23第四章 三角函数、解三角形 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换

＝
sin α
cos ＝
αsinα＋β－sin sin α
αcosα＋β＝sin[αs＋in βα－α]＝ssiinn
β α.
思维升华
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、 互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
思维升华
三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间 的关系；注意公式的逆用和变形使用. (2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝ a2＋b2 sin(x＋φ)，可进一步研究函数 的周期性、单调性、最值与对称性.
跟踪训练 2 (2018·北京)已知函数 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； 解 (1)f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解 由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，
得 f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2sin2x＋π6. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质， 得π2＋2kπ≤2x＋π6≤32π＋2kπ，k∈Z， 解得π6＋kπ≤x≤23π＋kπ，k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为π6＋kπ，23π＋kπ(k∈Z).
tan B＋tan C
又 tan(B＋C)＝
＝－1＝－tan A，
1－tan Btan C
即tan A＝1， 因为 0<A<π，所以 A＝π4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.函数 f(x)＝3sin
x 2cos
2x＋4cos22x(x∈R)的最大值等于
解析 由题意，可得 cos 2α＝－45，
则 tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]
tan 2α－tanα－β
＝
＝－2.
1＋tan 2αtanα－β
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.在斜三角形 ABC 中，sin A＝－ 2cos Bcos C，且 tan B·tan C＝1－ 2，则角 A
A.5
√9
B.2
5
C.2
D.2
解析
由题意知
f(x)＝32sin
1＋cos x＋4× 2
x
＝32sin x＋2cos x＋2＝52sin(x＋φ)＋2，
其中 cos φ＝35，sin φ＝45，
∵x∈R，∴f(x)max＝52＋2＝92，故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin2x－π3. 所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)讨论 f(x)在区间－π4，π4上的单调性. 解 因为 x∈－π4，π4，所以 2x－π3∈－56π，π6， 由 y＝sin x 的图象可知，当 2x－π3∈－56π，－π2， 即 x∈－π4，－1π2时，f(x)单调递减； 当 2x－π3∈－π2，π6，即 x∈－1π2，π4时，f(x)单调递增.
6.若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于
A.153
√B.－153
C.1123
D.－1132
解析 f(x)＝5cos x＋12sin x＝13153cos x＋1123sin x＝13sin(x＋α)， 其中 sin α＝153，cos α＝1132，
由题意知 θ＋α＝2kπ－π2(k∈Z)，得 θ＝2kπ－π2－α(k∈Z )，
＝
55×31010－2 5 5×－
1100＝
2 2.
所以 β＝π4.
师生共研
题型三 三角恒等变换的应用
例 3 已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x－2 3sin xcos x(x∈R). (1)求 f 23π的值； 解 由 sin 23π＝ 23，cos 23π＝－12， 得 f 23π＝ 232－－122－2 3× 23×－12＝2.
命题点 2 给值求角
例 2 (1)设 α，β 为钝角，且 sin α＝ 55，cos β＝－3 1010，则 α＋β 的值为
3π A. 4
5π B. 4
√7π
C. 4
D.54π或74π
解析 ∵α，β 为钝角，sin α＝ 55，cos β＝－31010，
∴cos α＝－25 5，sin β＝ 1100，
第四章 §4.5 简单的三角恒等变换
第2课时 简单的三角恒等变换
内容索引
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析 课时作业
1 题型分类 深度剖析
PART ONE
自主演练
题型一 三角函数式的化简
sin 2α－2cos2α 1.化简： sinα－π4 ＝ 2 2cos α .
2sin αcos α－2cos2α
26 8.
(2)已知 sin α＝ 55，sin(α－β)＝－ 1100，α，β 均为锐角，则 β＝
π 4.
解析 因为 α，β 均为锐角，所以－π2<α－β<π2.
又
sin(α－β)＝－
1100，所以
cos(α－β)＝3
10 10 .
又 sin α＝ 55，所以 cos α＝2 5 5，
所以 sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
所以当 x∈－π4，π4时，f(x)在区间－1π2，π4上单调递增，在区间－π4，－1π2上 单调递减.
2 课时作业
PART TWO
基础保分练
1.(2018·厦门质检)若 sinπ3－α＝14，则 cosπ3＋2α 等于
√A.－78
B.－14
1
7
C.4
D.8
解析 cosπ3＋2α＝cosπ－23π－2α
例 已知函数 f(x)＝4tan x·sinπ2－x·cosx－3π－ 3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期；
解
f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z
.
f(x)＝4tan xcos xcosx－3π－ 3
＝4sin xcosx－3π－
3＝4sin
x12cos
x＋
3 2 sin
x－
3
＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3
25°＝sin30°－c2o5s°2＋5°23sin
25°＝12ccooss2255°°＝12.
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3.已知 sin 2α＝35π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则 tan(α＋β)等于
√A.－2
B.－1
C.－121
2 D.11
本例(1)中，若 α，β 为锐角，sin α＝ 55，cos β＝3 1010，则 α＋β＝
π 4
.
解析 ∵α，β 为锐角，∴cos α＝25 5，sin β＝ 1100，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝25 5×3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又 0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.
解析 原式＝
＝2 2cos α.
2 2 sin
α－cos
α
2.化简：22tcaonsπ44x－－x2scions22xπ4＋＋12x＝
1 2cos 2x
.
解析
原式＝212×4cscioonssπ44π4x－－－xx4·ccooss22x＋π4－1x
2cos2x－12 ＝4sinπ4－xcosπ4－x
多维探究
题型二 三角函数的求值
命题点 1 给角求值与给值求值
例 1 (1)(2018·太原质检)[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°＝ 6 .
解析
原式＝2sin
50°＋sin
cos 10°·
10°＋ cos
3sin 10°
10°·
2sin
80°＝2sin
思维升华
(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转 化方法. (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.
跟踪训练 1 (1)已知 α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则
sinα＋π4
＝
sin 2α＋cos 2α＋1
即 sin2x－π6在区间－π3，m上的最大值为 1， 所以 2m－π6≥π2，即 m≥π3.所以 m 的最小值为π3.
思想方法
SIXIANGFANGFA
化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝ a2＋b2 sin(ωx＋φ) 型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整 体，换元后结合y＝sin x的图象解决.
＝－cos23π－2α＝－1－2sin2π3－α
＝－1－2×142＝－78.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
cos 85°＋sin 25°cos 30°
2.
cos 25°
等于
A.－
3 2
2 B. 2
√1
C.2
D.1
解析
sin 原式＝
5°＋ cos
23sin 25°
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝
2 2 >0.
又 α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈32π，2π，∴α＋β＝74π.
(2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则 2α－β 的值为 －34π .
解析
∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ＝1＋12－12×71 71＝13>0，
所以 cos θ＝cos2kπ－π2－α＝cosπ2＋α＝－sin α＝－153.
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7.若
tanα－4π＝16，则
tan
7 α＝___5___.
解析
方法一
∵tanα－4π＝t1a＋n αta－n αtatnanπ4π4＝t1a＋n αta－n α1＝61，
∴0<α<π2.
又∵tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0，∴0<2α<π2，
∴tan(2α－β)＝1t＋ ant2aαn－2αttaannββ＝1－34＋34×17 17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－34π.
引申探究
∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75 .
方法二 tan α＝tanα－π4＋4π
＝1t－antαan－απ4－＋π4ttaannπ4π4＝161＋－116＝75.
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2－ 15
8.已知 cos4α－sin4α＝23，且 α∈0，π2，则 cos2α＋π3＝
＝12－12cos
2x＋
3 2 sin
2x
＝sin2x－π6＋12， 所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)若 f(x)在区间－π3，m上的最大值为23，求 m 的最小值.
解 由(1)知，f(x)＝sin2x－π6＋12. 由题意知－3π≤x≤m， 所以－56π≤2x－π6≤2m－π6. 要使得 f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，
50°＋2sin
1 2cos 10°·
10°＋
3 2 sin
cos 10°
10°·
2cos 10°＝2 2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2 2sin(50°＋10°)＝2 2× 23＝ 6.
4－3 3 (2)(2018·聊城模拟)已知 cosθ＋π4＝ 1100，θ∈0，π2，则 sin2θ－π3＝ 10 .
＝2sicnoπs22－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
sin2α＋β 3.化简： sin α －2cos(α＋β).
sin2αwenku.baidu.comβ－2sin αcosα＋β
解 原式＝
sin α
sin[α＋α＋β]－2sin αcosα＋β
＝
sin α
sin αcosα＋β＋cos αsinα＋β－2sin αcosα＋β
的值为
√π
A.4
π B.3
π C.2
3π D. 4
解析 由题意知，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝－ 2cos Bcos C，
在等式－ 2cos Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C 两边同除以 cos Bcos C，得 tan B
＋tan C＝－ 2，