浙江工商大学 2018-2019 学年第一学期概率论与数理统计考试试卷

浙江工商大学2018-2019 学年第一学期考试试卷（A）
课程名称：概率论与数理统计考试方式：闭卷完成时限：120 分钟
班级名称：学号：姓名：
一、填空题（每小题3分，共30分）：
1．有五条线段，它们的长度分别为1、3、5、7、9 个单位，则从这五条线段中任取三条构成三角形的概率是。

2．已知P(A| B) = 0.4, P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, 则P(B| A) = 。

3．已知随机变量X 的密度为
⎧ax+ b,0 < x< 1 f(x) = ⎨
⎩0, 且P{X > 0.5} = 5 / 8 ，则a= b= 。

其它
4．设X ~ N(2,σ2 ) ，且P{2 < X < 4} = 0.3 ，则P{X < 0} = 。

5．已知X ~ N(−2，0.42) ，则E(X +3) 2=。

6.设X , X ,⋯X ⋯是独立同分布的随机变量序列，且E(X ) = µ, D(X ) = σ2 ，那么
1 2 n i i
1 n
2
∑X i 依概率收敛于。

i=1
7.两个随机变量X 和Y 的方差分别为DX=25,DY=36 ，相关系数ρX Y= 0.4 ，则
D(X + Y) = 。

8.设X , X , X , X 是来自正态总体N(0,22)的样本，令Y =(X +X )2+(X −X )2，
1 2 3 4 1 2 3 4 则当C =时CY ~ χ2 (2) 。

9.设供电网有10000 盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相
互独立，用切比雪夫不等式估算夜晚同时开灯数在6800 到7200 之间的概率
n
∑ Q = ∑(X ξ a
+ 10. 设 X , X ,⋅⋅⋅, X 是来自正态总体 N (µ,σ
2
) 的简单随机样本， µ和σ2 均未知，记
1 2
n
X = 1 n
n i =1 X i , n 2 i
i =1
− X ) 2 则假设H 0 : µ= 0 的t 检验使用统计量 T ＝
二、选择题（每小题 2 分，共 14 分）
１.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
（A ） F (x ) = 1+ 1
x 2
（B ） F (x ) = 1 1
arctan x
2 π
⎧0.5(1− e −x ), x > 0 x +∞
（C ） F (x ) = ⎨ ⎩
0, x ≤ 0 (D) F (x ) = ∫−∞ f (t )dt ，其中∫−∞ f (t )dt = 1
2. 对于任意两个随机变量 X 和Y ，若满足E (XY ) = E (X )E (Y ) ，则（ ） （A ） D (XY ) = D (X )D (Y ) , (B) D (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) (C) X 和Y 相互独立， (D) X 和Y 不相互独立
3. 在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有( )
(A)样本值与样本容量 (B)显著性水平α (C) 检验统计量 (D) A,B,C 同时成立
4. 设两个相互独立的随机变量 X 与Y 分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ，则（
）
(A) P {X + Y ≤ 0} = 1
2 (C) P {X −Y ≤ 0} = 1
2
(B) P {X + Y ≤ 1} = 1
2 (D) P {X − Y ≤ 1} = 1
2
5. 设随机变量 X 与Y 的概率密度函数分别为
p (x ) = ⎧1, 0 < x < 1 ⎧2e −2 y , 和 p η(y
) = ⎨ y ≥ 0 ⎩0, else ⎩ 0,
y < 0
且 X 与Y 相互独立，则E ξη = （
）
(A) 1 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/4
6. 设随机变量 X 的密度函数为 f (x ) ,分布函数为 F (x ) ,且 f (x ) = f (−x ) ,那么对任意 给定的a 都有
(A) f (−a ) = 1− ∫ f (x )dx
(B) F (−a ) = 1
− ∫
a
f (x )dx
2
(C) F (a ) = F (−a ) (D)
1 F (−a ) = 2F (a ) −1
−( x +3)2 7. 若随机变量ξ的概率密度为 f (x ) = e 4
(−∞ < x < +∞) ，则在下列随机变
2 π
量中服从标准正态分布的是
⎩
（A ）
ξ+ 3
（B ）
ξ+ 3 2
（C ）
ξ− 3
（D ）
ξ− 3 2
三、商店论箱出售玻璃杯,每箱 20 只,其中每箱含 0，1，2 只次品的概率分别为 0.8, 0.1, 0.1，
某顾客选中一箱，从中任选 4 只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含 有一个次品的概率是多少？（本题 8 分）
四、设(X ,Y )的概率密度是
f (x , y ) =
⎧Ay (1− x ),0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x ⎨
0, 其它 求 (1) A 的值
(2) 两个边缘密度
(3)求Z = X + Y 概率密度（本题 12 分）
2
2
五、一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为 0.9，且必
须至少由 80％的部件正常工作，系统才能正常工作，问 n 至少为多大时，才能使系 统正常工作的概率不低于 0.95 ？（本题 8 分）（已知Φ(1.96) = 0.975 ）
六、设总体 X 具有概率密度
⎧ θk
k −1
−θx
⎪ x e ⎨(k − 1)!
x > 0 ⎩⎪
0 其它
其中k 为已知正整数，求θ的极大似然估计和距估计量．（本题 12 分）
f (x ) =
七、某台机器加工某种零件，规定零件长度为100cm，标准差不超过2cm，每天定时检
查机器运行情况，某日抽取10 个零件，测得平均长度X = 101 cm，样本标准差S=2cm，设加工的零件长度服从正态分布，问该日机器工作是否正常（α=0.05）？
（本题12分）（χ2(9) = 16.919 ，t0.025(9) = 2.2622 ）
0.05
八、证明题（4 分）
如果P(A| B) = P(A| B) ，那么两事件A和B相互独立。