《切线性质与判定》练习题.

《切线性质与判定》练习题
一．选择题（共12小题）
1．如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（）A．80°B．60°C．40°D．20°
2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）
A．20°B．30°C．35°D．40°
第1题图第2题图第3题图
3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
4．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（）
A．80°B．50°或130°C．100°D．40°
第4题图第5题图第6题图
5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）
A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）
6．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（）A．8 B．16 C．16πD．8π
8．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D 两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（）
A．50°B．60°C．70°D．75°
9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55°D．∠ATC=∠B
第7题图第8题图第9题图
11．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF 是⊙O的切线．其中正确的有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
第10题图第11题图第12题图
12．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC=DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP=2∠A，其中正确的结论有（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
二．填空题（共6小题）
13．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB 的度数为．
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是劣弧AB上的一点，∠P=50°，∠
C=．
第13题图第14题图第15题图
15．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周长是．若∠P=5O°，那么∠DOE=．
16．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，则AD的长为．
17．已知：如图，在△ABC中，CB=3，AB=4，AC=5，以点B为圆心的圆与AC相切于点D，则⊙B的半径为．
第16题图第17题图第18题图
18．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OH⊥AC于H．若OH=3，AB=12，BO=13．则弦AC的长为．
三．解答题
19．．如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC，AD 平分∠EAC。

求证：BC是圆O的切线．
20．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点F，交BC于点D，且BD=CD，DF⊥AC于点F．求证：DF是⊙O的切线；
21．如图，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE 交PO于C点，求证：PC=CD．
22．如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，点C是OB延长线上一点，过点C作⊙O 的切线，点D是切点，连接AD交OB于点E．求证：CD=CE．
23．如图，PA切⊙O于点P，AB交⊙O于C，B两点，求证：∠APC=∠B．
24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线交AC于E，求证：DE⊥AC．
25．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点D，CD交AB于点E，判断△PDE的形状，并说明理由．
26．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
求证：DE是⊙O的切线；
27．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，⊙P与OA相切于D，求证：OB与⊙P相切．
28．如图，△OAB为等腰三角形，OA=OB=2，AB=2，以O为圆心的⊙O半径为1，求证：AB与⊙O相切．
29．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D，DE⊥AC于E．
求证：（1）DB=DC；（2）DE为⊙O的切线．
《切线的性质与判定》典型例题
1．如图，AB是⊙0的直径，AE是弦，EF是⊙0的切线，E是切点，AF⊥EF，垂足为F，求证：AE平分∠FAB
2．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，=．求证：
（1）AD∥OC；
（2）CD是⊙O的切线．
3、如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
3．如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的☉O恰与AC 相切于点D．若AE=2，AD=4．求⊙O的直径BE和线段BC的长。

4．如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F，连接OB、OC．
求证：∠BOC=90°﹣∠A．
2016年11月12日切线性质与判定学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2013•保定校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）
A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）
【解答】解：作PH⊥MN于H，连结PQ，PM，
∵M（2，0），N（0，8），
∴OM=2，ON=8，
∴MN=6，
∵PH⊥MN，
∴HM=HN=MN=3，
∴OH=OM+MH=2+3=5，
∵⊙P与x轴相切于点Q，
∴PQ⊥x轴，
∴四边形OQPH为矩形，
∴PQ=OH=5，
∴PM=PQ=5，
在Rt△PMH中，PH==4，
∴P（4，5）．
故选D．
2．（2012•合川区模拟）如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O 于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：连接AC，BC，如图所示：
∵PC为圆O的切线，
∴∠ACP=∠B，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴=，
又∵PC=2，PA=1，
∴BP==4．
故选B
3．（2012•温州模拟）如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（）
A．80°B．60°C．40°D．20°
【解答】解：∵PA为圆O的切线，
∴PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，又∠PAB=40°，
∴∠BAO=90°﹣40°=50°，
又∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=50°，
则∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°．
故选A
4．（2011•集美区校级一模）如图，已知AB为⊙O的直径，PC切⊙O于C交AB的延长线于点P，∠CAP=35°，那么∠CPO的度数等于（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
又∠CAP=35°，
∴∠OCA=35°，∠POC=70°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥BC，
∴∠PCO=90°；
在Rt△POC中，∠CPO=90°﹣∠POC（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠CPO=20°；
故选B．
5．（2011•樊城区模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB 的延长线交于点D，则∠D的度数为（）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【解答】解：连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=35°，
∴∠COD=2∠A=70°，
∴∠D=90°﹣70°=20°．
故选A．
6．（2002•呼和浩特）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（）
A．80°B．50°或130°C．100°D．40°
【解答】解：连接AB，
由切线长定理知AP=BP，
∠PAB=∠PBA=（180°﹣∠P）÷2=50°，
由弦切角定理知，∠C=∠PAB=50°，
若C点在劣弧AB上，则根据圆内接四边形的性质知，∠C=180°﹣50°=130°，
由选项，知只有B符合．
故选B．
7．（2012•金塔县校级二模）如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（）
A．8 B．16 C．16πD．8π
【解答】解：连接OA，OC，
∵大圆中长为8的弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，AC=4，
∴OA2﹣OC2=16，
∴πOA2﹣πOC2=（OA2﹣OC2）π，
∴圆环的面积=16π．
故选C．
8．（2011•兰州）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【解答】解：如右图所示，连接BC，
∵AB 是直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=25°，
∴∠CBA=90°﹣25°=65°，
∵DC是切线，
∴∠BCD=∠A=25°，
∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．
故选C．
9．（2015秋•承德县期末）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD 分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（）
A．50°B．60°C．70°D．75°
【解答】解：
连接AO，BO，OE，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠AOB=360°﹣2×90°﹣60°=120°，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ECO，∠DBO=∠DEO，
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=∠COE+∠EOD=∠AOB=60°．
故选B．
10．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）
A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55°D．∠A TC=∠B
【解答】解：A、∵AB=4，A T=3，BT=5，
∴AB2+AT2=BT2，
∴△BA T是直角三角形，
∴∠BA T=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
B、∵∠B=45°，AB=A T，
∴∠T=45°，
∴∠BA T=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
C、∵AB为直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=35°，
∵∠TAC=55°，
∴∠CA T=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
D、∠A TC=∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确．
故选：D．
11．（2009•伊春）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，故①正确；
连接DO，
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴AC=AB，∠C=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED，
∴ED是圆O的切线，故④正确；
由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正确；
∵点O是AB的中点，故③正确，
故选D．
12．（2013秋•赣榆县校级月考）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：连接OD，AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB=AC，
∴AD是边BC上的中线，
∴BD=DC（正确）；
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线（正确）；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FDC=∠CAD，
又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠A=2∠CAD=2∠FDC（正确）；
∵DF是⊙O的切线，
∴∠FDE=∠CAD=∠FDC，
∴∠C=∠DEC，
∴DC=DE，
又DF⊥AC，
∴CF=EF（正确）；
当∠EAD=∠EDA时，=，此时△ABC为等边三角形，
当△ABC不是等边三角形时，
∠EAD≠∠EDA，
则≠，
∴=（不正确）；
综上，正确结论的序号是①②④⑤，
故选：B．
13．（2006•贺州）如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC=DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP=2∠A，其中正确的结论有（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【解答】解：∵DC=DP，
∴∠DPC=∠DCP，
∵∠DPC=∠APE，
∴∠DCP=∠APE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA；
∵∠OAC+∠APE=90°，
∴∠OCA+∠DCP=90°，
∴CD为⊙O的切线（①正确）；
②不一定；
连接CO，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCP=∠AOC．
∵∠DCP=（180°﹣2∠A），
又∵∠DCP=（180°﹣∠CDP），
∴180°﹣2∠A=180°﹣∠CDP，
∴∠CDP=2∠A，③正确．
故选B．
二．填空题（共9小题）
14．（2014•乌海模拟）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为65°．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBA=90°，
∵∠BAO=40°，
∴∠O=50°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=180°﹣∠O）=65°，
故答案为：65°．
15．（2012秋•重庆校级期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是劣弧AB 上的一点，∠P=50°，∠C=115°．
【解答】解：连结OA、OB，在优弧AB上取点D，连结DA、DB，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣50°=130°，
∴∠D=∠AOB=65°，
∴∠C=180°﹣∠D=115°．
故答案为115°．
16．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周长是20．若∠P=5O°，那么∠DOE=65°．
【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，
∴DA=DC，EB=EC，PA=PB=10，
∴△PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+PE+CE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10+10=20；
连结OA、OB、OC，如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣50°=130°，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
而DA=DC，EC=EB，
∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，
∴∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=×130°=65°，
即∠DOE=65°．
故答案为20，65°．
17．（2013•怀集县二模）如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，则AD的长为9．
【解答】解：连接OC，
∵CD为圆O的切线，
∴CD⊥OC，即∠OCD=90°，
∵OA=OC=3，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=6，
则AD=OA+OD=3+6=9．
故答案为：9．
18．（2016•建昌县二模）已知：如图，在△ABC中，CB=3，AB=4，AC=5，以点B为圆心的圆与AC相切于点D，则⊙B的半径为 2.4．
【解答】解：
连接BD，
在△ABC中，
∵CB=3，AB=4，AC=5，
∴AB2+BC2=32+42=52=AC2，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵AC是⊙C的切线，
∴BD⊥AC，
∵S△ABC=AB•BC=AC•BD，
∴AB•BC=AC•BD，
即BD==2.4，
故答案为：2.4．
19．（2016•海南模拟）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OH ⊥AC于H．若OH=3，AB=12，BO=13．则弦AC的长为8．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAB=90°，
∵AB=12，BO=13，
∴AO===5，
∵OH⊥AC，
∴AC=2AH，
∵OH=3，
∴AH==4，
∴AC=8，
故答案为：8．
20．如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D．若AE=2，AD=4．则☉O的直径BE=6；△ABC的面积为24．
【解答】解：
如图，连接OD，
∵AC与⊙O相切，
∴OD⊥AC，
设⊙O的半径为x，
则OE=OB=OD=x，
∴AO=AE+OE=2+x，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2=OD2+AD2，
即（2+x）2=x2+42，解得x=3，
∴BE=2x=6，
∴AB=AE+BE=2+6=8，
∵∠ABC=∠ADO=90°，∠OAD=∠CAB，
∴△AOD∽△ACB，
∴=，即=，解得BC=6，
∴S△ABC=AB•BC=×8×6=24，
故答案为：6；24．
21．（2016春•德惠市校级月考）如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F．求证：EF与圆O相切．
【解答】证明：连接OD，如右图所示，
∵∠FOD=2∠BAD，AD平分∠CAB，
∴∠EAF=2∠BAD，
∴∠EAF=∠FOD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠EAF+∠EFA=90°，
∴∠DFO+∠DOF=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥EF，
即EF与圆O相切．
22．（2014秋•和县月考）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点F，交BC于点D，且BDCD，DF⊥AC于点F．给出以下四个结论：
①DF是⊙O的切线；②CF=EF；③=；④∠A=2∠FDC．
其中正确结论的序号是①②④．
【解答】解：连接OD、DE、AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB，
∵DB=DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线，①正确；
∵DF是⊙O的切线，
∴∠CED=∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠CED=∠C，
∴DC=DE，
又∵DF⊥AC，
∴CF=EF，②正确；
当∠EAD=∠EDA时，，
此时△ABC为等边三角形，
当△ABC不是等边三角形时，
∠EAD≠∠EDA，
则≠，
∴=不正确；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FDC=∠CAD，
又AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠A=2∠CAD=2∠FDC，④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（共18小题）
23．如图，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE 交PO于C点，求证：PC=CD．
【解答】证明：∵CD为⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠ADO+∠PDC=90°，
而OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠A+∠PDC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠A+∠P=90°，
∴∠PDC=∠P，
∴PC=CD．
24．如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，点C是OB延长线上一点，过点C作⊙O 的切线，点D是切点，连接AD交OB于点E．求证：CD=CE．
【解答】证明：连接OD，
∵OA⊥OB，CD切⊙O于D，
∴∠AOE=∠ODC=90°，
∴∠A+∠AEO=90°，∠ODA+∠CDE=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠AEO=∠EDC，
∵∠AEO=∠CED，
∴∠CED=∠EDC，
∴CD=CE．
25．如图，PA切⊙O于点P，AB交⊙O于C，B两点，求证：∠APC=∠B．
【解答】解：连接PO并延长交⊙O于点D，连接OC，DC，
∵PA切⊙O于点P，
∴OP⊥AP，
∴∠APD=90°，
∴∠APC+∠CPO=90°，
∵PD为直径，∴∠PCD=90°，
∴∠PCO+∠DCO=90°，
∵OP=OC，∴∠OPC=∠OCP，
∴∠APC=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠APC=∠PDC，
∵∠B=∠D，
∴∠APC=∠B．
26．如图，P为⊙O外一点，PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：（1）∠APB=2∠ABC；
（2）AC∥OP．
【解答】证明：（1）连接AO，
∵PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，
∴∠APO=∠BPO，OA⊥AP，PA=PB，
∴∠APB=2∠APO，∠OAP=90°，PO⊥AB，
∴∠OAB+∠BAP=90°，∠BAP+∠APB=90°，
∴∠OAB=∠APB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OBA=∠APO，
∴∠APB=2∠ABC；
（2）设AB交OP于F，
∵PA，PB是圆的切线，
∴PA=PB，
∵OA=OB
∴PO垂直平分AB．
∴∠OFB=90°．
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°．
∴∠CAB=∠OFB．
∴AC∥OP．
27．如图，已知AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC的延长线于点F．求证：AB=BF．
【解答】证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
又∵BE⊥CE，
∴OC∥BF，
∴∠ACO=∠F，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠OAC=∠F，
∴AB=BF．
28．如图所示，BC是⊙O的直径，P为⊙O外的一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B．试证明：AC∥OP．
【解答】证明：连接AB交OP于F，连接AO．
∵PA，PB是圆的切线，
∴PA=PB，
∵OA=OB
∴PO垂直平分AB．
∴∠OFB=90°．
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°．
∴∠CAB=∠OFB．
∴AC∥OP．
29．如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F，连接OB、OC．求证：∠BOC=90°﹣∠A．
【解答】解：连结OD、OE、OF，如图，
∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BF=BD，CE=CD，
∴OB平分∠DOF，OC平分∠DOE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BOC=∠EOF，
∵∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠A+∠EOF=180°，
∴∠EOF=180°﹣∠A，
∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．
30．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线交AC于E，求证：DE⊥AC．
【解答】证明：连接AD、OD．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADO+∠ODB=90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO=90°．
∴∠EDA=∠ODB．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠EDA=∠OBD．
∵AC=AB，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°．
∴∠DEA=90°．
∴DE⊥AC．
31．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点D，CD交AB于点E，判断△PDE的形状，并说明理由．
【解答】解：△PDE是等腰三角形．
理由是：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠CEO+∠OCE=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCE=∠ODE，
∵PD切⊙O，
∴∠ODE+∠PDE=90°，
∵∠OEC=∠PED，
∴∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∴△PDE是等腰三角形．
32．如图，AB是⊙0的直径，AE是弦，EF是⊙0的切线，E是切点，AF⊥EF，垂足为F，AE平分∠FAB吗？为什么？
【解答】解：AE平分∠FAB，理由如下：
连接BE，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴∠AEB=∠AFE．
∵EF是圆O的切线，
∴∠FEO=90°，
∵∠BEO+∠OEA=90°，∠OEA+∠AEF=90°，
∴∠FEA=∠BEO，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠FEA=∠EBO，
∴△AFE∽AEB，
∴∠FAE=∠EAB，
∴AE平分∠FAB的平分线．
33．（2013秋•大兴区期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE ⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=12，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵CD=12，∠C=30°，
∴AD=CD×tan30°=12×=4，
∵OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=30°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=30°，
∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=4，
∴AB=2AD=8，
即⊙O的直径是8．
34．（2013秋•滨湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的直径为13，BC=10，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵BD=DC，
∴AB=AC；
（2）证明：连接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：过D作DF⊥AB于F，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，BD=BC=×10=5，AB=13，由勾股定理得：AD=12，
由三角形面积公式得：AB×DF=AD×BD，
∴12×5=13×DF，
∴DF=，
即DE=DF=．
35．（2013秋•永定县校级期末）如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D 在圆O上，且AC⊥DC，AD平分∠EAC
（1）求证：BC是圆O的切线．
（2）若BE=8，BD=12，求圆O的半径．
【解答】（1）证明：连接DO，
∵AD平分∠EAC，
∴∠CAD=∠DAO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥DO，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BC是圆O的切线；
（2）解：∵BC是圆O的切线，
∴BE×BA=BD2，
∵BE=8，BD=12，
∴AB==18，
∴AE=18﹣8=10，
∴圆O的半径为：5．
36．（2013秋•东西湖区校级月考）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，⊙P与OA相切于D，求证：OB与⊙P相切．
【解答】证明：过点P作PE⊥OB于E，连接PD，
∵⊙P与OA相切于D，
∴PD⊥OA，
∵P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OB，
∴PD=PE，
即P到直线OB的距离等于⊙P的半径PD，
∴⊙P与OB相切．
37．（2012•通辽）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，=．求
证：
（1）AD∥OC；
（2）CD是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD．
（1）∵=，
∴∠DOE=∠BOE（等弧所对的圆心角相等）．
∴∠COB=∠DOB．
∵∠DAO=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DAO=∠COB（等量代换），
∴AD∥OC（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵BC⊥AB，
∴∠CBA=90°，即∠CBO=90°．
在△DOC和△BOC中，
，
则△DOC≌△BOC（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°，即CD是⊙O的切线．
38．（2010秋•定南县校级月考）如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D，DE⊥AC于E．
求证：
（1）DB=DC；
（2）DE为⊙O的切线．
【解答】证明：（1）连接AD．
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=CD；
（2）连接OD．
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线．
39．如图，△OAB为等腰三角形，OA=OB=2，AB=2，以O为圆心的⊙O半径为1，求证：AB与⊙O相切．
【解答】证明：作OC⊥AB于C，如图，
∵OA=OB=2，
∴AC=BC=AB=×2=，
在Rt△AOC中，OC==1，
∵⊙O半径为1，
∴OC为⊙O的半径，
而OC⊥AB，
∴AB与⊙O相切．
40．（2016•武城县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，弦AC∥OP，PC交BA的延长线于点D，求证：PD是⊙O的切线．
【解答】证明：如图，连接OC．
∵AC∥OP，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OA=OC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
∵在△POC与△POB中，
，
∴△POC≌△POB（SAS），
∴∠PCO=∠PBO．
∵PB切⊙O于点B，AB是⊙O的直径，
∴∠PBO=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切．。