高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》基础测试题附解析

新高中数学《集合与常用逻辑用语》专题解析

一、选择题

1．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12

n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C 【解析】 【分析】

必要性显然成立；由()12

n n n a a S +=

，()

111(1)2n n n a a S ---+=，得

11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，同理可得211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，综合①，

②，得122n n n a a a --=+，充分性得证，即可得到本题答案. 【详解】

必要性显然成立；下面来证明充分性， 若()12

n n n a a S +=

，所以当2n …时，()111(1)2n n n a a S ---+=， 所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，

所以当3n …

时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②， ①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()

12

n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.

2．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >- B ．{|3}x x <-

C ．{|3}x x ≤-

D ．{|23}x x ≤<

【答案】C 【解析】 【分析】

化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】

因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以A B U {|3}x x =>-，

()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.

【点睛】

本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.

3．已知集合{}

2

230A x x x =-->，(){}

lg 11B x x =+≤，则()

R A B =I ð（ ）

A ．{}13x x -≤<

B ．{}19x x -≤≤

C ．{}13x x -<≤

D ．{}19x x -<<

【答案】C 【解析】 【分析】

解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()

R A B ⋂ð. 【详解】

解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；

解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.

{}

13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，

因此，(){}

13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】

本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

4．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++…

；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题

的是（ ） A ．p B ．()p q ∨⌝

C ．()p q ⌝∧

D ．p q ∧

【答案】C 【解析】 【分析】

由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】

命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥

由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛

⎫++=

++ ⎪⎝

⎭，

可知当34x π=-

104x π⎛

⎫++< ⎪⎝

⎭，故p 为假；

命题:q 直线:0l x y m -+=与圆2

2

:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是

5m =-

若直线:0l x y m -+=与圆22

:(2)(1)8C x y -+-=相切，则

d =

= 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真， 故()p q ⌝∧为真， 故选：C. 【点睛】

本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.

5．14

a =-

是函数2

()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要

条件 【答案】A 【解析】 【分析】

将1

4

a =-

代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】

当14a =-时，2

211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭

，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要. 故选：A . 【点睛】

本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.

6．已知命题:p “关于x 的方程240x x a -+=无实根”，若p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(1,)+∞

C ．(,1)-∞

D ．(,1]-∞

【答案】B 【解析】

【分析】

求出p 为真命题时，a 的取值，由充分不必要条件的性质，得出314m +>，即可得出答案.