第十单元 三角形的计数问题

ΔABD、ΔABE、ΔABF、ΔABC四个三角形。
在数以AD为一条边的三角形共有：
ΔADE、ΔADF、ΔADC三个三角形。
以AE为一条边的三角形共有：ΔAEF、B D E F
C
ΔAEC两个三角形。
最后以AF为一条边的三角形共有
ΔAFC一个三角形。
所以三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）
例题3
所以图中共有三角形： 3+4+1=8（个）
例题2
请观察下图中三角形个数变化与正方形的个数变 化有什么关系，图（4）中共有多少个等腰直角三角形。
（1）
（2）
（3）
（4）
分
在图（1）中一个大正方体中间又斜放进一个小正方体，
析 图中共有4个等腰三角形。
通过对观察可以发现，图（2）比图（1）又多了一个小
正方形，而三角形的个数多了4个，共有4×2=8个三角形。
走进乐园
同学们，下面的图案什么？都是由什么图形组成的？
对了，它像一只美丽的白天鹅，是由我们上一单元 所研究的三角形组成的，这里边有多少三角形呢？
这一讲我们就学习和三角形有关的计数单位。
基础知识
例题1
数一数有图中共有多少个三角形？
分析
A
B
C
D
图形共分为4个小块（如图 所示）。由1小块组成的三角形 有ＡＢＣ共３个；由２个小块组 成的三角形有ＡＢ、AC、ＢＤ、 CD共有4个；由4小块组成的三 角形有ＡＢＣＤ共１个。
在分类计数时我们要按同一个 标准进行分类，分类后各种情况互 不重复，也不能有所遗漏。
练一练（第69页） 3、4
练一练
3、数一数五角星一共有多少个三角形？
A
J 1F
E
B
5
2来自百度文库
6
I
G
4
3
H
D
C
练一练 4、数一数下图共有多少个三角形？
挑战奥数
例题5
数一数图中一共有多少个三角形？
分 析
根据图中三角形的形状和大 小分为六类： （1）与ΔABE相同的三角形共
例题4
数一数右图中有多少 个三角形？
分 方法一： 析
用分类；的方法从边长为1的 三角形开始数。边的长为1的三角 形尖朝上的有3+2+1=6（个）， 尖朝下的有2+1=3（个）；边长 为2的三角形尖朝上的有2+1=3 （个）；边长为3的三角形只有1 个。
所以图中共有三角形： 6+3+3+1=13（个）
有5个；
（2）与ΔABP相同的三角形共 B
A
F
PE
有10个；
（3）与ΔABF相同的三角形共 有5个；
G
Q
（4）与ΔAFP相同的三角形共 有5个；
H
（5）与ΔACD相同的三角形共 有5个； （6）与ΔAGD相同的三角形共 有5个；
C
D
所以图中共有三角形为： 5+10+5+5+5+5=35（个）
例题6
练一练（第72页） 5、6
练一练 5、数一数下图共有多少个三角形？
练一练
6、数一数图中共有多少个三角形？
A
H
D
E
G
O
B
C
F
思维练习 （第50、51、52页）
THANKS
数一数，右图中共有多少个三角形？ A
分析
方法二：
先数图中单个的小三角形共有：
ΔABD、ΔADE、ΔAEF、ΔAFC四个三角形。
再数由两个小三角形组合在一起的三角形
共有：
ΔABE、ΔADF、ΔAEC三个三角形。 B D E F
C
以三个小三角形组合在一起的三角形共有：
ΔABF、ΔADC两个三角形。
最后数以四个小三角形组合在一起的只有
通过对图（1）图（2）的观察可以发现，每增加一个正
方形就增加4个等腰三角形。所以图（3）中共有4×3=12个
三角形，图（4）中共有4×4=16个三角形。
例题2
请观察下图中三角形个数变化与正方形的个数变 化有什么关系，图（4）中共有多少个等腰直角三角形。
（1）
分
（2）
（3）
（4）
析
如果还按照这个规律下去，第n个图形应该有4n个三角
在下图中，可以看出除了原有 的16个三角形外，在套进的正方形 中又增加了16个三角形，而且在套 进正方形的外边又增加了12个三角 形，共增加了28个三角形，同理套 进第三个正方形时也增加了28个三 角形，所以，原图中共有： 28+28+16=72个三角形。
同学们都听说过我国古代兵法中的三十 六计吧，其中第三十六计是“走为上计”。走 为上，指在敌我力量悬殊的不利形势下，采取 有计划的主动撤退，避开强敌，寻找战机，以 退为进。这在谋略中也应是上策。对于比较复 杂的计数题目，我们通过对图形的观察， 利用“退”的方法把一个复杂的题目变 成一个简单题目，使问题得到巧解。
形。
图形计数过程中我们首先要对 图形有一个整体观察，然后进行有 序地枚举，这样就可以有效地避免 重复和遗漏。
练一练（第67页） 1、2
练一练 1、数一数图中共有多少个三角形？
练一练 1、下图共有多少个三角形？
综合运算
例题3
数一数，右图中共有多少个三角形？ A
分析
方法一：
先数以AB为一条边的三角形共有：
ΔABC一个。
所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）
通过两种不同的分类方法计算，可以 发现计算三角形的总数等于从1开始的几个连 续自然数的和，其中最大的加数就是三角形BC 边上分成的基本线段的条数。利用对应的思想 不难发现，BC边上的每一条线段都和A点对应 一个三角形，所以三角形的个数就等于基本线 段数。我们学过的求基本线段数的方法有： （1）线段条数=1+2+3……+（点数-1） （2）线段条数=点数×（点数-1）÷2
数一数下图中共有多少个三角形？
分析
可以“退”到最原始的地方，把 中间的两个小正方体先“拿”掉。
含有一部分的三角形有：8个。 含有两部分的三角形有：4个。 含有四部分的三角形有：4个。
合计共有：8+4+4=16（个）
例题6
数一数下图中共有多少个三角形？
分析
再套进一个正方形看看三角形的 个数有什么变化？