八年级 相似多边形 北师大版

相似多边形【预习检测】一、选择题1．下列图形中一定相似的是__________．A．有一个角相等的两个平行四边形B．有一个角相等的两个等腰梯形C．有一个角相等的两个菱形D．有一组邻边对应成比例的两平行四边形2．下列结论不正确的是__________．A．所有的矩形都相似B．所有的正方形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似3．五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是__________．A．5∶4 B．4∶5 C．5∶25 D．25∶54．如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是__________．A．2∶1 B．4∶1C．2∶1 D．1∶2【高效课堂】知识点一：相似多边形的定义、性质与判定如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似；反之相似多边形的对应边成比例，对应角相等。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

【注意】（1）两个边数不同的多边形一定不相似，仅有对应角相等（如正方形与矩形）或仅有对应边成比例（如正方形与菱形）的多边形并不一定相似；相似多边形的两个条件缺一不可．（2）与相似三角形类似，相似多边形也具有传递性。

（3）相似比也有顺序性。

(4)常见的正三角形、正方形、正n边形（n≥5）都分别是相似形.例1：如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求BC、CD的长和∠D′的大小．变式题：（1）如图（1）与（2）,等腰梯形ABCD 与等腰梯形A ′B ′C ′D ′相似,∠A ′=65°,A ′B ′=6 cm, AB =8 cm, AD =5 cm,试求梯形ABCD 的各角的度数与A ′D ′、B ′C ′的长．图（1） 图（2）【随堂训练】1、 如图，EFAD ∽ABCD ，则∠A 的对应角是________，∠B 的对应角是________，ABAF )() ( .2、 所有的黄金矩形都是________.3、 两个相似多边形的对应边的比是32，则这两个多边形的相似比是________. 4、下列图形中一定相似的是( )A 、有一个角相等的两个平行四边形B 、有一个角相等的两个等腰梯形C 、有一个角相等的两个菱形D 、有一组邻边对应成比例的两平行四边形 5、下列结论不正确的是( )A 、所有的矩形都相似B 、所有的正方形都相似C 、所有的等腰直角三角形都相似D 、所有的正八边形都相似7.如图，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x 、y 、z 的长度和∠α、∠β的度数.8.如图，已知下图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示.9.图中的两个多边形相似吗?说说你的理由.【预习作业】1.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________．2.若△ABC 与△A ′B ′C ′相似，一组对应边的长为AB =3 cm ，A ′B ′=4 cm ，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是________．3.若△ABC 的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A ′B ′C ′的最小边长为12 cm ，那么△A ′B ′C ′的最大边长是________．4.两个相似三角形的____________相等，____________成比例.5.如图，△ADE∽△ACB，其中∠1=∠B，则ABBCAD )()()(==.相似三角形【预习检测】1.已知△ABC 的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么 △A ′B ′C ′的形状是______，又知△A ′B ′C ′的最大边长为20 cm ，那么△A ′B ′C ′的面积为________．2.如图，画一个三角形，使它与已知△ABC 相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2∶1.3.如图.从下面这些三角形中，选出相似的三角形____________________.【高效课堂】知识点一:相似三角形的定义、表示方法、及性质三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles ）.如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF其中对应顶点要写在对应位置，如A 与D ，B 与E ，C 与F 相对应.AB ∶DE 等于相似比. 如果△ABC ∽△DEF ，那么它们的对应角应相等，对应边应成比例.用符号语言表示为：∠A =∠D 、∠B =∠E 、∠C =∠F .EFBCDF AC DF AC DE AB ===. 例：（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？变式题：分别根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应比例式.图2-22 图2-23 图2-24(1)如图2-22，△ABC∽△ADE，其中DE∥BC，则_________=_________=_________.(2)如图2-23，△AOB∽△DOE，其中DE∥AB，则_________=_________=_________.(3)如图2-24，△ABC∽△ADE，其中∠ADE=∠B，则_________=_________=_________.知识点二：相似三角形性质的应用例2：如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°，求（1）∠AED和∠ADE的度数；（2）DE的长．变式题：△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长.【随堂训练】1.△DEF ∽△MNH ，∠D =50°,∠E =105°,则∠H =____________；2.如图，△ADB ∽△ABC ,若∠A =75°,∠D =45°,则∠CBD=____________.3.△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，则△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________.4.如图，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，则BCDE的值为_________. 5.如图，DE ∥BC ，AB=12，AC=16，AE=10，则AD=__________.第四题图 第五题图6.△ABC 的三条边长之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C ，的最大边为15cm ，那么它的最小边为_________，另一边为_________.【预习作业】1.如果一个三角形的两个角与另一三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说： ，两个三角形相似。

2.推理格式：如图，在△ABC 和△C B A '''中，如果B B A A '∠=∠'∠=∠,，那么 .3.如图，E 是ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE 交CD 于F 点，那么图中共有( )对相似三角形.A B C C 'B ' A 'A.1B.2C.3D.4 4.下列各组图形中有可能不相似的是( ) A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形 C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形探索三角形相似的条件相似三角形第一课时【预习检测】1、如图，在8×8的方格图中，画△A ’B ’C ’，使A ’C ’∥AC ，B ’C ’∥BC, (1)如果∠A=250,∠B=1350那么∠A=∠’A ，∠B ’=____，∠C ’=____。

(2)测量两个三角形的三边长后判定△ABC 与A ’B ’C ’是否相似？(3)发现：两角 两三角形相似。

2、关于三角形相似下列叙述不正确的是( )A.有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似B.有一个角对应相等的两个等腰三角形相似C.所有等边三角形都相似D.顶角对应相等的两个等腰三角形相似 3、（2009无锡市）如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE 于F ，试说明：ABF EAD △∽△．【高效课堂】知识点一: 判定三角形相似的方法一如果两个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为两角对应相等两三角形相似）（1）此种方法告诉我们要识别两个三角形是否相似，只需要找到这两个三角形有两组对应角相等即可。

显然在两个三角形中，若有两个角对应相等，则第三个角肯定也相等，所以不需要证明BB'C 'A 'C A第三个角相等。

这种方法不用边我们就可以证明两个三角形相似，是判断两个三角形相似的重要方法之一。

（2）该判定方法从另一方面说明，对于一个三角形，两个角可以确定其形状，但不能确定其大小，若要确定其大小，至少还需要添加一条边的边长。

例1：如图，已知△PMN 是等边三角形，∠APB=0120，求证：AP PN PB AM ⋅=⋅.变式题：已知：△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =40°，∠B =70°，∠A ′=40°，∠C ′=70°． 求证：△ABC ∽△A ′C ′B ′．【随堂训练】1、已知△ABC 与△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’=750，∠C=500，∠A ′=550，这两个三角形相似吗？为什么？2、判断正误,已知△ABC 与△A ’B ’C ’中，∠A 、∠A ’分别是对应角（1）若∠A=∠A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’ （ ） （2）若∠B=∠B ’且∠C=∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’ （ ） （3）若△ABC 与△A ’B ’C ’有一个角对应相等，则△ABC ∽△A ’B ’C ’ （ ） 3、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是 （ ） A 、 1对 B 、 2对 C 、 3对 D 、 4对4、如图所示，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠AED=60°，则AD·AB=AE·AC ，请你说明理由。

D A EAB C D EF P2 1 NM BA5、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=900，BD ⊥DC ，试说明△ABD ∽△DCB6、如图，DE ∥BC ，试找出下列图形中的相似三角形并说明理由。