4.1 数学期望

设球的直径X～ 例4.1.2 设球的直径 ～U(a, b), 求球的体积 的数学期望E(X). 的数学期望 体积V=(π/6)X3,可得 解 体积 可得
−2 1 3 2 y 3, fV( y)= b−a 9π 0,

π a3≤ y≤π b3;
6 6 . 其它
则 E(V)= ∫ yf ( y)dy= π (a+b)(a2+b2). 24 −∞ V
i =1
n−1
i −1 n−1
(1− p)
n−1−( i −1)
p
i −1
= np[ p + (1− p)]
n−1

= np.
可利用二项分布的可加性证明，见例 可利用二项分布的可加性证明，见例4.1.12
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3. X~N(µ , σ 2 ) , 则 E(X) = µ ;
1 +∞ − E( X ) = ∫−∞ xf ( x)dx = ∫−∞ xe σ 2π x−µ t2 +∞ 1 − t= (µ + σt )e 2 dt σ ∫−∞
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§4.1 数学期望 一. 随机变量的数学期望 引 例 定义4.1.1 设X 是离散型随机变量,其分布律为 定义 是离散型随机变量,
P{X = xi } = pi , i = 1,2,3....
若 ∑ xi pi < + ∞ 则称
i =1 +∞
+∞
E( X ) = ∑ xi pi 为X的数学期望 均值). (
解 E( XY) = ∑∑xi y j P{X = xi ,Y = y j }
i j
= ∑∑xi y j pi . p. j = ∑ xi pi . ∑ y j p. j
i j i j
= E( X )E(Y )
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设随机变量(X, 在以 在以(0,1)，(1,0)， 例4.1.5 设随机变量 Y)在以 ， ， (1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试 为顶点的三角形区域上服从均匀分布， 为顶点的三角形区域上服从均匀分布 求E(X+Y)和E[(X+Y)2]. 和 解 2, ( x, y) ∈G; f ( x, y) = 0, ( x, y) ∉G.
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定理4.1.1* 设 Y 是随机变量 的函数 是随机变量X的函数 的函数Y=g(X), 定理 g(x)为连续函数 为连续函数 本章核心定理
1) X 是离散型随机变量，分布律为 是离散型随机变量，
P{ X = xi } = pi , i = 1,2,3....
绝对收敛， 若： ∑ g( xi ) pi 绝对收敛， 则有
摸到 彩金 五个白 2元 元 四个白 2角 角 三个白 5分 分 其它 共乐一次
庄家付出的彩金Y 庄家付出的彩金 的分布律为
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Y P{Y = yi }
0 0.5001
0.05 0.3589
0.2 0.1282
2 0.0128
假设进行了100人次的赌博 则他可能需付出 人次的赌博,则他可能需付出 假设进行了 人次的赌博 的彩金为: 的彩金为: 0×0.5001×100+0.05×0.3589×100 × × × × +0.2×0.1282×100+2×0.0128×100 × × × × =1.7945+2.564+2.56=6.9185(元) 元 平均每人次付出的彩金为
E(Z) = ∑∑G( xi , yj ) pij
i =1 j =1 ∞ ∞
(2) 当( X, Y ) 是连续型随机变量时
E(Z) = ∫
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
G( x, y) f ( x, y)dxdy
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例 4.1.4
例 4.1.5
例 4.1.6
练习 设随机变量 与Y相互独立且X,Y X , ~ N(0, 1), 则 E( X −Y ) = 2 解 答 三. 随机变量的数学期望的性质 是随机变量， 设 X , X1, X2 , … , Xn 是随机变量，c, b 是常数 1）E( c ) = c; ）
R2
1 (1,1)
G
E( X +Y ) = ∫∫ ( x + y) f ( x, y)dσ 0
1
4 1 1 = 2∫∫ ( x + y)dσ = 2∫0dx∫1− x ( x + y)dy = . 3 G
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+∞
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另解
+∞ E(V ) = ∫−∞ g( x) f X ( x)dx =
1 bπ 3 ∫a 6 x dx b−a
π (a + b)(a2 + b2 ) = 24
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过半径为R的圆周上的已知点 的圆周上的已知点, 例4.1.3 过半径为 的圆周上的已知点 与圆周 上的任意点相连, 求这样得到的弦的平均长度. 上的任意点相连 求这样得到的弦的平均长度 以已知点为原点, 解 以已知点为原点 过已知点的直径为 x 轴 正向, 如图所示. 正向 如图所示 设弦与直径的夹角为θ 则 θ 均匀分布于区间
+∞
( x−µ)2 2σ2
dx
2π
=
∫
t2 − +∞ 1 2 dt + +∞ σte −∞ 2π −∞
∫
µ = 2π
∫
t2 +∞ − e 2 dt −∞
1 2π
t2 − µe 2 dt
=µ
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µ1
µ2
位置参数
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6 指数分布
λe−λx , x > 0; (λ > 0) f ( x) = . 其它 0,
i =1 +∞
+∞
E(Y ) = E[g( X )] = ∑g( xi ) pi
i =1
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2) X是连续型随机变量 其概率密度为 X (x). 是连续型随机变量, 是连续型随机变量 其概率密度为f
若
∫
E(Y ) = E[g( X)] = ∫ g( x) f X ( x)dx
+∞ −∞
i =1
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设连续型随机变量X的概率密度为 设连续型随机变量 的概率密度为f (x), 的概率密度为 ,
若
称
+∞ ∫−∞ x
f ( x)dx < + ∞
+∞ xf ( x)dx −∞
E( X) = ∫
为X 的数学期望(均值). 数学期望(均值). 注1 随机变量的数学期望是它所有可能取 值的加权平均值，是一个数. 值的加权平均值，是一个数 部分随机变量X 的数学期望不存在. 注2 部分随机变量 的数学期望不存在. 定义中要求条件无穷级数
X P
证 明 证 明 证 明
0 1－p － 1 p
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6.指数分布 指数分布
λe , x > 0; f ( x) = (λ > 0) . 其它 0, 二. 随机变量的函数的数学期望
−λx
E( X) = λ
证 明
−1
设X 是随机变量,Y=g (X)也是随机变量, 是随机变量, 也是随机变量, 也是随机变量 如何计算E[g(X)]？ 如何计算 ？ 思路 先确定g(X)的分布 先确定 的分布 E[g(X)]=?
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2）E( c X) = cE(X); ） 1)与2） 与 ）
n i =1 n
证 明
E( c X +b) = cE(X)+b.
i =1
3 ） E( ∑ Xi ) = ∑ E( Xi );
4）若X1,X2,….,Xn 相互独立，则 ） 相互独立，
E( ∏ Xi ) = ∏ E( Xi )
i =1 i =1
n
n
例 4.1.7
例 4.1.8
例 4.1.9
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Ex. 摸彩赌博问题 摸彩赌博问题 一个庄家在一个签袋中放有8个白、 个黑的 一个庄家在一个签袋中放有 个白、8个黑的 个白 围棋子.规定 每个摸彩者交一角钱作“ 规定： 围棋子 规定：每个摸彩者交一角钱作“手续 然后一个从袋中摸出五个棋子， 费”，然后一个从袋中摸出五个棋子，按下面 摸子中彩表” 彩金” “摸子中彩表”给“彩金”.
+∞ g( x) −∞
f ( x) < + ∞ 则
例 4.1.1 例 4.1.2 例 4.1.3
思考 如何将定理推广到二维甚至更多维 的情况？ 的情况？
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定理4.1.2. 设 ( X, Y ) 是二维随机变量 如 是二维随机变量, 定理 果 Z = G( X, Y ) 也是同类型随机变量并且数 学期望存在, 学期望存在 则有 (1) 当( X, Y ) 是离散型随机变量时
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绝对收敛, 保证数学期望有唯一的数值 数学期望有唯一的数值. 绝对收敛 保证数学期望有唯一的数值 同样, 同样 对连续型随机变量的无穷广义积分 要求绝对收敛也出于相同的考虑。 要求绝对收敛也出于相同的考虑。 如果绝对收敛不能得到满足, 如果绝对收敛不能得到满足 称随机变量的 数学期望不存在. 数学期望不存在 P101例4.1.2， 例 ， 例 4.1.4
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1.X~P(λ) , 则 E(X) = λ; 2. X~B(n, p) , 则 E(X) = np; ; 3. X~N(µ , σ 2 ) , 则 E(X) = µ ; 4.两点分布 E(X)= p . 5. 均匀分布 E(X)=(b+a)/2
1 f ( x) = b − a 0, x ∈[a, b]; . 其它
θ
o
设弦长为 L, 则有 L = 2R cosθ (如图所示 如图所示) 如图所示
2R
x
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所以, 所以 平均弦长为 由于
E(L) = ∫
+∞ (2Rcos x) fθ ( x)dx −∞
π π 1 − < x< fθ( x) = π 2 2 0 其它
因此
E(L) = ∫
E( X) = ∫ x f ( x)dx = ∫ xλe
−∞ 0 +∞ +∞ −λx
dx
=
∫ λ
1
+∞
0
ue du =
−u
1
λ
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设随机变量X 的数学期望存在. 例4.1.1 设随机变量 的数学期望存在 证明: 证明 E{[X－E(X)]2}=E(X2) －[E(X)]2
设随机变量X 设随机变量 的概率密度为 1 + x, − 1 ≤ x < 0; f ( x) = 1 − x, 0 ≤ x < 1; 0, . 其它
2
QE( X ) = 0 (参见 101例 .1.3) P 4
∴E{[ X − E( X)]2} = E( X2 ) −[E( X)]2 = E( X2 )
= ∫ x f ( x)dx = ∫ x (1+ x)dx +∫ x2(1− x)dx
2 2 −∞ −1 0
+∞
0
1
= 1/ 6.
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1.X~P(λ) , 则 E(X) = λ;
λk , 证明 P{X = k}= e−λ k! (k = 0,1,2,....)
+∞ −λ λk −λ +∞ λk−1 E(X) = ∑ke = λe ∑ (k −1)! k! k=0 k=1
∞ λm =λe−λ ∑ ! m=0m
(m=k−1)
π 2 −π 2
1 4R (2Rcos x) dx = π π
的概率密度, 总结 若先求出 L 的概率密度 再计算数学期 将是很繁杂的过程. 望, 将是很繁杂的过程
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设随机变量X,Y 相互独立 且 相互独立,且 例4.1.4 设随机变量 P{X=xi}=pi. i=1,2,… P{Y=yj}=p.j j=1,2,… E(X), E(Y)存在 求E(XY) 存在, 存在
= λe−λ ⋅ eλ = λ
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2. X~B(n, p) , 则 E(X) = np; ; 证明
i P{ X = i} = Cn (1 − p)n−i pi , (i = 0,1,2,...., n)
i E( X ) = ∑iCn (1 − p)n−i pi i =0 n
= np∑C
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0.06919(元)=0×0.5001+0.05×0.3589+0.2 元 × × ×0.1282 +2×0.0128 ×
= ∑ yi P{Y = yi }
i =1
4
加权平均
是随机变量的所有可能取值按概率大小的 加权平均值. 加权平均值 与彩金的算术平均 (0+0.05+0.2+2)/4=0.5625(元) 元 比较，哪个更合理？ 比较，哪个更合理？
试求 E{[ X − E( X)] }.
2
证明 E{[ X − E( X )] } = ∫−∞[ x − E( X )] f ( x)dx
2 2
+∞
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= ∫−∞{ x − 2xE( X ) + [E( X )] } f ( x)dx
2 2
+∞
= E( X ) − [E( X)]
2