数形结合思想方法在高中数学解题中的应用

数形结合思想方法在高中数学解题中的应用
山西省阳泉市第一中学
高硕
数形结合思想方法是高中数学学习和解题的重要思想方法，它把“数”和“形”有机地结合在一起，可以起到以“数”助形和以“形”解“数”的目的，从而把许多复杂抽象、难以理解的数学问题变成形象、直观的问题，有助于学生更方便快捷地解题。

一、数形结合思想方法的应用原则
在高中数学解题中，数形结合思想方法的应用要坚持以下几点原则：一是等价原则。

就是“数”的代数性质和“形”的几何性质两者在转换时要等价，也就运用图形反映的问题和数量表示的问题要有一致性；二是双向原则。

就是要在解题中既要注重对“数”的抽象性进行探索，又要对“形”的直观性进行探索，避免“数”或“形”单独探索给解题造成局限性；三是简洁原则。

在进行数形转换过程中，尽量使图形和代数式保持简洁，以避免繁琐的计算而造成错误，这样才能更好地达到“化繁为简”与“化难为易”的解题目的，使数形结合思想的作用发挥出来；四是直观与创新原则。

就是要充分利用图形和坐标系的直观性，来表示抽象的概念具体化、直观化。

数形结合思想方法在解题中的运用不可照搬，需要活学活用和创新运用，才能更好发挥其功能。

二、数形结合思想方法的应用策略
（一）以形助数，使抽象问题变得形象直观
在高中数学解题中，特别是对于一些数量关系既复杂又抽象的问题，学生难以理解，不容易找到解题的思路和方法。

如果运用数形结合的思想方法，就可以把复杂抽象“数”的问题用直观的图形问题来解决，这样就可以绕开冗长繁琐的数量计算的过程，利用图形能够帮助学生有效解决复杂的数量问题，使学生对题目中的数量关系能够正确理解， 即能够把题目中抽象的数量问题变成形象直观的图形问题，可以使学生容易理解题意，快速准确地找出已知条件、未知关系，就容易快速形成解题思路，快速正确找出数量关系式，从而有效突破解题难点。

例1：已知一个动圆P 与两个定圆相外切，定圆C 1方程是：（x +4）2
+y 2=
100, 定圆C 2方程是：（x −4）2+y 2=4,求这个动圆P 的圆心轨迹的方程。

解析：此题的解答如果直接运用求解方程的方法非常麻烦，而如果运用数形结合的思想方法，通过借助于两个圆图象的“形”来求方程“数”的问题就比较方便。

假设动圆的圆心为P （x ，y ）,半径是r,从方程可以得出：定圆C 1的圆心是（-4，0），半径是10；定圆C 2的圆心是（4，0），半径是2。

借助图形可
以直观看出：动圆C 与定圆C 1是相内切的，与定
圆C 2是相外切，就能容易得出下面的式子：｜
C 1P ｜=10-r ，｜C 2P ｜=r+2，把两个式子相加得：｜
C 1P ｜+｜C 2P ｜=10-r+ r+2=12>｜C 1C 2｜=8，根据
椭圆的定义可知点P 的运动轨迹是椭圆。

再根据
图形可得出c=4,a=6,可求出b 2=20, 动圆P 的圆心轨迹的方程是x 235+y 2
20=1。

点评：在本题的求解中，借助于图形的直观性，通过做辅助线的方式，很P 例1图 C 1 O y x C 2
快就能形成解题思路，使问题既简单又快捷地得到解决，很好地体现了“以形助数”的思想。

（二）以数解形，使学生的解题思维更严谨
数学作为一门非常严谨的学科，进行数学知识学习或数学题目的解题必须要有严谨思维能力做基础，许多学生在解题中，考虑数学问题的全面性、严谨性不够严谨，经常出现粗心大意的问题，造成解题错误或找不到正确的解题思路。

如果学生在解决一些比较复杂的图形问题时，借
助于“数”的严谨性与精确性，来找出图形中包含的
数量关系，以此来解决几何图形问题，既容易找到解
题思路，又能培养学生严谨的思维能力。

而且对于一
些几何图形问题，有时候如果仅凭直觉观察不容易找
出图形的特点和规律，借助于“数”的精确性，就能深入细微地刻画图形，能深入挖掘几何图形中的隐含条件，使解题更加严谨。

例2:有一个圆M 介于直线x =3和抛物线y 2=2x 所围成的封闭区间里（含边界区域），求这个圆M 在此区域中能取得的半径最大值是多少？
分析：从图形中可以大概看出圆半径的数值，但无法得到精确的圆半径数值。

如果借助于代数的严谨、精确的计算，就能求出准确的圆半径数值。

可分两种情况进行讨论：
（1）不含边界时
当圆M 在这个封闭区域中不含直线和抛物线边界时，即圆M 与直线和抛物线均不存在交点时，无法用联立方程组的形式进行求解。

例2图 O y x M X=3
（2）包含边界时
当圆M在这个封闭区域中包含直线和抛物线边界时，即圆M与直线和抛物线均存在交点时，可用联立方程组的形式进行求解。

根据图形可看出：圆M的圆心在x轴上，因此假设其圆心为（a,0）(0<a<3),这样可得圆的方程是
（x−a）2
+y2=(3−a)2,把圆方程与抛物线方程联立组成方程组，可得x2+
2(1−a)x+6a−9=0,∆=[2(1−a)]2−4(6a−9)=0,再结合a的取值范围，就可求出a=4−√6，因为3−a<a,因此，最大半径是3−a=√6−1。

点评：要精确求解本题，关键是要用“数”的严谨性与精确性来求解圆半径，即要用“数”来辅助求解“形”的问题。

此外本题容易忽略3−a<a这个条件，这样圆M就可能超出该封闭区域。

三、结语
总之，数形结合思想能够帮助学生形成完整的数学知识体系，能够把复杂抽象的问题变成形象直观、容易解决的问题，能促进学生思维能力发展，因此，教师应在教学中注重渗透数形结合的思想方法，从而提高解题质量效率。