天津市部分区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

【详解】ðU A = {1, 2} ，故 (ðU A) I B = {1, 2} I{0,1, 2} = {1, 2} .
故选：C. 3．C 【分析】根据样本相关系数，回归直线方程，相关指数和残差的概念判断即可．
【详解】对于 A 选项，样本相关系数 r 来刻画成对样本数据的相关程度，当 r 越大，则成 对样本数据的线性相关程度越强，故 A 正确；
天津市部分区 2022-2023 学年高二下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设全集U = {-2, -1, 0,1, 2} ， A = {-2, -1,0} ， B = {0,1, 2} ，则 (ðU A) Ç B = （ ）
的三位数，这样的三位数共有（ ）
A．24 个
B．36 个
C．48 个
D．54 个
8．已知每门大炮击中目标的概率都是 0.5，现有 10 门大炮同时对某一目标各射击一次．
记恰好击中目标 3 次的概率为 A；若击中目标记 2 分，记 10 门大炮总得分的期望值为
B，则 A，B 的值分别为（ ）
A． 15 ，5 128
【分析】求导
f ¢(x) =
2 x
，可得斜率 k
=
f ¢(1) = 2 ，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】由
y
=
f
( x)
=
2 ln
x ，得
f
¢( x )
=
2 x
，
则曲线 y = 2 ln x 在点 (1, 0) 处的切线的斜率为 k = f ¢(1) = 2 ，
则所求切线方程为 y - 0 = 2(x -1) ，即 y = 2x - 2 . 【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率； ②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 11．-5
家专营店近五年来每年的利润额 yi （单位：万元）与时间第 ti 年进行了统计得如下数 据： ti 1 2 3 4 5
试卷第31 页，共33 页
yi 2.6 3.1 4.5 6.8 8.0 (1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系？请计算相关系数 r
并加以说明（计算结果精确到 0.01）．（若 r ³ 0.75 ，则线性相关程度很高，可用线 性回归模型拟合） (2)试用最小二乘法求出利润 y 与时间 t 的回归方程，并预测当 t = 7 时的利润额．
f
(
x)
=
ax
（
a
>
0
，且
a
¹
1
）的图象经过点
æ çè
3,
1 8
ö ÷ø
.
(1)求 a 的值；
(2)求
f
(x)
在区间
éêë-
1 2
,
2ùúû
上的最大值；
(3)若函数 g ( x) = f ( x) - x ，求证： g ( x) 在区间(0,1) 内存在零点.
17．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021 年 12 月，我国网络购物用户规模 达 8.42 亿，较 2020 年 12 月增长 5968 万，占网民整体的 81.6%．某电商对其旗下的一
A．{0}
B．{-2, -1}
C．{1, 2}
3．在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是（ ）
D．{0,1, 2}
A．样本相关系数为 r ，则 r 越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B．用最小二乘法得到的经验回归方程 yˆˆ= bˆx + a 一定经过样本点中心 (x , y)
C．用相关指数 R2 来刻画模型的拟合效果时，若 R2 越小，则相应模型的拟合效果 越好 D．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟 合效果越好 4．下列运算正确的是（ ）
故函数 y = f (x) 的图象与直线 y = -x - a 有 2 个交点，
画出函数图象，如图，平移直线 y = -x ， 可以看出当 -a £ 1 ，即 a ³ -1 时，直线 y = -x - a 与函数 y = f (x) 的图象有 2 个交点．
故选：C．
答案第31 页，共22 页
10． y = 2x - 2
P(B
A) =
P ( AB) P( A)
=
0.6 0.8
=
0.75 ．
故选：A． 7．B 【分析】先选后排，计算出结果. 【详解】先从 2 个偶数中选出 1 个，再从 3 个奇数中选出 2 个，先选后排，共有
答案第21 页，共22 页
C12C32A33 = 2 ´ 3´ 6 = 36 （个）. 故选：B. 8．B
D．既不充分也不必要条件
6．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优的概率是 0.8，连续两天的空
气质量为优的概率是 0.6．已知某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概
率是（ ）
A．0.75
B．0.7
C．0.6
D．0.45
7．从 1，2，3，4，5 五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字
C．[-1, +¥)
D．[1, +¥)
二、填空题
10．曲线 y = 2ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为
．
11．在代数式
æ çè
x
-
1 x2
ö5 ÷ø
的展开式中，常数项为
．
12．若随机变量
X
~
B (4,
p) ， E ( X
)
=
4 3
，则 D ( X
)=
.
试卷第21 页，共33 页
13．某单位有 A ， B 两个食堂，小李周一随机选择一个食堂用餐．如果周一去 A 食堂， 那么周二去 A 食堂的概率为 0.4；如果周一去 B 食堂，那么周二去 A 食堂的概率为 0.6．小李周二去 A 食堂的概率为 ．
18．为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了"书法"和“剪
纸”两门选修课为了了解选择“书法”或"剪纸"是否与性别有关，调查了高一年级
1500 名学生的选择倾向，随机抽取了 100 人，统计选择两门课程人数如下表：
选书法 选剪纸 合计
男生 40
50
女生
合计
30
(1)请将上面 2 ´ 2 列联表补充完整；
æ çè
1 2
ö3 ÷ø
´ æçè1-
1 2
ö7 ÷ø
=
15 128
，
故选：B.
9．C
【分析】题目转化为函数 y = f (x) 的图象与直线 y = -x - a 有 2 个交点，画出图象，根据图
象知 -a £ 1 ，解得答案.
【详解】 F ( x) = f ( x) + g ( x) 恰有 2 个零点，则有 f (x) + x + a = 0 ，即 f (x) = -x - a ，
A．
æ çè
sin
ππö¢ 12 ÷ø
=
cos 12
( ) B． 4x ¢ = x × 4x-1
试卷第11 页，共33 页
( ) C．
x-5
¢
=
-
1 5
x-6
D． (log2x)¢
=
1 xln2
5．设 xÎ R ，则“ x < 1”是“ x < 1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
附： r =
n
å(ti - t ) ( yi - y )
i =1
=
å å n (ti - t )2 n ( yi - y )2
i =1
i =1
n
åti yi - nty
å å i=1
n (ti - t )2
n ( yi - y )2 ，
i =1
i =1
å å åå bˆ =
n
(ti - t )( yi - y )
【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到 B 值，再
利用其概率公式计算 A 值即可.
( ) 【详解】设 10 门大炮击中目标的次数为 X ,则根据题意可得 X ~ B
10,
1 2
,
\10
门大炮总得分的期望值为
B
=
10 ´
1 2
´
2
=
10
，
\
A
=
P( X
=
3)
=
C130
´
B． 15 ，10 128
C． 15 ，5 256
D． 15 ，10 256
9．已知函数
f
(x) =
ìex , x £ 0, íîlnx, x > 0.
，
g
(
x
)
=
x+a，F (x)
=
f
( x) +
g ( x) ．若 F ( x) 恰有 2 个
零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[-1, 0)
B．[0, +¥ )
对于 B 选项，经验回归方程 yˆˆ= bˆx + a 一定经过样本中心点 (x , y) ，故 B 正确；
对于 C 选项，相关指数 R2 来刻画模型的拟合效果，若 R2 越大，则相应模型的拟合效果越 好，故 C 错误； 对于 D 选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故 D 正确； 故选：C． 4．D 【分析】利用基本初等函数求导公式判断即可.
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1．B
参考答案：
【分析】根据散点图中两个变量的变化趋势直接判断即可.
【详解】对于 A，散点的变化具有波动性，非正相关关系，A 错误；
对于 B，当 x 变大时， y 的变化趋势也是逐渐增大，可知两个变量具有正相关关系，B 正确；
对于 C，当 x 变大时， y 的变化趋势是逐渐减小，可知两个变量具有负相关关系，C 错误； 对于 D，两个变量的变化无规律，二者没有相关性，D 错误. 故选：B. 2．C 【分析】先求补集，进而求出交集.
三、双空题
14．已知
a＞b＞1.若
logab+logba=
5 2
，ab=ba，则
a=
，b=
.
15．已知函数
f
(x)
=
3ex 1+ ex
，则
f
(x)
+
f
(-x)
=
；若 "x Î(0, +¥) ，不等式
( ) f (4 - ax) + f x2 ³ 3 恒成立，则实数 a 的取值范围是
．
四、解答题
16．已知函数
【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得 x 的指数幂为 0，即可求得 k 的值.
( ) æ
【详解】 çè
x
-
1 x2
ö5 ÷ø
的展开式的通项为：
Tr
+1
=
C5r
æ ç
x
1 2
è
ö5-r ÷ ø
æ çè
-
1 x2
ör ÷ø
5-5r
= C5r x 2
-1 r
令
5 - 5r 2
=
0 ，解得 r
= 1 ，所以T2+1
所以“| x |< 1 ”是“ x < 1”的充分不必要条件， 故选：A 6．A 【分析】利用条件概率公式能求出结果. 【详解】设某天的空气质量为优的事件是 A， 随后一天的空气质量为优的事件是 B，
则 P ( A) =0.8 ， P ( AB) =0.6 ，
若某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率为：
=
1 xln2
，所以
D
正确.
故选：D. 5．A 【解析】根据充分性和必要性的定义，结合特例法进行判断即可.
【详解】 Q x < 1 Û -1 < x < 1 ，\ x < 1能推出 x < 1，
当 x < 1时，显然当 x = -2 时成立，但是| x |< 1 不成立，\ x < 1不能推出 x < 1，
【详解】对于
A
项：常值函数求导，
æ çè
sin
π 12
ö¢ ÷ø=0 Nhomakorabea，所以A
错；
答案第11 页，共22 页
( ) 对于 B 项：指数函数求导， 4x ¢ = 4x ln 4 ，所以 B 错；
( ) 对于 C 项：幂函数求导， x-5 ¢ = -5x-6 ，所以 C 错；
对于
D
项：对数函数求导， (log2x)¢
(2)是否有 95% 的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关?
附：
K
2
=
(a
+
n (ad - bc)2 b)(c + d )(a + c)(b
+
d
)
，其中
n
=
a
+
b
+
c
+
d
.
( ) P K0.12 0³0k 0.050 0.025
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k 2.706 3.841 5.024 19．端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有 8 个粽子，其中豆沙粽 2 个，蜜枣粽 6 个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出 3 个. (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； (2)设 X 表示取到豆沙粽的个数，求随机变量 X 的分布列与数学期望.
20．已知函数 f ( x) = exln ( x +1) .
(1)求曲线 y = f ( x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程； (2)设 g ( x) 为 f ( x) 的导函数，讨论 g ( x) 在区间[0, 2) 上的单调性；
(3)证明：对任意的 s,t Î(0, +¥) ，有 f (s + t ) > f (s) + f (t ) .
i =1
n (ti - t )2
=
n
ti yi - nty
i =1
n
ti2 - nt 2
aˆ = ，
y
- bˆt
．
i =1
i =1
å å( ) å 5
参考数据： ti yi = 89.5 ，
i =1
5 (ti - t )2 = 10 ，
i =1
5 yi - y 2 =
i=1
21.86 ，
218.6 » 14.785 ．