概率论与数理统计总结之第四章
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协方差及相关系数
量 称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)=
而 称为随机变量X与Y的相关系数
是一Байду номын сангаас无量纲的量
协方差的性质有：
1. ,a,b是常数
2.
当| |较大时，X,Y线性相关的程度较好，当| |较小时，X,Y线性相关的程度较差，当 =0，称X和Y不相关
若X,Y独立，则其不相关，但若X,Y不相关，并不能说明其独立
方差的几个重要性质：
1.设C是常数，则D(C)=0
2.设X是随机变量，C是常数，则有
3.设X,Y是两个随机变量，则有
特别地，若X,Y相互独立，则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
4.D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X)
定理：（切比雪夫不等式）
设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)= ，则对于任意正数 ，不等式 成立
矩、协方差矩阵
设X,Y是随机变量，若 …存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩
若 …存在，称它为X的k阶中心矩
若 …存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩
若 …存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩
设n维随机变量 … 的二阶混合中心矩
…
都存在，则称矩阵
为n维随机变量 … 的协方差矩阵
由于 ，因而上述矩阵是一个对称矩阵
若A,B相互独立，则有E(AB)=E(A)E(B)
3.设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)
方差
设X是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差，记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=
,记为σ（X)，称为标准差或均方差
对于离散型随机变量，
对于连续型随机变量，
随机变量X的方差计算公式：
第四章 数学期望和方差
数学期望：
设离散型随机变量X的分布律为 …
若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),
若积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=
数学期望简称期望，又称为均值
数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布也称E(X)是这一分布的数学期望
定理
设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数）
1）X是离散型随机变量，它的分布律为 …，若 绝对收敛，则有
2）X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x）。若 绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=
数学期望的几个重要性质：
1.设C是常数，则有E(C)=C
2.设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)
若级数?xkpk绝对收敛则称级数?xkpk的和为随机变量x的数学期望记为k?1k?1??ex即ex?xkpkk?1?设连续型随机变量x的概率密度为fx若积分?xfxdx绝对收敛则称积分?xfxdx的值为随机变量x的数学期望??????记为ex即ex?xfxdx???数学期望简称期望又称为均值数学期望ex完全由随机变量x的概率分布所确定若x服从某一分布也称ex是这一分布的数学期望定理设y是随机变量x的函数
量 称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)=
而 称为随机变量X与Y的相关系数
是一Байду номын сангаас无量纲的量
协方差的性质有：
1. ,a,b是常数
2.
当| |较大时，X,Y线性相关的程度较好，当| |较小时，X,Y线性相关的程度较差，当 =0，称X和Y不相关
若X,Y独立，则其不相关，但若X,Y不相关，并不能说明其独立
方差的几个重要性质：
1.设C是常数，则D(C)=0
2.设X是随机变量，C是常数，则有
3.设X,Y是两个随机变量，则有
特别地，若X,Y相互独立，则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
4.D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X)
定理：（切比雪夫不等式）
设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)= ，则对于任意正数 ，不等式 成立
矩、协方差矩阵
设X,Y是随机变量，若 …存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩
若 …存在，称它为X的k阶中心矩
若 …存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩
若 …存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩
设n维随机变量 … 的二阶混合中心矩
…
都存在，则称矩阵
为n维随机变量 … 的协方差矩阵
由于 ，因而上述矩阵是一个对称矩阵
若A,B相互独立，则有E(AB)=E(A)E(B)
3.设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)
方差
设X是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差，记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=
,记为σ（X)，称为标准差或均方差
对于离散型随机变量，
对于连续型随机变量，
随机变量X的方差计算公式：
第四章 数学期望和方差
数学期望：
设离散型随机变量X的分布律为 …
若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),
若积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=
数学期望简称期望，又称为均值
数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布也称E(X)是这一分布的数学期望
定理
设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数）
1）X是离散型随机变量，它的分布律为 …，若 绝对收敛，则有
2）X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x）。若 绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=
数学期望的几个重要性质：
1.设C是常数，则有E(C)=C
2.设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)
若级数?xkpk绝对收敛则称级数?xkpk的和为随机变量x的数学期望记为k?1k?1??ex即ex?xkpkk?1?设连续型随机变量x的概率密度为fx若积分?xfxdx绝对收敛则称积分?xfxdx的值为随机变量x的数学期望??????记为ex即ex?xfxdx???数学期望简称期望又称为均值数学期望ex完全由随机变量x的概率分布所确定若x服从某一分布也称ex是这一分布的数学期望定理设y是随机变量x的函数