高考数学(文科)试卷及答案3套

高考数学（文科）试卷及答案3套
模拟试卷一
一、选择题（本题共12个小题）
1．已知集合A＝{x|x+3＞0}，B＝{y|y＝log3x，x＜3}，则A∩B＝（）
A．（﹣3，1）B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）
2．复数z＝2+ai（a＜0）满足|z|＝，则＝（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
3．甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图，如图，（）
①甲的平均成绩低，方差较大
②甲的平均成绩低，方差较小
③乙的平均成绩高，方差较大
④乙的平均成绩高，方差较小
A．①④B．②③C．①③D．③④
4．已知双曲线中心为原点，焦点在x轴上，过点（，2），且渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的方程为（）
A．x2﹣＝1 B．x2﹣4y2＝2 C．x2﹣＝1 D．x2﹣2y2＝1
5．已知x，y满足不等式组，则z＝3x﹣2y的最小值为（）
A．B．﹣C．2 D．﹣2
6．已知△ABC的面积为，且AB＝2，AC＝3，A为钝角，则BC＝（）
A．B．4 C．D．5
7．若非零向量，满足||＝||，且（+）⊥（3﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．
8．如图所示的程序框图，若输入m＝10，则输出的S值为（）
A．10 B．21 C．33 D．47
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
10．已知函数f（x）是奇函数，且x≥0时，f（x）＝2x+x+a，g（x）＝，若函数y＝g （x）+2x﹣b有2个零点，则b的取值范围是（）
A．（1，2] B．[2，4）C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）
11．已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），x∈R，且f（α）＝﹣，f（β）＝．若|α﹣β|的最小值为，则函数f（x）的单调递增区间为（）
A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kx+]（k∈Z）
12．已知函数f（x）＝（x2﹣a）e﹣x的图象过点（，0），若函数f（x）在（m，m+1）上是增函数，则实数m的取值范围为（）
A．[﹣1，2] B．[2，+∞）
C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若sin（π+α）＝，则cos2α＝．
14．已知直线l：x﹣y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝6相交于A，B
两点，则线段AB的长为．
15．已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，若三棱锥P﹣ABC的体积为，PA＝PB＝AC＝BC，∠POC＝120°，则球O的表面积为．
16．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2x的焦点，直线l：y＝m（2x﹣1）与抛物线C交于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|＝2|BF|，则m的值为．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．且a1＝17，2a2﹣a1＝11．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）当n为何值时，数列{a n}的前n项和最大？
18．在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．（Ⅰ）求证：OD∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：OP⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣OBC的体积．
19．高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系．为了了解考前学生的紧张程度与性别是否有关系，现随机抽取某校500名学生进行了调查，结果如表所示：
心情
性别
男女总计
正常30 40 70
焦虑270 160 430
总计300 200 500
（Ⅰ）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况与性别有关”？
（Ⅱ）若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2
人，求这两人中有女生的概率．
附：K2＝，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2c，直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）＝（a﹣）x2+lnx（a∈R）
（1）当a＝1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）证明：当时，在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．
[选修4一4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．直线l的参数方程是，（t 为参数）．
（Ⅰ）求椭圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN的长度．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．
（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共12个小题）
1．选：A．2．选：D．3．选：A．4．选：C．5．选：D．6．选：C．7．选：A．8．选：C．
9．选：B．10．选：B．11．选：B．12．选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．答案为：．14．答案为：．15．答案为：16π．16．答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．且a1＝17，2a2﹣a1＝11．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）当n为何值时，数列{a n}的前n项和最大？
【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d．由a1＝17，2a2﹣a1＝11．利用通项公式即可得出．
（Ⅱ）令a n≥0，解得n即可得出．
解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a1＝17，2a2﹣a1＝11．
∴2（17+d）﹣17＝11，解得d＝﹣3．
∴a n＝17﹣3（n﹣1）＝20﹣3n．
（Ⅱ）令a n＝20﹣3n≥0，解得n≤．
∴当n＝6时，数列{a n}的前n项和最大．
18．在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．（Ⅰ）求证：OD∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：OP⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣OBC的体积．
【分析】（Ⅰ）由已知结合三角形中位线定理得OD∥PA，再由线面平行的判定可得OD∥平面PAC；
（Ⅱ）由已知可得AC⊥BC，求解三角形证明PO⊥OC，再由线面垂直的判定可得OP⊥平面ABC；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，OP⊥平面ABC，可得OP＝1，再由三棱锥D﹣OBC的体积为P﹣ABC体积的求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵O，D分别为AB，PB的中点，∴OD∥PA，
∵PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC，
∴OD∥平面PAC；
（Ⅱ）证明：∵AC＝BC＝，AB＝2，∴AC⊥BC，
∵O为AB的中点，AB＝2，∴OC⊥AB，OC＝1，
同理，PO⊥AB，PO＝1．
又PC ＝，∴PC2＝OC2+PO2＝2，则∠POC＝90°，即PO⊥OC，
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC＝O，
∴OP⊥平面ABC；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，OP⊥平面ABC，
∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP＝1．
∴．
19．高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系．为了了解考前学生的紧张程度与性别是否有关系，现随机抽取某校500名学生进行了调查，结果如表所示：
心情
男女总计
性别
正常30 40 70
焦虑270 160 430
总计300 200 500 （Ⅰ）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况与性别有关”？
（Ⅱ）若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率．
附：K2＝，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【分析】（Ⅰ）根据题意，计算可得K2的观测值，结合独立性检验的知识分析可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分析可得抽取7人，其中有3名男生，4名女生；由组合数公式计算可得“从7人中任意抽取2人”和“抽取的两人中有女生”的选法数目，由古典概型公式计算可得答案．
解：（Ⅰ）根据题意，由2×2列联表可得：
K2的观测值k＝＝≈9.967＞6.635；
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该学校学生的考前焦虑情况与性别有关；
（Ⅱ）根据题意，若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，其中有3名男生，4名女生，
从7人中任意抽取2人，有C72＝种情况，
其中抽取的两人中有女生的抽法有C42+C41C31＝18种选法；
故其概率P＝＝．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2c，直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，又因为离心率为，从而求出b＝2，又因为a2＝b2+c2，求出a的值，从而求出椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）先求出点P的坐标，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程组，利用根与系数的关系，设A（x1，y1），B（x2，y2），得到k1+k2＝，又因为∠APB的平分线在y轴上，所以
k1+k2＝0，从而求出m的值，得到直线AB的方程为y＝kx+1过定点坐标．
解：（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，
故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，
∴＝＝，解得b＝2，
又∵a2＝b2+c2＝b2+，解得a＝2，
∴椭圆C的标准方程为：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c＝a＝2，
∴直线bx﹣y+2c＝0的方程为2x﹣y+4＝0，
令x＝0得，y＝4，即P（0，4），
设直线AB的方程为y＝kx+m，
联立方程组，消去y得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
则直线PA的斜率k1＝＝k+，
则直线PB的斜率k2＝＝k+，
所有k1+k2＝2k+＝2k+＝，
∵∠APB的平分线在y轴上，
∴k1+k2＝0，即＝0，
又|PA|≠|PB|，∴k≠0，∴m＝1，
∴直线AB的方程为y＝kx+1，过定点（0，1）．
21．已知函数f（x）＝（a﹣）x2+lnx（a∈R）
（1）当a＝1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）证明：当时，在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．
【分析】（1）当a＝1时，，利用导数研究函数的单调性即可得出最值；
（2）令，x∈（1，+∞），在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立⇔g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．利用导数研究函数的单调性即可得出g（x）大值．
【解答】（1）解：当a＝1时，，
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，
∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）证明：令，x∈（1，+∞），
在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立⇔g（x）max＜0，x∈（1，+∞）．
∵，
∴当时，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
∴g（x）＜g（1），又，
∴g（x）＜0，即f（x）＜2ax恒成立．
[选修4一4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．直线l的参数方程是，（t 为参数）．
（Ⅰ）求椭圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN的长度．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
解：（Ⅰ）椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．所以c＝1，a＝，b＝1，
所以椭圆的方程为，转换为极坐标方程为．
（Ⅱ）直线l的参数方程是，（t为参数）．转换为直角坐标方程为2x+y﹣2＝0．
设交点M（x1，y1），N（x2，y2），
所以，整理得9x2﹣16x+6＝0，
所以，，
所以|x1﹣x2|＝＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．
（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，求实数t的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，化简可得所求解集；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值，运用二次不等式的解法，可得所求范围．
解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x+3|﹣2，
不等式|f（x）|＜4即为﹣4＜f（x）＜4，
即﹣4＜|x+3|﹣2＜4，即有﹣2＜|x+3|＜6，
所以|x+3|＜6，即﹣6＜x+3＜6，可得﹣9＜x＜3，
则原不等式的解集为（﹣9，3）；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，
可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，
由|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，
可得﹣t2+4t+1≥4，即t2﹣4t+3≤0，
解得1≤t≤3．
则实数t的取值范围是[1，3]．
模拟试卷一
一、选择题（本题共12个小题）
1．若集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）
A．（﹣1，1）B．（2，3）
C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）U（2，3）
2．若复数z满足z（1+2i）＝4+3i，则＝（）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是（）
A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0
C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x≤0，x2﹣x≤0
4．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若|PT|＝2|PF|，则∠PTF＝（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．如图所示函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
6．已知变量x，y满足不等式组，则2x﹣y的最小值为（）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．48+12B．60+12C．72+12D．84
8．已知cos（﹣α）＝，α∈（，π），则sinα﹣cosα＝（）
A．B．﹣C．D．﹣
9．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（x，y）分别为（2，1.5），（3，
4.5），（4，
5.5），（5，
6.5），由最小二乘法得到回归直线方程为＝1.6x+，若计划维修费用超
过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（）
A．8年B．9年C．10年D．11年
10．公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，则的最小值为（）A．B．C．D．
11．函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
12．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲
线的左支交于点P，若|PF2|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，则a1＝．
14．已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长介于R与R 之间的概率为．
15．如图所示梯子结构的点数依次构成数列{a n}，则a100＝．
16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的角平分线，且＝+，若AB＝2，则BC＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin（A+B）＝4．
（Ⅰ）求cos C；
（Ⅱ）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．
18．改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．
（Ⅰ）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；
（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；
（Ⅲ）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．
安全意识强安全意识不强合计
男性
女性
合计
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k）0.010 0.005 0.001
k 6.635 7.879 10.828
19．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G 为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥EG；
（Ⅱ）若三棱锥V E﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．
20．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：x＝（c 为椭圆焦距的一半）的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．若|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．
21．设函数f（x）＝e x﹣ax﹣1（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．
四、解答题（共2小题，满分10分）
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．
（Ⅰ）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；
（Ⅱ）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，求实数a的取值范围．
参考答案
1．选：D．2．选：B．3．选：B．4．选：C．5．选：D．6．选：B．7．选：B．8．选：C．9．选：C．10．选：D．11．选：A．12．选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．答案为：﹣．14．答案为：．15．答案为：5252．16．答案为：2
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin（A+B）＝4．（Ⅰ）求cos C；
（Ⅱ）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．
【分析】（I）由已知结合二倍角及诱导公式进行化简可求cos C，
（II）结合三角形的面积可求CD，然后由余弦定理可求AD，再由正弦定理及诱导公式求解解：（I）∵sin（A+B）＝4，
∴＝4×，
即+2cos C＝2，
∴7cos2C﹣8cos C+1＝0，
∵C∈（0，π），
∴cos C＝1（舍）或cos C＝，
（II）b＝7，△ACD的面积为6，舍CD＝m，
结合（1）可得sin C＝，
∴＝6，
∴m＝CD＝3，
由余弦定理可得，AD2＝9＝52，
∴AD＝2，
由正弦定理可得，，
∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝
18．改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．
（Ⅰ）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；
（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；
（Ⅲ）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．
安全意识强安全意识不强合计
男性
女性
合计
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k）0.010 0.005 0.001
k 6.635 7.879 10.828
【分析】（Ⅰ）根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在80分以上的频率即可；
（Ⅱ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；
（Ⅲ）用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004）×10＝1，
解得a＝0.016；
计算得分在80分以上的频率为（0.016+0.004）×10＝0.20，
所以估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率为0.20；
（Ⅱ）根据题意知，安全意识强的人数有100×0.2＝20，
其中男性为20×＝16（人），女性为4人，
填写列联表如下；
安全意识强安全意识不强合计
男性16 34 50
女性 4 46 50
合计20 80 100 计算K2＝＝9＞7.879，
所以有超过99.5%的把握认为“交通安全意识与性别有关”；
（Ⅲ）用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人，其中[30，40）内有2人，记为A、B，[40，50）内有4人，分别记为c、d、e、f；
从这6人中随机选取2人，基本事件为：
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同取法；
则至少有1人得分低于40分的基本事件为
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种不同取法；
故所求的概率为P＝＝．
19．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G 为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥EG；
（Ⅱ）若三棱锥V E﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．
【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结EO、GO、AC，推导出OG⊥BD，EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD，进而EO⊥BD，BD⊥平面EOG，由此能证明BD⊥EG．
（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为a，则AB＝AE＝ED＝2EF＝a，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出菱形ABCD的边长．
解：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结EO、GO、AC，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，
点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．
∴OG⊥BD，EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，∴EO⊥BD，
∵OE∩OG＝O，∴BD⊥平面EOG，
∵EG⊂平面EOG，∴BD⊥EG．
（Ⅱ）解：设菱形ABCD的边长为a，则AB＝AE＝ED＝2EF＝a，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，0，），F（，，），B（0，，0），C（﹣2a，，0），＝（，，0），＝（0，，﹣），＝（﹣2a，，﹣），
设平面EFB的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝，得＝（），
∴C到平面EFB的距离d＝＝，
cos＜＞＝＝＝，
∴sin＜＞＝＝，
S△BEF＝
＝＝．
∵三棱锥V E﹣FBC＝，
∴V E﹣FBC＝＝×a＝，
解得a＝．
∴菱形ABCD的边长为．
20．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：x＝（c 为椭圆焦距的一半）的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．若|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．
【分析】（Ⅰ）由题意知椭圆的c，点F到直线l：x＝（c为椭圆焦距的一半）的距离为4知，a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆方程；
（Ⅱ）神州行AB的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB及中点坐标，再由椭圆求出Q的坐标，进而求出PQ的长，再由题意求出参数m的值，即求出直线AB的方程．
解：（Ⅰ）由题意得c＝1，+c＝4，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝3，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程：+＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（﹣1，0），x＝＝3，显然直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程：x＝my﹣1，A（x，y），B（x'，y'），
联立与椭圆的方程：（3+2m2）y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝，yy'＝，x+x'＝m（y+y'）﹣2＝，
所以中点P的坐标（，），所以AB的中垂线方程：y﹣＝﹣m（x+）即：y＝﹣mx﹣，
与直线x＝3联立得：所以Q的坐标（3，﹣），∴|PQ|2＝（3+）2+（）2
＝36•，
|AB|2＝（）2•|y﹣y'|2＝（1+m2）•[（）2+]＝48•（）2
由题意|PQ|＝2|AB|，∴36＝4•48•（）2，整理得：3m4﹣4m2﹣4＝0，解得：m2＝2，所以m＝，
所以直线AB方程：x＝y﹣1．
21．设函数f（x）＝e x﹣ax﹣1（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．
【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断，
（2）结合（1）的讨论及零点判定定理即可求解．
解：（I）∵f（x）＝e x﹣ax﹣1，
∴f′（x）＝e x﹣a，
①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增，
②a＞0时，若x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，若x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜
0，f（x）单调递减，
综上可得，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；a＞0时，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，（﹣∞，lna）上单调递减，
（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，
即e x+1＝ax﹣a+1＝a（x+1）+1有唯一的实数根，
令t＝x+1，则e t＝at+1即e t﹣at﹣1＝0有唯一的实数根，
结合（1）的讨论可知，
①当a≤0时，f′（t）＞0恒成立，f（t）在R上单调递增，f（0）＝0，结合零点判定定理可知，只
有一个零点0，
②a＞0时，若，t∈（lna，+∞），f′（x）＞0，f（t）单调递增，若t∈（﹣∞，lna），f′（t）
＜0，f（t）单调递减，
若只有1个零点，则f（lna）＝a﹣alna﹣1＝0，
令g（x）＝x﹣xlnx﹣1，则g′（x）＝﹣lnx，
则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
x＝1时，g（x）取得最大值g（1）＝0，
∴a＝1
综上可得，a的范围为{a|a≤0或a＝1}
四、解答题（共2小题，满分10分）
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．
（Ⅰ）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；
（Ⅱ）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．
【分析】（Ⅰ）参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用勾股定理的应用求出弦长．（Ⅱ）利用方程之间的转换和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为：4x+3y＝0，
曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ，转换为直角坐标方程为（x﹣5）2+y2＝25．
所以圆心（5，0）到直线4x﹣3y＝0的d＝，
所以：|MN|＝2．
（Ⅱ）圆的直角坐标方程转换为参数方程为（θ为参数），
所以y＝|x+＝|＝，
当时，y max＝15，
当时，y min＝0，
所以|x+y﹣10|的取值范围为[0，15]．
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得解集；
（Ⅱ）由题意可得f（x）min＜4，由绝对值的性质和绝对值的意义，求得最小值，解不等式可得a的范围．
解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|，
当x≥1时，f（x）≥1即2x﹣1+x﹣1≥1，解得x≥1；
当x≤时，f（x）≥1即1﹣2x+1﹣x≥1，解得x≤；
当＜x＜1时，f（x）≥1即2x﹣1+1﹣x≥1，解得x∈∅，
则原不等式的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）；
（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，
即为f（x）min＜4，
由f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|＝|x﹣|+（|x﹣|+|x﹣1|）
≥0+|（x﹣）﹣（x﹣1）|＝|1﹣|，即x＝时f（x）取得最小值|1﹣|，
所以|1﹣|＜4，
解得﹣6＜a＜10．
模拟试卷一
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I卷（选择题共60分）
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

)
1.已知i是虚数单位，，则
A. 10
B.
C. 5
D.
2.已知全集，，，则（）
A. B. C. D.
3.已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是（）
A. B. C. D.
4.为数列的前项和,其中表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则；
的因数有，则.那么（）
A. B. C. D.
5.已知中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则AB边上的中线的长为
A. B. C. 或 D. 或
6.执行如图所示的程序框图,则输出的n值是（）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11 7.已知函数，若关于的方程
恰有两个不相等的实数根， 则实数的取值范围是
A.
B. ，
C. ，
D. ，
8.关于函数2314y sin x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，下列叙述有误的是( ）
A. 其图象关于直线4
x π
=-
对称
B. 其图象关于点,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C. 其值域是[]
1,3- D. 其图象可由214y sin x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭图象上所有点的横坐标变为原来的1
3
得到 9.若函数是幂函数，且其图象过点
，则函数
的单调增区间为（ ） A. B.
C.
D.
10.函数
，
的图象大致是（ ）
11.记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩
…
表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…
；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+„.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题
中，所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ①②
C. ②③
D. ③④
12.设函数
是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒
，当
时，
．若
在
上有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
第II 卷（非选择题 90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分。

) 13.在中，角所对的边分别为
，且
，
，
，
，
则
_________.
14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
1461
3
a a a ==，，则S 5=____________． 15.已知，则
______． 16.已知命题“
”.若命题
是假命题，则实数的取值范围是_____________.
三、解答题 (共6小题 ,共70分。

) 17. （12分）已知集合
；设
，
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. （12分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足
． 求的值； 若
，求
的面积S 的最大值．
19. （12分）已知函数()f x 的图象与函数()1
h x x x
=+的图象关于点()0,1A 对称. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()()g x xf x ax =+，且()g x 在区间(]
0,4上为减函数，求实数a 的取值范围.
20. （10分）某工厂加工一批零件，加工过程中会产生次品，根据经验可知，其次品率与日产量（万件）之间满足函数关系式
，已知每生产1万件合格品可获利2万元，但生产1万件次品将亏损
1万元.(次品率=次品数/生产量）.
（1）试写出加工这批零件的日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少？ 21. （12分）已知数列为等比数列，其前n 项和为若，且是，是的等比中
项． 求数列的通项公式； 若
，求数列
的前n 项和．
22.（12分）已知函数()2
3x
f x e x =+， ()91
g x x =-. （1）求函数()()4x
x xe x f x ϕ=+-的单调区间；
（2）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明。

参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B
C
C
C
C
A
B
B
D
A
C
13. 14. 15.0 16. 17.
解 分别求出关于M ，N 的范围，根据集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解出即可． ∵log 2（2x
﹣2）＜1，
∴0＜2x ﹣2＜2，解得：1＜x ＜2， 故M={x|1＜x ＜2}，
∵x 2+（3﹣a ）x ﹣2a （3+a ）＜0，a ＜﹣1， ∴（x+a+3）（x ﹣2a ）＜0， ∵a＜﹣1，∴2a＜﹣3﹣a ， 故N={x|2a ＜x ＜﹣3﹣a}， ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴
，
①②中等号不同时成立，
即a ≤﹣5． 18.（1）；（2）
.
解
，B ，C 是三角形的内角，且满足，
，
．
则； ．
，b ，c 是
的边，且
， ．
的面积S 的最大值为
．
19.（1）1
2x x
+
+；（2）(],10-∞-. 解（1）∵()f x 的图象与()h x 的图象关于点()0,1A 对称，设()f x 图象上任意一点坐标为(),B x y ，其关于()0,1A 的对称点(),B x y '''，
则0
2{
12
x x
y y +'
+=='∴{ 2x x y y ''=-=- ∵(),B x y '''在()h x 上，∴1y x x ''=+'
. ∴12y x x -=--
，∴1
2y x x =++， 即()1
2f x x x
=++.
（2）∵()()g x xf x ax =+= ()2
21x a x +++且()g x 在(]
0,4上为减函数，
∴2
42
a +-
≥， 即10a ≤-.
∴a 的取值范围为(]
,10-∞-.
20.（1）
（2）当日产量为4万元时可获得最大利润万元
解 (1)当时，
当
时，
所以函数关系为 ；
(2) 当时，
所以当时取得最大值2
当时，
，
所以在函数单调递减，所以当
时，取得最大值，
又
所以当日产量为4万元时可获得最大利润万元.
21.（1）；（2）
.
解数列为公比为q 的等比数列．
若，且
是
，
是的等比中项，
可得， 即为，解得
舍去，
则
；
，
则前n 项和
，
，
两式相减可得
，
化简可得
．
22.（1）()x ϕ在(),ln2-∞上单调递增，在()ln2,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.（2）()()f x g x >
解（1）()()()
'22x
x x e ϕ=--，
令()'0x ϕ=，得1ln2x =， 22x =； 令()'0x ϕ>，得ln2x <或2x >； 令()'0x ϕ<，得ln22x <<.
故()x ϕ在(),ln2-∞上单调递增，在()ln2,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.
（2）()()f x g x >. 证明如下：
设()()()h x f x g x =-= 2391x e x x +-+，∵()'329x
h x e x =+-为增函数，
∴可设()0'0h x =，∵()'060h =-<， ()'1370h e =->，∴()00,1x ∈. 当0x x >时， ()'0h x >；当0x x <时， ()'0h x <.
∴()()0min h x h x = 02
00391x
e x x =+-+，
又003290x
e x +-=，∴0
0329x e
x =-+，
∴()2
000min 2991h x x x x =-++-+ 2
001110x x =-+ ()()00110x x =--.
∵()00,1x ∈，∴()()001100x x -->， ∴()min 0h x >， ()()f x g x >.。