旺苍县七中八年级数学上册 第六章 数据的分析 1 平均数 第2课时 算术平均数与加权平均数的应用教案

第2课时 算术平均数与加权平均数的应用
1．会求加权平均数，体会权的差异对平均数的影响；理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，能利用平均数解决实际问题．
2．通过探索算术平均数和加权平均数的联系与区别的过程，培养学生的思维能力；通过有关平均数的问题的解决，发展学生的数学应用能力．
3．通过解决实际问题，体会数学与社会生活的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．
重点
会求加权平均数，体会权的差异对平均数的影响．
难点
理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，能利用平均数解决实际问题．
一、复习导入
师：什么是算术平均数？什么是加权平均数？请同学们各举一个有关算术平均数和加权平均数的实例，与同伴进行交流．
在学生的复习交流中引入课题：本节课将继续研究生活中的加权平均数，以及算术平均数和加权平均数的联系与区别．
二、探究新知
课件出示教材第139页学校广播操比赛题．
对于第(1)问，让每一位学生动手计算，然后教师抽取几个不同层次的学生做的结果投影展示，进行评价．
解：一班的广播操成绩为：9×10%＋8×20%＋9×30%＋8×40%＝8.4(分)．
二班的广播操成绩为：10×10%＋9×20%＋7×30%＋8×40%＝8.1(分)．
三班的广播操成绩为：8×10%＋9×20%＋8×30%＋9×40%＝8.6(分)．
因此，三班的广播操成绩最高．
对于第(2)问，让学生先在小组内各抒己见，然后在全班交流体会，归纳：
以上四项所占的比例不同，即权有差异，得出的结果就会不同，也就是说权的差异对结果有影响．
三、举例分析
小颖家去年的饮食支出为3 600元，教育支出为1 200元，其他支出为7 200元，小颖家今年的这三项支出依次比去年增长9%，30%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？
以下是小明和小亮的两种解法，谁做得对？说说你的理由．
小明：13
(9%＋30%＋6%)＝ 15%. 小亮：9%×3600＋30%×1 200＋6%×7 2003 600＋1 200＋7 200
＝9.3%. 学生分组讨论，全班交流，说明理由：
由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额 3 600，1 200，7 200分别视为三项
支出增长率的“权”，从而求出总支出的增长率所以小亮的解法是对的．
四、练习巩固
1．教材第139页“议一议”．
2．教材第140页“随堂练习”第1，2题．
注意事项：对学生的解题过程和结果做适当的评价，特别要关注中下等生，对他们点点滴滴的进步都要给予鼓励．
五、小结
师：说说算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？
教师引导学生比较、议论、交流、总结出结论：
算术平均数是加权平均数各项的权都相等的一种特殊情况，即算术平均数是加权平均数，而加权平均数不一定是算术平均数．
由于权的不同，导致结果不同，故权的差异对结果有影响．
六、课外作业
教材第140～141页习题6.2的第1～6题．
数学学习不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式．本节课的几个教学环节通过想一想、议一议、做一做等数学活动来引导学生探索和交流，体会权的差异对平均数的影响，认识算术平均数和加权平均数的联系与区别．在改变学生学习方式的同时让学生增强数学的应用意识，了解数学的价值，提高思维能力，增进学好数学的信心.
第十一章三角形周周测2
一、选择题
1、三角形的边长都是整数，并且唯一的最长边是6，则这样的三角形共有（）
A、5个
B、6个
C、7个
D、12个
2、三角形的边三边长为15，20，25，则此三角形是
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
3、△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）
A．a＋b=c B．a＋b>c
C．a＋b<c D．a2＋b2=c2
4、下列关于三角形的中线，角平分线，高的说法中错误的是（）
A、三角形的高一定在三角形内
B、三角形的中线是线段
C、三角形的角平分线一定在三角形内
D、等边三角形三线合一
5、已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（）A．2a B．－2b C．2a＋2b D．2b－2c
6、下列是利用了三角形的稳定性的有（）个
①自行车的三角形车架；
②长方形门框的斜拉条；
③照相机的三脚架；
7、有一种三条腿的圆凳，这是利用了三角形的下列哪一个性质
A．等边三角形三条边相等
B．三角形任何两边之和大于第三边
C．三角形具有稳定性
D．三角形内角和是180°
8、下列叙述中正确的是（）
（A ）三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的射线，叫做三角形的角平分线。

（B ）连结三角形一个顶点和它对边中点的直线，叫做三角形的中线。

（C ）从三角形一个顶点向它的对边画垂线叫做三角形的高。

（D ）三角形的三条中线总在三角形的内部。

9..三角形一边上的高（ ）
（A ）必在三角形内部 （B ）必在三角形外部
（C ）必在三角形的边上 （D ）以上三种情况都有可能
10.如图，BC AC ⊥于C ，AB CD ⊥于D ，BC DE ⊥于E ，则下列说法中错误的是（）
（A ）ABC ∆中，AC 是BC 边上的高
（B ）BCD ∆中，DE 是BC 边上的高
（C ）ABE ∆中，DE 是BE 边上的高
（D ）ACD ∆中，AD 是CD 边上的高
11．如图，有一△ABC ，今以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于D 点，以C 为圆心，AC 长为半径画弧，交BC 于E 点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD 、AE 、BE 、CD 的大小关系，下列何者正确？（ ）
A ．AD=AE
B ．AD ＜AE
C ．BE=C
D D ．B
E ＜CD
12．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A ．5，6，10
B ．5，6，11
C ．3，4，8
D ．4a ，4a ，8a （a ＞0）
13．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
14．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
15．(怀化中考改编)等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，求它的周长．
如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是()
A．20°B．30°C．45°D．60°
16．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有( )
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC.
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
17如图：已知△ABC，请你画出△ABC的高AD，中线BE，角平分线CF。

并根据画图填空：
AD______BC，AE______CE，∠ACF______∠BCF。

18．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．
19. 如图，在△ABC中，AB＝5厘米，BC＝3厘米，BM为中线，则△ABM与△BCM的周长之
差是2厘米．
20.如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条根．
三、解答题
21．如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．
22、好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决。

如图，在△ABC中，∠BAC=50°，点I是两角B、C平分线的交点。

（1）∠BIC=______°
（2）若点D是两条外角平分线的交点，则∠BDC=______°
（3）若点E是∠ABC、∠ACG的角平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由。

（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于多少度时，CE∥AB。

23.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在D点的运动过程中，试判断BE＋CF的值是否发生改变？
18.1 平行四边形
一．选择题（共10小题）
1．如图，ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD BD =，AE EC =，6BC =，则(DE = )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．5
2．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，ABC ∠、BCD ∠的平分线分别交
AD 于点E 、F ，则EF 的长是( )
A ．3
B ．2
C ．1.5
D ．1
3．下列说法错误的是( )
A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．已知四边形ABCD ，以下有四组条件：（1）//AB CD ，AB CD =；（2）AB AD =，AB BC =；（3）A D ∠=∠，B D ∠=∠；（4）//AB CD ，//AD BC ．能判定四边形ABCD 是平行四边形的有( )
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
5．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，连接OE ，若30COE ∠=︒，50ADC ∠=︒，则(BAC ∠= )
A ．80︒
B ．90︒
C ．100︒
D ．110︒
6．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A ．OA OC =，O
B OD =
B ．OA O
C =，//AB C
D C ．AB CD =，OA OC =
D ．ADB CBD ∠=∠，BAD BCD ∠=∠ 7．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC AB ⊥，5AB =，且:2:3AC BD =，那么AC 的长为( )
A ．25
B ．5
C ．3
D ．4
8．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，AE 是BAC ∠的角平分线，AE CE ⊥于点E ，连接DE ．若7AB =，1DE =，则AC 的长度是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．如图，在ABCD 中，60B ∠=︒，4AB =，对角线AC AB ⊥，则ABCD 的面积为( )
A ．63
B ．12
C ．123
D ．163
10．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )
A ．24
B ．20
C ．12
D ．10
二．填空题（共8小题）
11．已知直线//a b ，a 与b 之间的距离为5，a 与b 之间有一点P ，点P 到a 的距离是2，则点P 到b 的距离是 ． 12．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为 ．
13．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC CD ⊥，//OE BC 交CD 于E ，若4OC =，3CE =，则BC 的长是 ．
14．如图，ABCD 的对角线相交于点O ，且AD CD ≠，过点O 作OM AC ⊥，交AD 于点M ．若3AB =，CDM ∆的周长为9，则BC = ．
15．在ABCD 中，30A ∠=︒，43AD =，连接BD ，若4BD =，则线段CD 的长为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，5BC =．BCD ∠的平分线交AD 于点F ，交BA 的延长线于点E ，则AE 的长为 ．
17．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），E 、F 分别为DM 、MN 的中点，若23AB =2AD =，
则EF长度的最大值为．
18．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在ABC
∆中，AB AC
=，点D、点E是BC、AC的中点，用已经学习过的定
理说明：
1
2
DE AC
=．
20．已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB 交于E，与CD交于F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
21．如图，在ABC
∆中，90
ABC
∠=︒，60
BAC
∠=︒，ACD
∆是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长，交DC于点F，求证：
（1）ABE CFE
∆≅∆；
（2）四边形ABFD是平行四边形．
22．如图，E 、F 是ABCD 对角线AC 上两点，且AE CF =．
（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形．
（2）如果把条件AE CF =改为BE DF =，试问四边形BFDE 还是平行四边形吗？为什么？
23．如图，在四边形ABCD 中，//AD CB ，E 为BD 中点，延长CD 到点F ，使DF CD =．
（1）求证：AE CE =；
（2）求证：四边形ABDF 为平行四边形；
（3）若1CD =，2AF =，2BEC F ∠=∠，求四边形ABDF 的面积．
24．如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 交BD 于点O ，AD BD =，ADB EDC ∠=∠，DE DC =．
（1）求证：ADE BDC ∆≅∆；
（2）若36AEB ∠=︒，求EDC ∠；
（3）若OB OE =，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
25．如图在四边形ABCD中，//
=．M是CD的中点P是
=，9
BC cm
AD BC，5
AD cm
BC边上的一动点P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．
（2）当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．如图，ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD BD =，AE EC =，6BC =，则(DE = )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．5
【解答】解：AD BD =，AE EC =， DE ∴是ABC ∆的中位线，
2BC DE ∴=，
3DE ∴=，
故选：B ．
2．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，ABC ∠、BCD ∠的平分线分别交
AD 于点E 、F ，则EF 的长是( )
A ．3
B ．2
C ．1.5
D ．1
【解答】解：平行四边形ABCD ，
DFC FCB ∴∠=∠，
又CF 平分BCD ∠，
DCF FCB ∴∠=∠，
DFC DCF ∴∠=∠，
DF DC ∴=，
同理可证：AE AB =，
21AB BC AE FD BC EF cm ∴-=+-==．
故选：D ．
3．下列说法错误的是( )
A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解答】解：
由平行四边形的判定方法可知：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A 、B 、D 说法正确，
当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故C 是说法错误的， 故选：C ．
4．已知四边形ABCD ，以下有四组条件：（1）//AB CD ，AB CD =；（2）AB AD =，AB BC =；（3）A D ∠=∠，B D ∠=∠；（4）//AB CD ，//AD BC ．能判定四边形ABCD 是平行四边形的有( )
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
【解答】解：（1）//AB CD ，AB CD =， ∴四边形ABCD 是平行四边形；
（2）AB AD =，AB BC =，
∴四边形ABCD 不一定是平行四边形；
（3）A D ∠=∠，B D ∠=∠，
∴四边形ABCD 不一定是平行四边形；
（4）//AB CD ，//AD BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
故选：B ．
5．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，连接OE ，若30COE ∠=︒，50ADC ∠=︒，则(BAC ∠= )
A ．80︒
B ．90︒
C ．100︒
D ．110︒
【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∠=∠=︒，
ABC ADC
∴=，50
DO OB
=，
DO OB
=，DE EC
∴，
OE BC
//
ACB COE
∴∠=∠=︒，
30
∴∠=︒-︒-︒=︒，
BAC
1805030100
故选：C．
6．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A．OA OC
AB CD
=，//
=B．OA OC
=，OB OD
C．AB CD
∠=∠，BAD BCD
∠=∠
=D．ADB CBD
=，OA OC
【解答】解：A、OA OC
=，
=，OB OD
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
B、OA OC
AB CD，
=，//
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
=，OA OC
=，
C、AB CD
∴四边形ABCD不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形；
D、ADB CBD
∠=∠，
∠=∠，BAD BCD
∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形．
故选：C．
7．如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC AB
AB=，且
⊥，5
AC BD=，那么AC的长为()
:2:3
A．5B5C．3 D．4
【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
=，
OA OC
∴=，OB OD
AC BD=，
:2:3
:2:3
OA OB
∴=，设2
OA m
=，3
BO m
=，
AC BD
⊥，
90
BAO
∴∠=︒，
222
OB AB OA
∴=+，
22
954
m m
∴=+，
1
m
∴=±，
m >，
1
m
∴=，
24
AC OA
∴==．
故选：D．
8．如图，在ABC
∆中，D是BC边的中点，AE是BAC
∠的角平分线，AE CE
⊥于点E，连接DE．若7
AB=，1
DE=，则AC的长度是()
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：延长CE，交AB于点F．
AE平分BAC
∠，AE CE
⊥，
EAF EAC
∴∠=∠，AEF AEC
∠=∠，
在EAF
∆与EAC
∆中，
AEF EAC
AE AE
AEF AEC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
()
EAF EAC ASA
∴∆≅∆，
AF AC
∴=，EF EC
=，
又D是BC中点，
BD CD
∴=，
DE
∴是BCF
∆的中位线，
22
BF DE
∴==．
725 AC AF AB BF
∴==-=-=；故选：A．
9．如图，在ABCD 中，60B ∠=︒，4AB =，对角线AC AB ⊥，则ABCD 的面积为( )
A ．63
B ．12
C ．123
D ．163
【解答】解：在ABCD 中，60B ∠=︒，4AB =，对角线AC AB ⊥， tan 43AC AB B ∴=⨯∠=，
ABCD ∴的面积为443163AB AC =⨯=，
故选：D ．
10．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )
A ．24
B ．20
C ．12
D ．10
【解答】解：BD CD ⊥，8BD =，6CD =，
22228610BC BD CD ∴=+=+=，
E 、
F 、
G 、
H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，
12EH FG BC ∴==，12
EF GH AD ==， ∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+，
又10AD =，
=+=，
∴四边形EFGH的周长101020
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．已知直线//
a b，a与b之间的距离为5，a与b之间有一点P，点P到a的距离是2，
则点P到b的距离是 3 ．
【解答】解：直线//
a b，a与b之间的距离为5，a与b之间有一点P，点P到a的距
离是2，
-=，
∴点P到b的距离是523
故答案为：3．
12．如图，平行四边形ABCD中，3
∠，交AD于点
AB cm
=；，BE平分ABC
BC cm
=，5
+的长度为4cm．
E，交CD延长线于点F，则DE DF
【解答】解：平行四边形ABCD，
//
∴，
AD BC
∴∠=∠，
AEB CBF
BE平分ABC
∠，
∴∠=∠，
ABF CBF
∴∠=∠，
AEB ABF
∴=，
AB AE
同理可得：BC CF
=，
=，
3
BC cm
=，5
AB cm
∴=．5
=，
CF cm
AE cm
3
DF cm
=-=，
DE cm
∴=-=，532
532
∴+=+=，
DE DF cm
224
故答案为：4cm．
13．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC CD
OE BC交CD于
⊥，//
E，若4
CE=，则BC的长是10 ．
OC=，3
【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴=，//
AD BC，
OA OC
OE BC，
//
∴，
//
OE AD
∆的中位线，
∴是ACD
OE
CE cm
=，
3
DC OE
∴==⨯=．
2236
CO=，
4
∴=，
AC
8
⊥，
AC CD
2222
∴=+=+=，
AD AC CD
6810
∴==，
10
BC AD
故答案为：10．
14．如图，ABCD的对角线相交于点O，且AD CD
⊥，交AD于点
≠，过点O作OM AC
M．若3
∆的周长为9，则BC= 6 ．
AB=，CDM
【解答】解：ABCD是平行四边形，
=，
=，AD BC
∴=，AB CD
OA OC
⊥，
OM AC
AM MC
∴=．
=+=，
AD CD
∴∆的周长9
CDM
==，
3
AB CD
∴==，
BC CD
6
故答案为6．
15．在ABCD 中，30A ∠=︒，43AD =，连接BD ，若4BD =，则线段CD 的长为 4或8 ．
【解答】解：作DE AB ⊥于E ，如图所示：
30A ∠=︒，
1232
DE AD ∴==， 36AE DE ∴==，22224(23)2BE BD DE =-=-=，
4AB AE BE ∴=-=，或8AB AE BE =+=，
四边形ABCD 是平行四边形，
4CD AB ∴==或8；
故答案为：4或8．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，5BC =．BCD ∠的平分线交AD 于点F ，交BA 的延长线于点E ，则AE 的长为 3 ．
【解答】解：在平行四边形ABCD 中，2AB =，5BC =，
2CD AB ∴==，5AD BC ==，//AD BC ，
DFC FCB ∴∠=∠，
CE 平分DCB ∠，
DCF BCF ∴∠=∠，
DFC DCF ∴∠=∠，
2DC DF ∴==，
3AF ∴=，
//AB CD ，
E DC
F ∴∠=∠，
又EFA DFC ∠=∠，DFC DCF ∠=∠，
AEF EFA ∴∠=∠，
3AE AF ∴==，
故答案为：3．
17．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），E 、F 分别为DM 、MN 的中点，若23AB =，2AD =，则EF 长度的最大值为 2 ．
【解答】解：连接BD 、DN ，
在Rt ABD ∆中，224DB AD AB =+=，
点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，
12
EF DN ∴=， 由题意得，当点N 与点B 重合时，DN 最大，
DN ∴的最大值是4，
EF ∴长度的最大值是2，
故答案为：2．
18．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为 16或20 ．
【解答】解：如图所示：①当2AE =，4DE =时，
四边形ABCD 是平行四边形，
6BC AD ∴==，AB CD =，//AD BC ，
AEB CBE ∴∠=∠，
BE 平分ABC ∠，
ABE CBE ∴∠=∠，
ABE AEB ∴∠=∠，
2AB AE ∴==，
∴平行四边形ABCD 的周长2()16AB AD =+=；
②当4AE =，2DE =时，
同理得：4AB AE ==，
∴平行四边形ABCD 的周长2()20AB AD =+=；
故答案为：16或20．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、点E 是BC 、AC 的中点，用已经学习过的定理说明：12
DE AC =．
【解答】解：ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 的中点，
AD BC ∴⊥，
E 为AC 的中点，
12
DE AC ∴=． 20．已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F ．
求证：四边形AECF 是平行四边形．
【解答】证明：平行四边形ABCD 中//AB CD ，
OAE OCF ∴∠=∠，
又OA OC =，COF AOE ∠=∠，
()AOE COF ASA ∴∆≅∆，
OE OF ∴=，
∴四边形AECF 是平行四边形．
21．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，ACD ∆是等边三角形，E 是AC 的中点，连接BE 并延长，交DC 于点F ，求证：
（1）ABE CFE ∆≅∆；
（2）四边形ABFD 是平行四边形．
【解答】证明：（1）ACD ∆是等边三角形，
60DCA ∴∠=︒，
60BAC ∠=︒，
DCA BAC ∴∠=∠，
在ABE ∆与CFE ∆中，
DCA BAC AE CE
BEA FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
ABE CFE
∴∆≅∆；
（2）E是AC的中点，
∴=，
BE EA
∠=︒，
BAE
60
∴∆是等边三角形，
ABE
∴∆是等边三角形，
CEF
∴∠=︒，
60
CFE
∆是等边三角形，
ACD
CDA DCA
∴∠=∠=︒，
60
∴∠=∠，
CFE CDA
BF AD
∴，
//
∠=∠=︒，
DCA BAC
60
AB DC
∴，
//
∴四边形ABFD是平行四边形．
22．如图，E、F是ABCD对角线AC上两点，且AE CF
=．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）如果把条件AE CF
=，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什=改为BE DF
么？
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O．
ABCD是平行四边形
∴=OB OD
=（平行四边形的对角线互相平分）
OA OC
又AE CF
=
=
∴-=-，即OE OF
OA AE OC CF
∴四边形BFDE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
（3）四边形BFDE 不是平行四边形
因为把条件AE CF =改为BE DF =后，不能证明BAE ∆与DCF ∆全等．
23．如图，在四边形ABCD 中，//AD CB ，E 为BD 中点，延长CD 到点F ，使DF CD =．
（1）求证：AE CE =；
（2）求证：四边形ABDF 为平行四边形；
（3）若1CD =，2AF =，2BEC F ∠=∠，求四边形ABDF 的面积．
【解答】（1）证明：//AD CB ，
DAC BCA ∴∠=∠， E 为BD 中点，
DE BE ∴=，
在ADE ∆和CBE ∆中，DAC BCA
AED CEB DE BE
∠=∠
⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ADE CBE AAS ∴∆≅∆，
AE CE ∴=；
（2）证明：由（1）得：AE CE =，BE DE =， ∴四边形ABCD 是平行四边形，
//AB CD ∴，AB CD =，
DF CD =，
//AB DF ∴，AB DF =，
∴四边形ABDF 为平行四边形；
（3）解：四边形ABDF 为平行四边形，
F DBA ∴∠=∠，2BD AF ==，AB DF =，
2BEC F ∠=∠，BEC DBA BAC ∠=∠+∠，
DBA BAC ∴∠=∠，
AE BE DE ∴==，
90BAD ∴∠=︒，
1AB CD ==， 223AD BD AB ∴=-=，
1DF AB ==，
∴四边形ABDF 的面积3DF AD =⨯=．
24．如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 交BD 于点O ，AD BD =，ADB EDC ∠=∠，DE DC =．
（1）求证：ADE BDC ∆≅∆；
（2）若36AEB ∠=︒，求EDC ∠；
（3）若OB OE =，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
【解答】（1）证明：ADB EDC ∠=∠，
ADE BDC ∴∠=∠，
在ADE ∆和BDC ∆中，AD BD
ADE BDC DE DC
=⎧
⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ADE BDC SAS ∴∆≅∆；
（2）解：ADE BDC ∆≅∆，
AED C ∴∠=∠，
36AEB ∠=︒，
1
(18036)722AED DEC C ∴∠=∠=∠=︒-︒=︒，
188027236
∴∠=︒-⨯︒=︒；
EDC
（3）证明：OB OE
=，
∴∠=∠，
OBE OEB
DAE OBE
∠=∠，
∴∠=∠，
OEB DAE
AD BC
∴，
//
∴∠=∠，
ADB OBE
∴∠=∠，
ADB DAE
∴=，
OA OD
∴=，
AE BD
=，
AD BD
AE AD
∴=，
∆≅∆，
ADE BDC
AE BC
∴=，
∴=，
AD BC
∴四边形ABCD是平行四边形．
25．如图在四边形ABCD中，//
=．M是CD的中点P是
BC cm
=，9
AD BC，5
AD cm
BC边上的一动点P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．
（2）当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
【解答】解：（1）//
AD BC
∴∠=∠
QDM PCM
M是CD的中点，
DM CM
∴=，
∠=∠
DMQ CMP
∠=∠，DM CM
=，QDM PCM
()PCM QDM ASA ∴∆≅∆． DQ PC ∴=，
//AD BC ，
∴四边形PCQD 是平行四边形， ∴不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形；
（2）当四边形ABPQ 是平行四边形时，PB AQ =， BC CP AD QD -=+， 95CP CP ∴-=+，
(95)22CP ∴=-÷=． ∴当2PC =时，四边形ABPQ 是平行四边形．。