对火车拐弯时向心力来源的思考

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A 图1 图2
对火车拐弯时向心力来源的思考
史东升
江苏徐州市第一中学,江苏 徐州 221000
摘要：教材在火车拐弯的向心力分析时并没有提到轨道和车轮间的侧向摩擦力问题，实际火车在通过弯道时如果没按规定的速度行驶，侧向摩擦力可以忽略吗？本文结合高中已有的知识建立物理模型进行探讨。

关键词：火车拐弯 侧向摩擦力 物理模型
我们知道汽车在水平路面上拐弯时侧向摩擦力提供了做圆周运动所需要的向心力，在高一物理必修二的《生活中的圆周运动》一节中教材对于火车在水平轨道上拐弯所需要的向心力归结于轮缘对火车的弹力，火车的车轮和轨道的接触面间有没有侧向
摩擦力参与提供向心力了呢？我们可以来举一个例
子，如图1，在粗糙的转盘上用绳子拴着物块A （另
一端固定在转轴上）围绕转轴以角速度ω做匀速圆周运动，转动半径为r,物块与转盘的动摩擦因数为μ，当转盘的角速度ω足够大（大于r g
μ）时，绳子才有拉力，向心力由绳子拉力和摩擦力共
同提供。

T+μmg=mr ω2,也就是说摩擦力不足以提供向心力时才会借助于绳子拉力来补足。

火车在水平轨道上拐弯
时会不会有此类似的情况呢？当然火车轮子的
结构是比较复杂的，教材中给的应该是一个理
想化的物理模型，那我们能否把摩擦力考虑进来
F N Ff 图3
建立另外一个理想化物理模型呢？笔者查阅了相关资料，火车车轮与轨道的动摩擦因数干燥的时候为0.5,涂油的情况下为0.03－0.1,在下文的理论计算中，μ按0.1处理。

1.火车在水平轨道上拐弯
例1：火车以半径r= 300 m 在水平轨道上转弯，火车质量为8×105kg ，速度为30m/s ，铁轨与轮之间的动摩擦因数μ=0.1，求火车轨道对轮缘的弹力大小(g=10m/s 2)
解：火车在水平轨道上拐弯所需要的向心力F 向=mv 2/r=2.4⨯106N,如果考虑侧向摩擦力的话，向心力首先由摩擦力提供，不够的部分才由轮缘的弹力提供，因此F N +μmg=mv 2/r,则火车轨道对轮缘
的弹力大小F N =1.6⨯106N,如果按照教材中模型的话向心
力则完全由轮缘的弹力提供。

2.火车在倾斜轨道上拐弯
例2：火车以半径r= 900 m 转弯,火车质量为8×105kg ,火车轨距L=1.4 m ，轨道垫的高度h=0.14m,要使火车通过弯道时仅受重力与轨道的支持力,求（1）火车通过弯道的速度应为多少？（2）如果铁轨与轮之间动摩擦因数为0.1，火车应以什么样的速度通过弯道才能不挤压轮缘呢？（θ较小时tan θ=sin θ,g=10m/s 2）
解：如果向心力由重力和轨道支持力的合力提供，则mgtanθ=mv 2/r,又因为θ较小，tan θ=sin θ=h/L ,火车通过弯道的速度大小为
L ghr /=30m/s ，
如果不考虑摩擦的话，火车的速度大于30m/s 则挤压外轨道，火车速度小于30m/s 则挤压内轨道。

第2问如果考虑摩擦力
的影响，只要轨道和车轮之间的摩擦没有达到最大静摩擦，火车和轮缘之间就没有挤压。

因此火车通过弯道不挤压轮缘的速度应该是一个范围。

最大速度的计算：mg+fsinθ=F N cosθ①
f cosθ+F N sinθ=mv 12/r ②
f= μF N ③ 可以得到v 1=44.8m/s
最小速度的计算：F N cosθ+ f sinθ=mg ① F N sinθ－f cosθ=mv 22/r ②
f= μF N ③ 可以得到v 2=2.1m/s
3.结束语
由以上分析可以看出，只有当火车的拐弯速度大于44.8m/s 时才会挤压外轨，小于2.1m/s 时会挤压内轨。

在速度介于2.1m/s 和44.8m/s 时，静摩擦力在火车拐弯的过程中也参与提供了向心力的角色，轨道对轮缘并没有挤压的作用。

经过理论分析发现，轨道和车轮之间的动摩擦因数越大，最大速度v 1和最小速度v 2的差值越大，摩擦力在火车拐弯过程中的作用越明显。

教材中为了分析问题的方便，对火车拐弯的向心力来源作了简化处理。

由于工程技术中的实际火车轨道和车轮的结构比较复杂，本文也只是结合高中物理已有的知识深入探讨了一下，有不当之处请批评指正。

f F N m
g F N mg
f 图4 图5。