考前三个月·浙江专用高考数学文二轮配套教案：高考题型冲刺练 穿插滚动练四

穿插滚动练（四）
内容：不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、立体几何与空间向量（文科为立体几何）一、选择题
１．设集合A＝{１,４，x}，B＝{１，x２}且A∪B＝{１,４，x}，则满足条件的实数x的个数是（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个
答案C
解析由题意可知x２＝４或x２＝x，解得x＝±２或x＝0或x＝１，又x≠１，∴x＝0，±２，答案为Ｃ．
２．若等比数列{a n}的前n项和S n＝a·３n—２，则a２等于（）Ａ．４Ｂ．１２Ｃ．２４Ｄ．３6
答案B
解析当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２a·３n—１，
又a１＝a·３１—２＝３a—２，
由等比数列定义，a２＝qa１，
∴6a＝３·（３a—２），∴a＝２．
因此a２＝２a·３２—１＝１２．
３．已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是
（）
Ａ．f（b）>f（c）>f（d）
Ｂ．f（b）>f（a）>f（e）
Ｃ．f（c）>f（b）>f（a）
Ｄ．f（c）>f（e）>f（d）
答案C
解析由f′（x）的图象得，当x∈（—∞，c）时，f′（x）>0；当x∈（c，e）时，f′（x）<0；当x∈
（e，＋∞）时，f′（x）>0．因此，函数f（x）在（—∞，c）上是增函数，在（c，e）上是减函数，在（e，＋∞）上是增函数，又a<b<c，所以f（c）>f（b）>f（a）．故选Ｃ．
４．（２0１２·辽宁）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a—b|，则下面结论正确的是（）Ａ．a∥bＢ．a⊥b
Ｃ．|a|＝|b| Ｄ．a＋b＝a—b
答案B
解析将向量的模相等变为向量的平方相等求解．
因为|a＋b|＝|a—b|，
所以（a＋b）２＝（a—b）２，
即a·b＝0，故a⊥b.
５．已知α，β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则：“α⊥β”是“m⊥β”的（）Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
答案B
解析若m⊥β，因m是一条直线且m⊂α，由面面垂直的判定定理，知α⊥β，反之，若m是一条直线且m⊂α，当α⊥β时，m与平面β的位置关系可以为：相交或平行或m⊂β，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件，选Ｂ．
6．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为２错误!，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（）
Ａ．４Ｂ．２错误!
Ｃ．２Ｄ．错误!
答案B
解析由题意可设棱柱的底面边长为a，则其体积为错误!a２·a＝２错误!，得a＝２．由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以２为长，错误!为宽的矩形．∴其面积为２错误!.故选Ｂ．
7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝４５°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是
（）
Ａ．平面ABD⊥平面ABC
Ｂ．平面ADC⊥平面BDC
Ｃ．平面ABC⊥平面BDC
Ｄ．平面ADC⊥平面ABC
答案D
解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.
在三棱锥A—BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，
所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.
又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）
Ａ．１Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案B
解析由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为△PAC，是边长为２的正三角形，PD⊥平面ABC，且PD＝错误!，底面△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝错误!，所以体积为V＝错误!×错误!×错误!×错误!×错误!
＝错误!，故选Ｂ．
9．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S（x）＝a x—a—x，C（x）＝
a x＋a—x，其中a>0，且a≠１，下面正确的运算公式是（）
１S（x＋y）＝S（x）C（y）＋C（x）S（y）；
２S（x—y）＝S（x）C（y）—C（x）S（y）；
３２S（x＋y）＝S（x）C（y）＋C（x）S（y）；
４２S（x—y）＝S（x）C（y）—C（x）S（y）．
Ａ．１２Ｂ．３４
Ｃ．１４Ｄ．２３
答案B
解析经验证易知１２错误．依题意，注意到２S（x＋y）＝２（a x＋y—a—x—y），又S（x）C（y）＋C（x）S（y）＝２（a x＋y—a—x—y），因此有２S（x＋y）＝S（x）C（y）＋C（x）S（y）；同理有２S（x—y）＝S（x）C（y）—C（x）S（y），综上所述，选Ｂ．
１0．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B＝错误!，错误!＝２，且S△ABC ＝错误!，则b的值为（）
Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１
答案C
解析依题意得，c＝２a，b２＝a２＋c２—２ac cos B＝a２＋（２a）２—２×a×２a×错误!＝４a２，所以b
＝c＝２a，sin B＝错误!＝错误!，又S△ABC＝错误!ac sin B＝错误!×错误!×b×错误!＝错误!，
所以b＝２，选Ｃ．
１１．变量x，y满足约束条件错误!，则目标函数z＝３x—y的取值范围是（）Ａ．[—错误!，6] Ｂ．[—错误!，—１]
Ｃ．[—１,6] Ｄ．[—6，错误!]
答案A
解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线３x—y＝
0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝３x—y取最大值；当直线过点B时，z＝３x—y 取最小值．
由错误!，解得A（２,0）；
由错误!，解得B（错误!，３）．
∴z max＝３×２—0＝6，z min＝３×错误!—３＝—错误!.
∴z＝３x—y的取值范围是[—错误!，6]．
１２．已知定义域为R的函数f（x）满足：f（４）＝—３，且对任意x∈R总有f′（x）<３，则不等式f（x）<３x—１５的解集为（）Ａ．（—∞，４）Ｂ．（—∞，—４）
Ｃ．（—∞，—４）∪（４，＋∞）Ｄ．（４，＋∞）
答案D
解析方法一（数形结合法）：
由题意知，f（x）过定点（４，—３），且斜率k＝f′（x）<３．
又y＝３x—１５过点（４，—３），k＝３，
∴y＝f（x）和y＝３x—１５在同一坐标系中的草图如图，
∴f（x）<３x—１５的解集为（４，＋∞），故选Ｄ．
方法二记g（x）＝f（x）—３x＋１５，
则g′（x）＝f′（x）—３<0，可知g（x）在R上为减函数．
又g（４）＝f（４）—３×４＋１５＝0，
∴f（x）<３x—１５可化为f（x）—３x＋１５<0，
即g（x）<g（４），结合其函数单调性，故得x>４．
二、填空题
１３．函数y＝x＋２cos x—错误!在区间[0，错误!]上的最大值是________．
答案错误!
解析y′＝１—２sin x>0⇒sin x<错误!，sin x>错误!时y′<0，∴sin x＝错误!时y max＝错误!＋２×错误!
—错误!＝错误!.
１４．已知函数f（x）＝A tan（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<错误!），y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（错误!）
＝______.
答案错误!
解析由图象可知，此正切函数的半周期等于错误!—错误!＝错误!，即周期为错误!，
∴ω＝２．
由２×错误!＋φ＝kπ，k∈Z，|φ|<错误!，知φ＝错误!.
由f（0）＝１，知A＝１．
因此f（x）＝tan（２x＋错误!），
故f（错误!）＝tan（２×错误!＋错误!）＝tan 错误!＝错误!.
１５．若一个正方体的表面积为S１，其外接球的表面积为S２，则错误!＝________.
答案错误!
解析设正方体棱长为a，则正方体表面积为S１＝6a２，其外接球半径为正方体体对角线长的错误!，即为错误!a，因此外接球的表面积为S２＝４πr２＝３πa２，则错误!＝错误!＝错误!.
１6．如图所示，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：１AF⊥PB；２EF⊥PB；３AF⊥BC；４AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．
答案１２３
解析∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，
∴CB⊥AC，CB⊥PA，CB⊥平面PAC.
又AF⊂平面PAC，∴CB⊥AF.
又∵E，F分别是点A在PB，PC上的射影，
∴AF⊥PC，AE⊥PB，∴AF⊥平面PCB.
故１３正确．∴PB⊥平面AEF，故２正确．
而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC.故４错误．
三、解答题
１7．如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
（１）求证：GH∥平面CDE；
（２）若CD＝２，DB＝４错误!，求四棱锥F—ABCD的体积．
（１）证明方法一∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.
又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，
∴H为FC的中点．
又∵G是FD的中点，∴HG∥CD.
∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，
∴GH∥平面CDE.
方法二连接EA，∵ADEF是正方形，
∴G是AE的中点．
∴在△EAB中，GH∥AB.
又∵AB∥CD，∴GH∥CD.
∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，
∴GH∥平面CDE.
（２）解∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，
且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.
∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6．
又∵CD＝２，DB＝４错误!，CD２＋DB２＝BC２，∴BD⊥CD.
∵S▱ABCD＝CD·BD＝8错误!，
∴V F—ABCD＝错误!S▱ABCD·FA＝错误!×8错误!×6＝１6错误!.
１8．函数f（x）＝6cos２错误!＋错误!sin ωx—３（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（１）求ω的值及函数f（x）的值域；
（２）若f（x0）＝错误!，且x0∈错误!，求f（x0＋１）的值．
解（１）由已知可得，
f（x）＝３cos ωx＋错误!sin ωx＝２错误!sin错误!，
又正三角形ABC的高为２错误!，从而BC＝４，
所以函数f（x）的周期T＝４×２＝8，即错误!＝8，ω＝错误!.
函数f（x）的值域为[—２错误!，２错误!]．
（２）因为f（x0）＝错误!，由（１）有
f（x0）＝２错误!sin错误!＝错误!，
即sin错误!＝错误!.
由x0∈错误!，知错误!＋错误!∈错误!，
所以cos错误!＝错误!＝错误!.
故f（x0＋１）＝２错误!sin错误!
＝２错误!sin错误!
＝２错误!错误!
＝２错误!×错误!＝错误!.
１9．已知当x＝５时，二次函数f（x）＝ax２＋bx取得最小值，等差数列{a n}的前n项和S n＝f（n），a
＝—7．
２
（１）求数列{a n}的通项公式；
（２）数列{b n}的前n项和为T n，且b n＝错误!，求T n.
解（１）由题意得：—错误!＝５，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝an２＋bn—a（n—１）２—b（n—１）＝２an＋b—a＝２an—１１a.
∵a２＝—7，得a＝１．∴a１＝S１＝—9，∴a n＝２n—１１．
（２）∵b n＝错误!，
∴T n＝错误!＋错误!＋…＋错误!，１
错误!T n＝错误!＋…＋错误!＋错误!，２
１—２得
错误!T n＝—错误!＋错误!＋…＋错误!—错误!
＝—错误!＋错误!—错误!
＝—错误!—错误!—错误!.
∴T n＝—7—错误!.
２0．如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB 为正三角形．
（１）求证：BC⊥平面APC；
（２）若BC＝３，AB＝１0，求点B到平面DCM的距离．
（１）证明∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB.
又∵M为AB的中点，
∴MD∥AP，∴AP⊥PB.
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP＝A，
∴BC⊥平面APC，
（２）解记点B到平面DCM的距离为h，则有V M—BCD＝V B—DCM.
∵AB＝１0，∴MB＝PB＝５，又BC＝３，BC⊥PC，∴PC＝４，
∴S△BDC＝错误!S△PBC＝错误!PC·BC＝３．
又MD＝错误!，∴V M—BCD＝错误!MD·S△BDC＝错误!.
在△PBC中，CD＝错误!PB＝错误!，
又∵MD⊥DC，∴S△DCM＝错误!MD·DC＝错误!错误!，
∴V B—DCM＝错误!h·S△DCM＝错误!·h·错误!错误!＝错误!，∴h＝错误!，
即点B到平面DCM的距离为错误!.
２１．已知二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）且满足f（—１）＝0，对任意实数x，恒有f（x）—x≥0，并且当x∈（0,２）时，f（x）≤错误!２.
（１）求f（１）的值；
（２）证明：a>0，c>0；
（３）当x∈[—１,１]时，函数g（x）＝f（x）—mx（x∈R）是单调函数，求证：m≤0或m≥１．（１）解∵对x∈R，f（x）—x≥0恒成立，
当x＝１时，f（１）≥１，
又∵１∈（0,２），由已知得f（１）≤错误!２＝１，
∴１≤f（１）≤１．∴f（１）＝１．
（２）证明∵f（１）＝１，∴a＋b＋c＝１．
又∵a—b＋c＝0，∴b＝错误!.∴a＋c＝错误!.
∵f（x）—x≥0对x∈R恒成立，
∴ax２—错误!x＋c≥0对x∈R恒成立．
∴错误!∴错误!∴c>0，故a>0，c>0．
（３）证明∵a＋c＝错误!，ac≥错误!，
由a>0，c>0及a＋c≥２错误!，得ac≤错误!，
∴ac＝错误!，当且仅当a＝c＝错误!时，取“＝”．
∴f（x）＝错误!x２＋错误!x＋错误!.
∴g（x）＝f（x）—mx＝错误!x２＋错误!x＋错误!
＝错误![x２＋（２—４m）x＋１]．
∵g（x）在[—１,１]上是单调函数，
∴２m—１≤—１或２m—１≥１．∴m≤0或m≥１．
２２．已知函数f（x）＝ln x—ax＋１在x＝２处的切线斜率为—错误!.
（１）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（２）设g（x）＝错误!，对任意x１∈（0，＋∞），存在x２∈（—∞，0）使得f（x１）≤g（x２）
成立，求正实数k的取值范围；
（３）证明：错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n∈N*，n≥２）．
（１）解由已知得f′（x）＝错误!—a，
∴f′（２）＝错误!—a＝—错误!，解得a＝１．
于是f′（x）＝错误!—１＝错误!，
当x∈（0,１）时，f′（x）>0，f（x）为增函数，
当x∈（１，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）为减函数，
即f（x）的单调递增区间为（0,１），单调递减区间为（１，＋∞）．
（２）解由（１）知x１∈（0，＋∞），f（x１）≤f（１）＝0，
即f（x１）的最大值为0，
由题意知：对任意x１∈（0，＋∞），存在x２∈（—∞，0）使得f（x１）≤g（x２）成立，只需f（x）max≤g（x）max.
∵g（x）＝错误!＝x＋错误!＋２k＝—错误!＋２k≤—２错误!＋２k，
∴只需—２错误!＋２k≥0，解得k≥１．
（３）证明要证明错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n∈N*，n≥２）．
只需证错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!，
只需证错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!.
由（１）当x∈（１，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）为减函数，
f（x）＝ln x—x＋１≤0，即ln x≤x—１，
∴当n≥２时，ln n２<n２—１，
错误!<错误!＝１—错误!<１—错误!＝１—错误!＋错误!，
错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!＋错误!＋…＋错误!＝n—１—错误!＋
错误!＝错误!，
∴错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!.。