∠AOI＝60°，
∴AI＝OA•sin∠AOI＝3，
∴AB＝6，
设PA＝x，则PB＝6﹣x，
由相交弦定理得，CP•PQ＝AP•PB＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
∴当x＝3，即PA＝3时，CP•PQ有最大值9，
∴0＜CP•PQ≤9．
【点评】本题考查的是相交弦定理、菱形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质，掌握相交弦定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．【分析】（1）根据题意用待定系数法表示出A点坐标，用解直角三角形的方法直接求解即可．（2）由已知条件线段OM经过△AOC的重心，可以判定线段MF为△AEF的中位线，表示出M 点坐标，代入y1解析式求解即可．
（3）表示出y1﹣y2的表达式，由条件当t≤x≤t+2时，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+2时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大结合图象找到对应的界限值进行等量代换即可求解．
【解答】解：
（1）∵EC是等腰直角三角形ABC底边上的中线
∴EC⊥AB，即∠AEO＝90°
在等腰直角三角形AEC中，AE＝AC•sin45°＝2×＝2
在Rt△AEO中，OE＝t，tan∠AOE＝＝．
（2）如图，
过点M作MF⊥x轴于点F，即∠MFO＝90°
∵∠MFO＝∠AEO＝90°
∴AE∥MF
又∵线段OM经过△AOC的重心，
∴M为AC中点，
∴MF是△AEC的中位线．
∴MF＝AE＝×2＝1，EF＝EC＝×2＝1
∴M（t+1，1）．
又∵点M在抛物线y1＝x（x﹣t）上
∴1＝（t+1）（t+1﹣t）．
解得，t＝1．
（3）如上图，由点A（t，2），可得，y2＝x．
由得，x＝ax（x﹣t）
解得，x＝+t或x＝0．
∴点D的横坐标为，+t，当x＝+t时，|y2﹣y1|＝0．
由题意得，t+2＝+t
解得，at＝1．
∴a与t的关系式为，a＝．
又∵y2﹣y1＝x﹣ax（x﹣t）＝﹣ax2+（at+）x＝﹣a[x﹣（+）]2
∴当x＝+时，y2﹣y1最大．
又∵当x＝+t时，|y2﹣y1|最小值为0
∴当+≤x≤+t时，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小．
当x≥+t时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大．
由题意得，t≥+
且at＝1
∴t≥2．
【点评】本题考查了根据函数图象的解析式用待定系数法设点的坐标，并且结合图形表示出图形中线段的长度，依据题意解决问题的能力．。