测量学课本 6章 测量误差的基础知识

2. 测量仪器和设备
由于测量仪器结构的不完善，测量的精密度有一定的限度，因而使观测值产生误差。例 如，利用具有厘米分划的水准尺进行水准测量时，就难以保证毫米读数正确无误；同时，仪 器本身也有一定的误差，如水准仪的视准轴不严格平行于水准轴；经纬仪度盘的刻划误差等； 此外，即使使用自动化精密仪器如全站仪、GPS 接收机等采集数据也会存在仪器误差。另 外，观测目标本身的结构、状态和清晰程度等，也会对观测结果直接产生影响，如三角测量 中的观测目标觇标和圆筒由于风吹日晒而产生了偏差都会使测量结果产生误差。
偶然误差的区间分布
表 1-1
误差的区间 单位是秒
个数 ni
∆ 为负值
频率 ni n
ni nd∆
∆ 为正值
个数 ni
频率 ni n
备注
ni nd∆
96
0.00~0.50
45
0.50~1.00
40
1.00~1.50
33
1.50~2.00
23
2.00~2.50
17
2.50~3.00
13
3.00~3.50
l2，…，ln ，在各次观测中产生的误差（相对于“真值”而言又可称为“真误差”）为∆1，∆2，…，
∆n ，将其定义为
∆i = li − L~, (i = 1, 2, ⋯, n)
（1-1）
在实际工作中，一般采取反复观测、多方印证，才能揭示误差、发现错误、提高观测
结果质量。因此，研究观测误差的内在规律，对带有误差的观测数据进行数学处理并评定其
在某测区，在相同观测条件下，独立地观测了 358 个平面三角形的全部内角，由 ∆i = (Ai + Bi + Ci) −180°算得各三角形的真误差（称为三角形闭合差）。将真误差取误差
区间d∆ = 0.5′′，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差个数ni ，并计算
相对个数ni / n ，ni / n 称为该区间的误差出现的频率，结果列于表 1-1 内。
6.1.3 偶然误差的规律性
测量误差理论主要研究以下问题：在具有偶然误差的一系列观测值中，如何求得最可靠 的结果和评定观测成果的精度。为此需要对偶然误差的性质作进一步的讨论。
偶然误差是由无数偶然因素影响所致，因而单个偶然误差的数值大小和符号正负都是偶 然的（或随机的）。然而，反映在个别事物上的偶然性，在大量同类事物的统计分析中却呈 现出一定的统计规律性。例如，一个具有一定技术水平的射手进行射击实验，假设仅考虑许 多偶然因素的影响，每发射一弹命中靶心的上、下、左、右都有可能，但当射击次数足够多 时，弹着点就会呈现出明显的规律性，即越靠近靶心越密；越远离靶心越稀；差不多围绕靶 心对称分布。偶然误差具有与之类似的规律性。为寻求偶然误差的规律性，下面通过测量实 例来说明。
f (∆)
∆
0
图 1-2 误差分布曲线 理论上，可由概率论中的中心极限定理给出证明。中心极限定理指出：若随机变量 y 是 众多随机变量 xi (i = 1,2,⋯, n) 之和，y = x1 + x2 +⋯+ xn ，如果 xi 相互独立，且对 y 的影 响均匀的小，则当n 相当大时，随机变量 y 趋于服从正态分布。偶然误差正是这一类型的随 机变量，即， ∆ = ∆1 + ∆2 + ⋯ + ∆n 。 通过以上讨论，可以进一步用概率的术语来概括偶然误差的几个特性： （1）在一定观测条件下，偶然误差在数值上不会超出一定界限（即有界性）； （（23））绝绝对对值值小相的等误的差正比负绝误差对出值现大的的概误差率出大现致的相概等（率即要对大称（性即）聚。中性）； （4）偶然误差的数学期望为零
ni / n d∆
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
∆
1.0 2.0 3.0 4.0
图 1-1 误差分布直方图
如表 1-1，如果在观测条件不变的情况下，再继续观测更多的三角形，则可以预见，随 着观测个数的增加，误差出现在各区间的频率其变动的幅度也就愈来愈小，当n → ∞ 时， 各频率将趋于一个完全确定的值，这个值即为误差出现在各区间的概率。这就是说，一定的
精确程度等，就成为测量工作中需要解决的重要实际问题。
6.1.1 测量误差产生的原因
观测误差产生的原因很多，概括起来主要有以下三个方面。
1. 观测者
由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，因此在仪器的安置、照准、读数等 方面都会产生误差。同时，观测者的技术水平、工作态度以及情绪的变化，也会对观测成果 的质量产生影响。
第 6 章 测量误差的基础知识
本章导读
差【的本特章性提、要评】定本精章度主的要标讲准述、测误量差误传差播的定基律本、知等识精，度主观要测内直容接包平括差：及测不量等误精差度概观述测、直偶接然平误 差。 中【误学差习、目相标对】了误解差误、差容的许概误念差和的产概生念的及原计因算，，掌重握点系掌统握误误差差和传偶播然定误律差及的应特用性。及处理方法，
通常把观测条件相同的观测称为等精度观测，在相同观测条件下所获取的观测值称为等 精度观测值；而观测条件不同的观测称为非等精度观测，相应的观测值称为非等精度观测值。
6.1.2 测量误差分类
观测误差根据对测量结果的影响性质的不同，可分为系统误差、偶然误差和粗差三类。 由1．观系测统条误件差中某些特定因素的系统性影响而产生的误差称为系统误差。同等观测条件下 的一系列观测中，系统误差的大小和符号常固定不变，或呈系统性变化。 观测条件中能引起系统误差的因素有许多。如，用带有一定误差的尺子量距时，使结果 带有的系统误差，属于仪器误差；再有，风向、风力、温度、湿度、大气折射、地球弯曲等 等外界因素，也都可能引起系统误差。 系统误差对观测结果的影响一般具有累积性，它对成果质量的影响也特别显著。所以在 测量结果中，应尽量消除或减弱系统误差对观测成果的影响。为达到这一目的，通常采取如 下措施： （1）找出系统误差出现的规律并设法求出它的数值，然后对观测结果进行改正。例如 用钢尺丈量距离时，对丈量的结果进行尺长改正，就可消除尺长误差的影响。 （2）制订有效的观测方法和操作程序，使系统误差按数值接近、符号相反的规律交错 出现，从而在观测结果的综合中实现较好的抵消。例如，在水准测量中，可尽量使前、后视 距离相等的方法来消减由于视准轴不平行于水准管轴以及地球曲率和大气折光所造成的系 统误差。 （从3测）量认结真果仔中细，检完校全仪消器除，系使统系误统差误是差不对可结能果的的。影实响际降上低只到能最尽低量。使它们的影响减少到最 低限度。 由2．观偶测然条误件差中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差称为偶然误差。偶然误差的出 现，就单个而言，无论数值和符号，都无规律性，而对于大量误差的总体，却存在一定的统 计规律。 偶然误差是由许多随机因素影响所致的小误差的代数和。例如，用经纬仪测角时，测角 误差主要是由照准、读数等引起的误差所构成，而这里的每项误差又是由许多随机因素所致。 如其中的照准误差就可能是由于脚架或觇标晃动及扭转、风力风向变化、目标背景、大气折 光与大气透明度等的影响。可见，测角误差是许许多多微小误差的代数和，而每一项微小误 差又随着偶然因素影响的不断变化，其数值可大可小，符号或正或负。因此，测量中数不清 的受偶然因素影响而产生的小误差，它们的大小和正负，既不能控制也不能事先预知，当然 由它根们的据代概数率和论与所数构理成的统计偶然理论误可差，知其，如数果值各的个大误小差和项符对号其的总正和负的也影是响偶都然是的均。匀的小，那么 它们的总和将是服从或近似服从正态分布的随机变量。因此有时偶然误差又称为随机误差。 在一切测量中，误差是不可避免的。观测数据只带有偶然误差的情形占大多数，是比较
3. 外界环境
94
都会观对观测测过结程果所产处生的影客响观；环同境时，，如随温着度这、些湿因度素、风的力变、化风，向如、温大度气的折高光低、，电湿离度层的延大迟小等，因风素力 的强弱及大气折光的不同，其对观测结果的影响也不同。在这种多样而变化的外界自然条件 下进行观测，就必然使观测结果产生误差。
上述的观测者、测量仪器、外界环境这三个方面的因素是使测量产生误差的主要来源， 把好这，观三测个中因产素生合的称误观差测就条会件小。显，测然量，观成测果条的件质的量好就坏会直高接；观影测响条着件测差量，成产果生的的质观量测。观误测差就条件会 大，测量成果的质量就会低；如果观测条件相同，观测误差的量级应该相同。
6
3.50~4.00
4
4.00~∞
0
总和
181
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505
0.630
46
0.560
41
0.460
Hale Waihona Puke Baidu33
0.320
21
0.235
16
0.180
13
0.085
5
0.055
2
0
0
177
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495
由于进行了多余观测，而每个观测值又带有偶然误差，就会产生一定的问题。如前面所 述，多次观测某一段距离，就会产生不符值；进行n 个测段的闭合水准路线测量就会产生闭 合差（高差闭合差）。如何处理由于多余观测引起的观测值之间的不符值或闭合差？一是采 用近似平差的方法，即采用不符值或闭合差的相反数，以适当的原则分配给观测值，最终消 除不符值或闭合差，如第 4 章的水准路线成果整理；另一种方法就是测量平差（严密平差）， 即根据偶然误差的概率统计特性，依照某种最优化准则（如最小二乘理论），由一系列带有 观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度。
97
测量实条件际上对误应差着的一取种值确是定的连误续的差分，设布想。误差个数无限增多，所取区间间隔无限缩小时，则图 1-1 的直方图中各长方形顶边所形成的折线的极限将形成一条光滑曲线，设以 f (∆)表示，
则得如图 1-2 所示的光滑曲线。这种曲线就是偶然误差的分布曲线。这一曲线随着n 的增大， 与正态分布密度曲线极为接近，所以一般总是认为，偶然误差的频率分布为其经验分布，当 n → ∞时，偶然误差的频率分布是以正态分布为其极限的，将正态分布看作是偶然误差的 理论分布。
值，即
ni nd∆
（此处取
d∆
=
0.5′′
），作一系列长方形。图中每一长方形面积即为误差出现于
该相应区间的频率，例如图 1-1 中画有斜线的长方形面积就是代表误差出现在0′′.00 ~ 0′′.05 区象间地内表的示了频误率差0.的12分8，布所情有况长。方形面积之和等于 1。这种图通常称为误差分布直方图，它形
6.1 测量误差概述
测量实践表明，当测量足够精细时，同一量的多次观测结果，常会有一定的差异。存在 固有关系的几个量的观测结果，常会出现某种程度的不符，这就是测量误差存在的反映。例 如，对一段距离重复测量若干次，量得的长度不是总完全相同的。再如对三角形的三个内角 进行多次观测，则三内角观测值之和常常不等于 180°，而是有差异的。
3．粗差
粗差主要是由失误引起的，一般以异常值或孤值形式表现出来。如测错、读错、记录错、 计算错、仪器故障等所引起的偏差。经典测量中，这类粗差一般采取变更仪器或操作程序、 重复观测和检核验算、分析等方式，检出粗差并予以剔除。因此，可以认为观测值中已基本 没有粗差。现代测量中，观测过程中的电子化、自动化程度日益提高，观测数据自动记录、 自动传输和计算，粗差的检测和分析，已成为一个重要问题。所以，在观测方案的设计和实 施、观测中的检核及测后的分析处理中，采取有效措施进行粗差的探测和消除，是非常重要 的。
0.640
等 于 0.575
区 间 0.460
左 端 0.295
值 的 0.225
误 差 0.180
列 入 0.070
该 区 0.030
0
间内
界限，考或察者这说一超统出计一表定，可界以限的归纳闭合出偶差然出现误的差概的规率律为：零（；（1）2这）些绝闭对合值小差的在数闭合值差上比不会绝对超值出大一的定 闭合为差出了现更的直概观的率了要解大；偶（然3）误差绝对的值分相布等情的况正，下负面闭根合据差表个数1-1大的致数相据等做。出图形（图 1-1）。具 体作法是，以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔
在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在 测量工作中是普遍存在的。为什么会产生这种差异呢？这是由于观测值中包含有观测误差的 缘故。任何一个观测值，客观上总存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该
观测量的“真值”，一般用 L~ 表示。对此量进行了n 次等精度观测，设得到的观测值为l1，
95
普遍存在的。为了检验观测结果的精确性和提高观测结果的可靠性，实践中得出的有效方法 是进行多余观测。所谓多余观测就是多于必要观测的观测。如直接测量某一段距离的大小时， 不是只观测一次，而是观测多次，这时，其中一次是必要观测，其它则为多余观测；又如， 进行闭合水准路线测量时，不是观测n −1个测段的高差，而是观测了n 个测段的高差，其 中一个测段的高差就是多余观测。