【2021中考数学】二次函数培优训练含答案

【二次函数】
一．选择题
1．抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2﹣2B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2+2
2．关于二次函数y＝﹣2（x+3）2+8的图象，下列说法错误的是（）
A．开口向下B．对称轴x＝﹣3
C．最小值是8D．顶点坐标（﹣3，8）
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＞0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；
④2a+c＜0．其中正确的结论有（）个．
A．1B．2C．3D．4
4．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加
工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（）
A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min
5．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．
C．D．
6．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：
x…﹣012…
y…﹣1﹣m﹣﹣1n…
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最小值；
②不等式y＞的解集是x＜﹣或x＞；
③方程ax2+bx+c＝﹣的实数根分别位于0＜x＜﹣和＜x＜2之间；
④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；
其中正确的是（）
A．①②③B．②③C．①②D．①③④
7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留
2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）
A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x
8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+；④四边形OECF的面积是1．
其中正确的是（）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
9．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）
A．图象的开口向上
B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时y随x的增大而增大
10．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2
二．填空题
11．若是二次函数，则k＝．
12．已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，2），那么平移后的抛物线的表达式是．
13．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝12t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了m．
14．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是．
15．已知抛物线y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴交于A，B两点，直线y2＝2x+b经过点（x1，0）．若函数w＝y1﹣y2的图象与x轴只有一个公共点，则线段AB的长为．
三．解答题
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣5a与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（﹣1，﹣2a），Q（﹣4，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
17．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件．
（1）当销售单价为58元时，每天销售量是件．
（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
18．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的部分图象如图所示，A为抛物线顶点．
（1）写出二次函数的解析式；
（2）若抛物线上两点B（x1，y1），C（x2，y2）的横坐标满足﹣1＜x1＜x2，则y1y2（用“＞”，“＜”或“＝”填空）；
（3）观察图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．
19．已知，二次三项式﹣x2+2x+3．
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；
（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：x……﹣3﹣2﹣1012……
y……m71﹣117……
解答下列问题：
（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；
（Ⅱ）表格中m的值等于；
（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式．
参考答案
一．选择题
1．解：抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y＝（x+1）2+2．
故选：D．
2．解：∵二次函数y＝﹣2（x+3）2+8，
∴a＝﹣2，则抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣3，函数有最大值为：8，顶点坐标（﹣3，8）故选项A，B，D正确，不合题意，选项C错误，符合题意．
故选：C．
3．解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y 轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c ＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1，故③正确；
抛物线与x轴交点（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，有2a+b＝0，所以3a+c＝0，而a＜0，因此2a+c＞0，故④不正确；
故选：B．
4．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故选：B．
5．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，
一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函
数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知D正确．
故选：D．
6．解：由表格可得，
该函数的对称轴是直线x＝＝1，函数图象开口向上，该函数有最小值，故①正确；
不等式y＞的解集是x＜﹣或x＞，故②正确；
方程ax2+bx+c＝﹣的实数根分别位于0＜x＜﹣和＜x＜2之间，故③正确；
当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误；
故选：A．
7．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．
故选：D．
8．解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE ＝∠COF ，
∴∠EOF ＝∠BOC ＝90°， ∴△OEF 是等腰直角三角形； 故①正确；
②∵当OE ⊥BC 时，OE 最小，此时OE ＝OF ＝BC ＝1，
∴△OEF 面积的最小值是＝，
故②正确； ③∵BE ＝CF ，
∴CE +CF ＝CE +BE ＝BC ＝2， 设EC ＝x ，则BE ＝CF ＝2﹣x ， ∴EF ＝
＝，
∵0＜x ＜2， ∴≤EF ＜2， ∵
＜
＜2，
∴存在一个△ECF ，使得△ECF 的周长是2+，
故③正确；
④由①知：△OBE ≌△OCF ，
∴S 四边形OECF ＝S △COE +S △OCF ＝S △COE +S △OBE ＝S △OBC ＝S 正方形ABCD ＝×2×2＝1， 故④正确； 故选：D ．
9．解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2+1，a＝3，
∴该函数图象开口向上，故选项A正确；
函数的最小值为1，故选项B错误；
函数图象的对称轴为直线x＝2，故选项C错误；
当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D错误；
故选：A．
10．解：∵函数y＝ax2+2ax+m（a＜0），
∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，又∵函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），∴该函数图象过点（﹣4，0），
∴使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵是二次函数，
∴k2+1＝2且k﹣1≠0，
解得：k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，
∵点A（2，2）在抛物线上，
∴2＝22+k
解得：k＝﹣2，
∴平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣2．
故答案为：y＝x2﹣2．
13．解：∵s＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6，
∴当t＝1时，s取得最大值6，
即当t＝1时，汽车刹车后行驶的距离s取得最大值6m，
∴汽车刹车后到停下来前进了6m，
故答案为：6．
14．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
若抛物线与x轴有一个交点，则当x＝﹣1，y＝0；当x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解得﹣3≤n＜0；
所以，n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0．
故答案为n＝1或﹣3≤n＜0．
15．解：∵y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴交于A，B两点，而交点为（x1，0）、（x2，0），不妨设A（x1，0）、B（x2，0），
∵直线y2＝2x+b经过点（x1，0），
∴2x1+b＝0，
∴x1＝﹣，A（﹣，0），
∵函数w＝y1﹣y2的图象与x轴只有一个公共点，
∴该公共点就是点A，
∴设w＝＝x2+bx+，
∴y1＝w+y2
＝x2+bx++2x+b
＝x2+（b+2）x++b．
∴由韦达定理得：x1+x2＝﹣（b+6），x1x2＝+3b，∴|AB|＝|x1﹣x2|
＝
＝
＝6．
故答案为：6．
三．解答题
16．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5a与y轴交于点A，∴A（0，﹣5a），
点A向左平移4个单位长度，得到点B（﹣4，﹣5a）；
（2）∵A与B关于对称轴x＝﹣2对称，
∴抛物线对称轴x＝﹣2；
（3）∵对称轴x＝﹣2，
∴b＝4a，
∴y＝ax2+4ax﹣5a，
①a＞0时，点A（0，﹣5a）在y轴负半轴上，
此时，点P，Q位于抛物线内部（如图1）．
所以，抛物线与线段PQ无交点；
②当a＜0时，点A（0，﹣5a）在y轴正半轴，
当Q点在抛物线上时，则2＝16a﹣16a﹣5a，解得a＝﹣，
即当﹣≤a＜0时，（如图2），结合图象，抛物线与线段PQ有一个交点；
综上，a的取值范围是﹣≤a＜0．
17．解：（1）200+（60﹣58）×20＝240（件），
故答案为：240；
（2）设该品牌童装获得的利润为y元，
根据题意得，y＝（x﹣40）（﹣20x+1400）＝﹣20x2+2200x﹣56000，
∴销售该品牌童装获得的利润y元与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝﹣20x2+2200x﹣56000；
（3）根据题意得57≤x≤60，
y＝﹣20（x﹣55）2+4500，
∵a＝﹣20＜0
∴抛物线开口向下，当57≤x≤60时，y随x的增大而减小，
∴当x＝57时，y有最大值为4420元，
∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4420元．
18．解：（1）根据图示知，抛物线顶点坐标是（﹣1，2），则该抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2；
（2）根据图示知，当x＜﹣1时，y的值随x的值增大而减小，所以抛物线上两点B（x1，y1），C（x2，y2）的横坐标满足﹣1＜x1＜x2，则y1＞y2；
故答案是：＞；
（3）由抛物线y＝﹣（x+1）2+2的对称轴是直线x＝﹣1知，抛物线与x轴的另一交点坐标是（1，0），所以当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
19．解：（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，
△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，
∵m为整数，方程的根为有理数，
∴m﹣4＝±3，
∴m＝7或m＝1（舍）；
（2）由已知可得A（，0），B（0，n），
∵函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，
当≤﹣3，n＜3时，∴n≤﹣6；
当＞﹣3，n≥3时，∴n≥3；
当＞3，n≤3时，n不存在；
当＜3，n≥3时，3≤n＜6；
当直线与抛物线y＝﹣x2+2x+3相切时，也满足条件，可得n＝7，综上所述：n≤﹣6或3≤n＜6或7．
20．解：（Ⅰ）由表格可知，
该函数有最小值，当x＝0时，y＝﹣1，当x＝﹣1和x＝1时的函数值相等，
即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝0，顶点坐标为（0，﹣1），
设二次函数为y＝ax2﹣1，把x＝1，y＝1代入得，1＝a﹣1，解得a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣1；
（Ⅱ）把x＝﹣3代入y＝2x2﹣1得，y＝17；
∴m＝17，
故答案为17；
（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象如图：
（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，则平移后的二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2．。