高观点下的的中学数学

高观点下的中学数学
高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．
（一）高观点下研究中学数学的必要性
新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及
所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为
（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和
10012310010150S =++++=⨯L
(1)(1)2
123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩L 为奇数为奇数
2(1)n S n n =+
从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。

把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题
相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，
一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）
A
B C
1231,3,
7,.a a a ===L 121,
21n n n n a a a +=+=-
教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？
11(1)
2,
1,12
n n n n n a a a n a ++==++=
+
◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？
12
(3)n n n a a a n --=+≥
( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题
解法Ⅰ加法原理和乘法原理
4312124321214321111
120
⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）
解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,
4n n n a a a --+=⨯⨯=！
教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性
同法．
( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）
分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？
一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其
中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？
解 1 （容斥原理） 用i A 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1Λ=），则
n
n A A A D I ΛI I 21=
=∑∑∑-+++-n n j i i A A A A A A S I ΛI I ΛI 21)1(
=!0)1()!2()!1(!2
1n
n n n n
C n C n C n -++-+--Λ
=)!
1)1(!31!2111(!n n n -++-+-Λ
解2 （递推公式）设n a a a Λ,,21为n Λ,2,1的一个错排，显然i a a i
≠≠,11，分两类
（1） 第1a 位是1，共2-n D 种方法；（2）第1a 位不
是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n n
D D n D 其中1,021==D D
)!
2(1)!1(1!2
1-+--=--n D n n D n n n D n n n 令!
n D E n
n
=
，则211
1--+-=
n n n
E n
E n n E !
1
)1()(1211n E E n E E n n n n n -==--=----Λ,又01=E
!
1
)1(!31!21n E n n -++-=Λ，因此
)!
1
)1(!31!21!111(!n n D n n -++-+-=Λ．
◆例 2 过
:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点
),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ
),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维
空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y x P 的任何直线．而
0)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，
原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题
（1）多重复的排列和组合
◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？
分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有3
4C
◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？
方法Ⅰ：98+97+…+1=2
99C
方法Ⅱ：对应于97///=++z y x 非负整数解个数，又可
转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C
(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).
古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理
③一一对应，和中学要求一致.
（2）分配问题（k n ≥）
◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C .
一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？
解：用i A 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）
k
k n A A A S k ⋅⋅⋅=⋅I I 21!
=n k k k n k n k n k k C k C k C k )()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--
现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a a n n =-+型与)(1n f a a n n •=+型.利用累加法与
累乘法. （2）q pa a n n +=
+1型.
◆例：,1,1211=+=+a a a n n 求?=n
a
解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，
n n b 2= 12-=n n a
（3）)(1n f pa a n n +=+
◆例：,1,3211=+=+a a a n n n 求n a
解：
)3(2311n n n n a a -=-++ 令}{,3n n n n b a b -=是等比数列，
n n b 2-= 所以n n n a 23-=.
也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a 解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n
(4) 11-++=
n n n qa pa a 型
解:特征方程:02=--q px x ,
若有两个不相等实根βα,,则n n n a βλαλ21+=, 若有两个相等实根βα=,则n n n a αλλ)(21+=,
若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,1212
1≥+===--n a a a a a n n n ,求 n a
解:特征方程: 2
5
1,012±=
=--x x x , n
n n a )2
51(
)2
51(
21-++
=λλ 21,λλ 由21,a a 确定. (注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式
)(,)(1n n a f a d
cx b
ax x f =++=
+构造数列}{n a 当x x f =)(有两个不等实根β
α,时,(即)(x f 有两
个不动点),则
k a a k a a n n n n (11β
α
βα--⋅=--++为常数). 当
x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一
不动点),则存在常数k 使得
k x a x a n n +-=-+0
011
1.
当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=
+a a a a n
n
n 求 n a
解: x x
x f -+=11)(, 方程x x
x =-+11无实根,则数列{n a }是一周期数列,(周期是4).
+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4]
(6)生成函数,例F 函数
由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.
以上只是我对这两部分的一些简单认识,其余章节也有一些类似的问题.。