吉林省延边州安图三中九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版

吉林省延边州安图三中2016届九年级数学上学期期中试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
2．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知x=2是一元二次方程x2﹣mx+2=0的一个解，则m的值是( )
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
5．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是( )
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
6．在反比例函数的图象上有两点（﹣1，y1），，则y1﹣y2的值是( )
A．负数 B．非正数C．正数 D．不能确定
7．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为( ) A．45° B．75°
C．45°或15°或75°D．60°
8．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2
其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
9．方程x2﹣9=0的解是__________．
10．若一元二次方程x2+2x+m=0无实数解，则m的取值范围是__________．
11．平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠B=__________度．
12．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=__________．
13．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=过点A，则k的值是__________．
14．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是__________．
15．如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为__________．
三、解答题（共75分）
16．解方程：
（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）；
（2）x2﹣2x=2x+1．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．
18．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
19．如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．
（1）指定路灯的位置（用点P表示）；
（2）在图中画出表示大树高的线段；
（3）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．
21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
22．一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为__________，周长为__________；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为__________，周长为__________；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
23．如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点A（﹣1，m），AB⊥x轴于点B，
△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，一2）．
（1）求直线y=ax+b的解析式；
（2）设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．
2015-2016学年吉林省延边州安图三中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
2．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
【考点】中心投影．
【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．进行判断即可．
【解答】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以他
在地上的影子先变短后变长．
故选C．
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选：D．
【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．
4．已知x=2是一元二次方程x2﹣mx+2=0的一个解，则m的值是( )
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：把x=2代入方程x2﹣mx+2=0，可得4﹣2m+2=0，得m=3，故本题选B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义．
5．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是( )
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，
配方得（x﹣1）2=4．
故选A．
【点评】本题考查了配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．在反比例函数的图象上有两点（﹣1，y1），，则y1﹣y2的值是( )
A．负数 B．非正数C．正数 D．不能确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】反比例函数：当k＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵反比例函数中的k＜0，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大；
又∵点（﹣1，y1）和均位于第二象限，﹣1＜﹣，
∴y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0，即y1﹣y2的值是负数，
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
7．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为( ) A．45° B．75°
C．45°或15°或75°D．60°
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．
【专题】几何图形问题；分类讨论．
【分析】作出图形，分①点A是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，从而得到AD=BD=CD，再利用等边对等角的性质可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；
②点A是底角顶点时，再分AD在△ABC外部时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ACD=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解
即可得到底角是15°，AD在△ABC内部时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠C=30°，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可．
【解答】解：①如图1，点A是顶点时，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=BC，
∴AD=BD=CD，
在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=（180°﹣90°）=45°；
②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，
∵AD=BC，AC=BC，
∴AD=AC，
∴∠ACD=30°，
∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°；
③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，
∵AD=BC，AC=BC，
∴AD=AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣30°）=75°；
综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°．
故选C．
【点评】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2
其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．
【解答】解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；
②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、
BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；
③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；
④S△ABD=AB•DE=AB•BE=AB•AB=AB2，即④正确．
综上可得①②④正确，共3个．
故选C．
【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
9．方程x2﹣9=0的解是x=±3．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．
【解答】解：x2﹣9=0即（x+3）（x﹣3）=0，所以x=3或x=﹣3．
故答案为：x=±3．
【点评】此题主要考查了平方差公式在因式分解中的应用，比较简单．
10．若一元二次方程x2+2x+m=0无实数解，则m的取值范围是m＞1．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＜0，即22﹣4m ＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m=0无实数解，
∴△＜0，即22﹣4m＜0，解得m＞1，
∴m的取值范围是m＞1．
故答案为m＞1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，
方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
11．平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠B=130度．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，又有∠A+∠C=100°，可求∠A=∠C=50°．又因为平行四边形的邻角互补，所以，∠B+∠A=180°，可求∠B．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，又∠A+∠C=100°，
∴∠A=∠C=50°，
又∵AD∥BC，
∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°．
【点评】此题主要考查：平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补．
12．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=40°．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴∠B===80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，
∴∠C===40°．
【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．
13．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=过点A，则k的值是﹣4．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】数形结合．
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得正方形的面积S是个定值，即S=|k|．【解答】解：根据题意，知
|k|=22=4，k=±4，
又∵k＜0，
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
14．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的
长是cm．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC==5cm，
∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE==cm．
故答案为：cm．
【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
15．如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、
FD上．若BF=3，则小正方形的边长为．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：在△BEF与△CFD中
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF=3，BC=12，
∴CF=BC﹣BF=12﹣3=9，
又∵DF===15，
∴=，即=，
∴EF=，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出△BEF∽△CFD 是解答此题的关键．
三、解答题（共75分）
16．解方程：
（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）；
（2）x2﹣2x=2x+1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）运用运用因式分解法解一元二次方程；
（2）运用配方法解一元二次方程．
【解答】解：（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）
移项，得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0
整理，得（x﹣3）（2﹣3x）=0
∴x﹣3=0或2﹣3x=0
解得：x1=3，x2=；
（2）原方程化为：x2﹣4x=1
配方，得x2﹣4x+4=1+4
整理，得（x﹣2）2=5
∴x﹣2=，
即x1=2，x2=2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，正确运用因式分解法和配方法解一元二次方程是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线即可；
（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的定义得出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BD C的度数即可．
【解答】解：（1）①一点B为圆心，以任意长长为半径画弧，分别交AB、B C于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，以大于EF为半径画圆，两圆相交于点G，连接BG角AC于点D 即可．
（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°．
【点评】本题考查的是基本作图及等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
18．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，
（2）根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD，
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
19．如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．
（1）指定路灯的位置（用点P表示）；
（2）在图中画出表示大树高的线段；
（3）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树．
【考点】中心投影．
【专题】作图题．
【分析】根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把AB和DE的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再由点光源出发连接MN顶部N的直线与地面相交即可找到MN影子的顶端．线段GM是大树的高．若小明的眼睛近似地看成是点D，则看不到大树，GM处于视点的盲区．
【解答】解：（1）点P是灯泡的位置；
（2）线段MG是大树的高．
（3）视点D看不到大树，GM处于视点的盲区．
【点评】本题考查中心投影的作图，难度不大，体现了学数学要注重基础知识的新课标理念．解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．
【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣16x+64+16，求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
所以MD长为5．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．…4分
化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6=54（元），．…9分
答：该店应按原售价的九折出售．…10分
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
22．一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为（1+）a；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为a2，周长为2a；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质：底边上的中线与底边上的高重合，得到△AMC是等腰直角三角形，AM=MC=AC=a，则重叠部分的面积是△ACB的面积的一半，为a2，周长为（1+）a．
（2）易得重叠部分是正方形，边长为a，面积为a2，周长为2a．
（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，则阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积．
【解答】解：（1）∵AM=MC=AC=a，则
∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为a2，周长为（1+）a．
（2）∵重叠部分是正方形
∴边长为a，面积为a2，周长为2a．
（3）猜想：重叠部分的面积为．
理由如下：
过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G
设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a
∴MH=MG=
又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，
∴∠HME=∠GMF，
∴Rt△MHE≌Rt△MGF
∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积
∵正方形CGMH的面积是MG•MH=×=
∴阴影部分的面积是．
【点评】本题利用了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．
23．如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点A（﹣1，m），AB⊥x轴于点B，
△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，一2）．
（1）求直线y=ax+b的解析式；
（2）设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）根据点A的横坐标与△AOB的面积求出AB的长度，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点C的坐标，根据点A与点C的坐标利用待定系数法即可求出直线y=ax+b的解析式；
（2）根据直线y=ax+b的解析式，取y=0，求出对应的x的值，得到点M的坐标，然后求出BM的长度，在△ABM中利用勾股定理即可求出AM的长度．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在第二象限内，
∴AB=m，OB=1，
∴S△ABO=AB•BO=2，
即：×m×1=2，
解得m=4，
∴A （﹣1，4），
∵点A （﹣1，4），在反比例函数的图象上，
∴4=，
解得k=﹣4，
∴反比例函数为y=﹣，
又∵反比例函数y=﹣的图象经过C（n，﹣2）
∴﹣2=，
解得n=2，
∴C （2，﹣2），
∵直线y=ax+b过点A （﹣1，4），C （2，﹣2）
∴，
解方程组得，
∴直线y=ax+b的解析式为y=﹣2x+2；
（2）当y=0时，即﹣2x+2=0，
解得x=1，
∴点M的坐标是M（1，0），
在Rt△ABM中，
∵AB=4，BM=BO+OM=1+1=2，
由勾股定理得AM===．
【点评】本题主要考查了反比例函数，待定系数法求函数解析式，勾股定理，综合性较强，但只要细心分析题目难度不大．。