2024版新教材高中数学第二章第2课时和差化积与积化和差公式导学案湘教版必修第二册(含答案)

新教材高中数学湘教版必修第二册：
第2课时和差化积与积化和差公式
教材要点
要点
状元随笔(1)这两组公式均可由和差角公式推导得到，而这两组公式亦可以互推．
(2)和差化积公式可由以下口诀记忆“正弦和正弦在前；正弦差余弦在前；余弦和只见余弦；余弦差负不见余弦”．
(3)两组公式中的倍数关系可通过值域(最值)的对比发现，y＝sinα±sinβ与cos α±cosβ的值域应为[－2，2]而y＝sinαsinβ等的值域应为[－1，1]，所以应给积
乘2或者和(差)乘1
.
2
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin (A＋B)＋sin (A－B)＝2sin A cos B．( )
(2)sin (A＋B)－sin (A－B)＝2cos A sin B．( )
(3)cos (A＋B)＋cos (A－B)＝2cos A cos B．( )
(4)cos (A＋B)－cos (A－B)＝2sin A cos B．( )
2．把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为( )
A．sin 18°－sin 2° B．sin 18°＋cos 2°
C．sin 18°＋sin 2° D．cos 18°＋cos 2°
3．把sin 15°＋sin 5°化成积的形式为( )
A．sin 5°sin 15° B．2cos 10°cos 5°
C．2sin 10°sin 5° D．2sin 10°cos 5°
4．cos 37.5°cos 22.5°＝______.
题型 1 和差化积公式的应用
例1 把下列各式化成积的形式．
(1)cos 3x＋cos x；
(2)cos 40°－cos 52°；
(3)sin 15°＋sin 35°；
(4)sin 6x－sin 2x.
方法归纳
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．
跟踪训练1 把下列各式化成积的形式．
(1)cos 8＋cos 2；
(2)cos 100°－cos 20°；
(3)sin 40°＋sin 150°；
(4)sin (x＋2)－sin x．
题型 2 积化和差的应用
例2 把下列各式化成和或差的形式．
(1)2sin 64°cos 10°；
(2)sin 80°cos 132°；
(3)cos π
6cos π
4
；
(4)sin 2sin 1.
方法归纳
积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式．需要注意三角函数名称的变化规律．
跟踪训练2 (1)sin 15°cos 165°的值是( )
A ．1
4
B ．1
2
C ．－1
4
D ．－1
2
(2)sin (π4+α)cos (π
4+β)化成和差的形式为( )
A ．1
2sin (α＋β)＋1
2cos (α－β)
B ．1
2cos (α＋β)＋1
2sin (α－β) C ．1
2sin (α＋β)＋1
2sin (α－β)
D ．12
cos (α＋β)＋12
cos (α－β)
题型 3 和差化积与积化和差公式的综合应用 角度1 化简与求值 例3
1
sin 40°
+cos 80°
sin 80°＝________．
方法归纳
当条件或结论式比较复杂时，往往先将它们化为最简形式，再求解．
角度2 证明恒等式
例4 求证：sin αsin (60°＋α)sin (60°－α)＝1
4sin 3α.
方法归纳
当要证明的不等式一边复杂，另一边非常简单时，我们往往从复杂的一边入手证明，类似于化简．
跟踪训练3 (1)计算：sin 70°+sin 50°
sin 80°
＝________．
(2)求证：2cos 20°+2sin 20°−12cos 20°−2sin 20°−1
·tan 25°＝cos 15°sin 15°
.
课堂十分钟
1．sin 75°－sin 15°的值为( ) A ．1
2 B ．√2
2 C ．√3
2 D ．－1
2
2．cos 72°－cos 36°的值为( ) A ．3－2√3 B ．1
2 C ．－1
2D ．3＋2√3
3．sin 37.5° cos 7.5°等于( ) A ．√2
2 B ．√24 C ．
√2+14 D ．√2+2
4
4．求证：sin 15°sin 30°sin 75°＝1
8.
第2课时 和差化积与积化和差公式
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．解析：2sin10°cos 8°＝sin (10°＋8°)＋sin (10°－8°)＝sin 18°＋sin 2°. 答案：C
3．解析：sin 15°＋sin 5°＝2sin 15°+5°
2
cos
15°−5°
2
＝2sin 10°cos 5°
答案：D
4．解析：cos 37.5°cos 22.5°＝1
2(cos 60°＋cos 15°) ＝1
4+1
2cos 15°＝2+√6+√2
8
.
答案：
2+√6+√2
8
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)cos 3x ＋cos x ＝2cos 3x+x 2
cos
3x−x 2
＝2cos 2x cos x .
(2)cos 40°－cos 52°＝－2sin 40°+52°
2
sin
40°−52°
2
＝－2sin 46°sin (－6°)＝
2sin 46°sin 6°.
(3)sin 15°＋sin 35°＝2sin
15°+35°
2
cos
15°−35°
2
＝2sin 25°cos (－10°)＝2sin 25°cos 10°. (4)sin 6x －sin 2x ＝2cos 6x+2x 2
sin
6x−2x 2
＝2cos 4x sin 2x .
跟踪训练1 解析：(1)cos 8＋cos 2＝2cos 8+22
cos
8−22
＝2cos 5cos 3.
(2)cos 100°－cos 20°＝－2sin 100°+20°
2
sin
100°−20°
2
＝－2sin 60°sin 40°＝－
√3sin 40°.
(3)sin 40°＋sin 150°＝2sin
40°+150°
2cos
40°−150°
2
＝2sin 95°cos (－55°)＝2cos 5°cos 55°. (4)sin (x ＋2)－sin x ＝2cos
x+2+x 2
sin
x+2−x 2
＝2cos (x ＋1)sin 1.
例2 解析：(1)2sin 64°cos 10°＝sin (64°＋10°)＋sin (64°－10°) ＝sin 74°＋sin 54°.
(2)si n 80°cos 132°＝cos 132°sin 80°
＝1
2[sin (132°＋80°)－sin (132°－80°)]＝1
2(sin 212°－sin 52°) ＝－12(sin 32°＋sin 52°)．
(3)cos π6cos π4＝12[cos (π6+π4)+cos (π6−π
4)] ＝1
2[cos 5π
12+cos (−π
12)]＝1
2(cos 5π
12+cos π
12).
(4)sin 2sin 1＝－1
2
[cos (2＋1)－cos (2－1)]＝－1
2
(cos 3－cos 1)．
跟踪训练2 解析：(1)sin 15°cos 165°＝1
2
[sin (15°＋165°)＋sin (15°－165°)]
＝12
sin 180°－12
sin 150°＝－1
4
.
(2)sin (π4+α)cos (π
4+β) ＝1
2[sin (π
4+α+
π4
+β)+sin (π4+α−
π4
−β)]
＝1
2[sin (π
2+α+β)+sin(α−β)] ＝1
2
cos (α＋β)＋1
2
sin (α－β)．
答案：(1)C (2)B 例3 解析：原式＝2cos 40°+cos 80°
sin 80°
＝cos 40°+2cos 60°cos 20°
sin 80°
＝
cos 40°+cos 20°
sin 80°
＝
2cos 30°cos 10°
sin 80°
＝2cos 30°＝√3.
答案：√3
例4 证明：左边＝sin α·(−1
2)(cos 120°－cos 2α) ＝1
4sin α＋1
2sin αcos 2α
＝1
4sin α＋1
4[sin 3α＋sin (－α)]
＝1
4sin α＋1
4sin 3α－1
4sin α＝1
4sin 3α＝右边． 跟踪训练3 解析：(1)sin 70°+sin 50°
sin 80°
＝
sin (60°+10°)+sin (60°−10°)
sin 80°
＝
2sin 60°cos 10°
cos 10°
＝2sin 60°＝√3. (2)证明：
左边＝2cos 20°sin 25°+2sin 20°sin 25°−sin 25°
2cos 20°cos 25°−2sin 20°cos 25°−cos 25° ＝sin 45°−sin (−5°)−cos 45°+cos (−5°)−sin 25°
cos 45°+cos (−5°)−sin 45°−sin (−5°)−cos 25° ＝sin 5°+cos 5°−sin 25°
sin 5°+cos 5°−cos 25° ＝sin 5°+sin 85°−sin 25°cos 85°+cos 5°−cos 25° ＝sin 5°+2cos 55°sin 30°−2sin 55°sin 30°+cos 5°
＝
sin 5°+cos 55°cos 5°−sin 55°
＝sin 5°+sin 35°
cos 5°−cos 35° ＝sin 20°cos (−15°)
−sin 20°sin (−15°) ＝
cos 15°sin 15°
＝右边
所以原等式成立． [课堂十分钟]
1．解析：sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2×√22
×1
2
＝√22
.
答案：B
2．解析：原式＝－2sin
72°+36°
2
sin
72°−36°
2
＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72° ＝－2·
sin 36°cos 36°cos 72°
sin 36°＝－
sin 72°cos 72°
sin 36°
＝－sin 144°
2sin 36°＝－1
2. 答案：C
3．解析：sin 37.5°cos 7.5°＝1
2[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)]
＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(√22+1
2)＝√2+1
4
. 答案：C
4．证明： sin 15°sin 30°sin 75°
＝1
2
sin 15°sin 75°
＝－1
4
[cos (15°＋75°)－cos (15°－75°)]
＝－1
4
(cos 90°－cos 60°)
＝－1
4×(−1
2
)＝1
8
.。