新疆2020届高三年级第三次诊断性测试数学(理)试题

新疆2020届高三年级第三次诊断性考试
理科数学（问卷）
（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1. 本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.
2. 答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{}
2|20A x x x =--≤，{}3|log 1B x x =≤，则A B =I （ ） A. []1,2- B. (]0,1
C. (]0,2
D. []1,3
2. 已知复数z 满足11z
i z
+=--（其中i 是虚数单位）
，则1z +=（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
3. 方程ln 40x x +-=的实根所在的区间为（ ） A. ()1,2 B. ()2,3
C. ()3,4
D. ()4,5
4. 已知4
sin 45
x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ） A. 1625-
B.
1625
C. 725
-
D.
725
5. 已知l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. l m ⊥，l n ⊥，且,m n α⊂，则l α⊥
B. 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ
C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D. 若//m n ，n α⊥，则m α⊥
6. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A. 60种
B. 70种
C. 75种
D. 150种
7. 把函数()sin 6f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上所有点的横坐标缩小到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），再把得到图象
上所有点向右平移
6
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象.则下列命题正确的是（ ） A. 函数()g x 在区间,4
4k k π
πππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
，()k Z ∈上单调递减 B. 函数()g x 在区间,6
3k k π
πππ⎡
⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
，()k Z ∈上单调递增
C. 函数()g x 的图象关于直线2
k x π
=，()k Z ∈对称 D. 函数()g x 的图象关于点,023k ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭，()k Z ∈对称 8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ） A. 5.5尺
B. 4.5尺
C. 3.5尺
D. 2.5尺
9. 函数())
sin ln
f x x x =⋅的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
10. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数＋表面数－棱长数＝2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯60C （结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，
其中12个为正五边形，20个为正六边形.除60C 外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有28C ，32C ，50C ，70C ，84C ，240C ，540C ，等，则84C 结构含有正六边形的个数为（ ）
A. 12
B. 24
C. 30
D. 32
11. 过双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b -=>>右焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，2QP PF =u u u r u u u r ，若
0OP FQ ⋅=u u u r u u u r
，则C 的离心率为（ ）
A.
B. 2
C.
D.
12. 若函数()f x 满足()()()
'ln f x x f x x =-，且11
f e e
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则函数()f x （ ） A. 既无极大值又无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值
D. 有极大值无极小值
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知向量a r 为单位向量，()1,1b =r ，且()0a b R λλ-=∈r r
，则λ=______.
14. 已知等腰直角三角形OAB 的直角顶点O 位于原点，另外两个顶点在抛物线2
6y x =上，则OAB △的面积是______.
15. 甲、乙、丙、丁四个人背后有4个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号，他们每人都只说对了一半，则丙背后的号码是______.
16. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且2
123n n S S n n ++=+，若1n n a a +<，则首项1a 的取值范围是______.
三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤. 17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若ABC △的面积1
4
S abc =
，且2sin sin 2sin sin 2sin b B a A B C C -=-.
（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求ABC △面积的最大值.
18. 如图在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，M ，N 在1DD 上，且
1D M MN ND ==.
（Ⅰ）证明//MF 平面1B EN ；
（Ⅱ）求平面1B EN 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值.
19. “网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额，数据整理如下： 男性消费金额频数分布表
（Ⅰ）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；
（Ⅱ）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费，试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20. 已知函数()()()20x
f x a x e a =+≠.
（Ⅰ）求函数()f x 的最值；
（Ⅱ）当2x ≥-时，()2
6f x x x ≥+，求实数a 的取值范围.
21. O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>的离心率为2，椭圆C 的右顶点为A .设M ，N 是
C 上位于第二象限的两点，且满足//ON AM ，Q 是弦AM 的中点，射线OQ 与椭圆交于点P .
（Ⅰ）求证：直线OQ 与直线AM 斜率的乘积为12
-； （Ⅱ）若2
2
9OP ON
+=，求椭圆C 的标准方程.
选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上托所选题目的题号涂黑.
22. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为2cos 12sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线l ：cos sin x t y t ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（t 为参数）被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的倾斜角.
23. 已知函数()2f x x a =-，其中2a >.
（Ⅰ）当4a =时，求不等式()61f x x ≥-+的解集；
（Ⅱ）已知关于x 的不等式()()24f x a f x +-≤的解集为{}|31x x -≤≤-，求a 的值.
2020年高三年级第三次诊断性测试答案
（理科数学）
一、选择题：每小题5分. 1-5：CBBCD
6-10：CBAAD
11-12：CA
二、填空题：每小题5分.
13.
14. 36 15. 3 16. 15,44⎛⎫
⎪⎝⎭
三、解答题： 17.（Ⅰ）由11sin 24S ab C abc =
=，∴2sin sin sin c b a
C B A
===
， ∴由2
sin sin 2sin sin 2sin sin sin b B a A B C C b C c C -=⋅-=-，
即2
2
2
b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-=
=，从而3
A π
=；
（Ⅱ）由3
A π
=
，∴2sin a A ==，
从而2222232cos a b c bc A b c bc bc ==+-=+-≥，
∴13sin sin 22ABC S bc A A =
≤=△
即ABC △面积的最大值为
4
，此时ABC △是正三角形. 18.（Ⅰ）以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，不妨取棱长为6， 则()0,6,4M ，()3,6,0F ，()16,0,6B ，()6,3,0E ，()0,6,2N ，
∴()3,0,4MF =-u u u r ，()10,3,6EB =-u u u r ，()6,3,2EN =-u u u r
，
设平面1B EN 的法向量()1,,n x y z =u r ，则360
6320
y z x y z -+=⎧⎨-++=⎩，
∴可取()14,6,3n =u r
，∴10MF n ⋅=u u u r u r ，即1MF n ⊥u u u r u r ，∴//MF 平面1B EN ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面1B EN 的法向量()14,6,3n =u r ，又面ABCD 的法向量()20,0,1n =u u r
，
∴平面1B EN 与平面ABCD . 19.（Ⅰ）由表格知男性平均消费金额为
0.152500.157500.212500.317500.225001425x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）
由频率分布直方图知女性平均消费金额为：
(12.50.37.50.212.50.217.50.1522.50.127.50.05)100y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯
1100=（元）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知女性的理性消费区间为()900,1300人数为16人，男性理性消费区间为()1225,1625，人数为19人，∴22⨯列联表为：
∴2
2
200(16818419)0.311710010035165
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯，由0.31170.455<，
∴没有5成以上的把握认为理性消费与性别有关. 20.（Ⅰ）易知定义域为R ，且()()'3x
f x ae
x =+，∴()'0f x =得3x =-，
∴当0a >时，()f x 在(),3-∞-上递减，在()3,-+∞上递增. ∴()f x 有最小值()3
3a f e --=
， 同理，当0a <时，()f x 有最大值()3
3a f e --=. （Ⅱ）当2x =-，有08≥-，∴a R ∈，
当2x >-时，22
6()6(2)x
x x
f x x x a x e +≥+⇔≥+.
设26()(2)(2)x x x
g x x x e +=>-+⋅，则()
22(3)44'()(2)x
x x x g x x e
-++-=+⋅， 由2x >-和()'0g x =
，得2x =
，2x =-（舍） ∴()g x
在()2,2-
上递增，在()
2,+∞上递减， ∴(
)(
)
2max 22g x g e
-==⋅
22a e
-≥⋅21.
（Ⅰ）由2e =知222
22a b c ==，∴方程可表示为222212x y b b
+=，
设()00,M x y ，()11,A x y ，则()()
222
2010120x x y y -+-=，即
010101011
2
y y y y x x x x -+⋅=--+，
∴1
2
AM OQ k k ⋅=-
，结论成立； （Ⅱ）设OP l ：1y k x =，代入222
22x y b +=，得
22
1
21212b x k =
+，222121212b k y k =+，∴2
21
2121212k b OP k +=⋅+， 同理设ON l ：2y k x =，则1212k k =-，且2
222
2122
221141221242
k k b b k ON k ++=⋅=⋅++， ∴222
1212
2
6323942OP O b N k b k ⎛⎫+=⋅== ⎪+⎝⎭
+，
∴2
3b =，从而椭圆方程为22
163
x y +=.
22.（Ⅰ）由圆C
的普通方程为：(()2
2
14x y +-=
即2220x y y +--=，
∴圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
； （Ⅱ）由l ：tan ,2y kx k πϕϕ⎛⎫
==≠ ⎪⎝
⎭
或 02x πϕ⎛⎫
==
⎪⎝
⎭
， 由圆C
的圆心)
C
，2r =，又弦长为2，∴圆心C 到l
的距离d =
∴圆心C 到l
的距离d =
l 的倾斜角90ϕ=︒或150ϕ=︒.
23.（Ⅰ）由4a =，∴()61f x x ≥-+，即为：2216x x -+-≥ ()* ①当1x ≤-时，()*式即为：336x -+≥，∴1x ≤-符合， ②当12x -<≤时，()*式即为：56x -+≥，1x ≤-不符合， ③当2x >时，()*式即为：336x -≥，3x ≥符合， 综上，不等式的解集为{}|1,3x x x ≤-≥；
（Ⅱ）由()()2232f x a f x x a x a +-=+--34,2342,224,2a x a a x a a x a a x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=+-≤≤⎨⎪
⎪>⎪⎩
，
由()()24f x a f x +-≤的解集为{}|31x x -≤≤-， 知424x a +≤的解集即为[]3,1--， ∴[]1,13,122a a ⎡
⎤--
-=--⎢⎥⎣⎦，∴22
a
=，即4a =.。