排列与组合

6
P77
种方法
P77 − 2 P66 + P55 = 3720
(3)二分法
个数字中任取3个 从1,3,5,7这4个数字中任取 个，从0，2,4 这 个数字中任取 ， 个数字中任取2个 这3个数字中任取 个，可以组成多少个无重复数 个数字中任取 字的五位数？ 字的五位数？
第一类：取0，有
3 1 C4 C2
名同学中选出2名去参加一项 （2）从甲、乙、丙3名同学中选出 名去参加一项 ）从甲、 名同学中选出 活动，有多少种不同的选法？ 活动，有多少种不同的选法？

一、组合的概念
一般地， 个不同的元素中取出m(m≤n) m(m≤n)个元 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合。 一个组合。 排列与组合的联系与区别： 排列与组合的联系与区别： 都是从n个不同的元素中取出m个元素， 1、都是从n个不同的元素中取出m个元素，且m≤n 2、有序问题是排列，无序问题是组合。 有序问题是排列，无序问题是组合。 同一组合只要元素完全相同。 3、同一组合只要元素完全相同。
2 5辆汽车从停车场分五班开出，其中甲车 辆汽车从停车场分五班开出， 辆汽车从停车场分五班开出 必须在乙车之前开出， 必须在乙车之前开出，则发车方案种数为 （c ） A.24
题目分析： 题目分析： 以甲车必须在乙车之前开出为解题关键， 以甲车必须在乙车之前开出为解题关键，考虑甲车和乙车的 开出顺序。 开出顺序。
种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成
P41 P44 个五位数。
3 1 ∴ N1 = C4 C2 P41 P44
第二类：不取0，有 C4 C2 种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成
3
2
P55
个五位数。
3 2 ∴ N 2 = C4 C2 P55
于是，组成五位数的个数是： N
= N1 + N 2 = 1248(种)
∴ N = C = 126(个)
4 9
（1）画格子，坐位置 从甲、 从甲、乙、丙、丁、戌五位同学中选三位，安排每一位到京、津、沪旅游 戌五位同学中选三位，安排每一位到京、 中的一地，有几种选派方法？ 中的一地，有几种选派方法？
分析： 分析： 我们把京、 我们把京、津、沪看作三个位置，于是问 沪看作三个位置， 题就转化为五位同学选三位分坐三个位置的问 所以， 题，所以，选派方法共有
• 这些排列的总数 是
•3
2=6
接着来讨论有三个元素以上的情况 • 从a,b,c,d这4个字母 • 中每次取出三个按顺 序排成一列，共有多 • 少种不同的排法 • 同样我们把所有的情 况都列出来 a b c d
b c d a c d a b d a bc
c dbdbcc dada cbd ada bbcaca b
（4）变换命题法 如图，圆上有九个点，每两点连一线段，所有线段在圆内最多有几个交点？ 如图，圆上有九个点，每两点连一线段，所有线段在圆内最多有几个交点？ A B P C D
分析： 分析： 设线段AC、 在圆内交于 在圆内交于P点 设线段 、BD在圆内交于 点，连AB 、 BC、 CD、 DA，得到一个四边形 、 、 ，得到一个四边形ABCD， ， 于是问题转化为九个点可组成几个四边形。 于是问题转化为九个点可组成几个四边形。
4 3
第二类：四个信箱中的某一个信箱有2 封信，而另一个信箱有1封信，有投信方 2 法N2= C4 C32 P22 第三类：四个信箱中的某三个信箱各有 一封信，有投信方法N3= C 3 P 3
4 3
所以，投信方法共有： N=N1+N2+N3=64种
一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（ 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上 午四节，下午两节），要求上午第一节不排体育， ），要求上午第一节不排体育 午四节，下午两节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上 班会课排在下午，有多少种不同的排课方法？ 午，班会课排在下午，有多少种不同的排课方法？
第二部分
公式
• 从m个不同的元素中取出n(n≦m)个元素的 所有排列的个数，叫做从m个不同元素中 取出n个元素的排列数 ， 记作 P m 排列数 n • 由问题1，2可知 • •
P32 =3×2×1=6
P43 =4×3×2×1=24
Pnm 可以通过依次填n个空位来考虑 • 求排列数
• 1，第一位可以从n个元素中选一个来填上，有 n种填法 • 2，第二位可以从剩下的n-1个元素中任选一个， 共有n-1种填法 • …… • n, 第n位只能从余下的n-(m-1)个元素中任选 一个，共有n-m+1种填法
解法一： 解法一：从数学课下手 第一类：数学课排在第一节，班会课限排在下午，（如图 ）， 第一类：数学课排在第一节，班会课限排在下午，（如图1），其余四科 ，（如图 ），其余四科 可任意排入另四节， 可任意排入另四节，得N1= P1 P 4 = 48
2 4
上午 数
下午 班
或下午 班
第二类：数学课排在上午另三节中的一节，班会课限排在下午， 第二类：数学课排在上午另三节中的一节，班会课限排在下午，体育课 可排入余下（不含上午第一节）三节中的一节（如图2）， ），而其余三科可 可排入余下（不含上午第一节）三节中的一节（如图 ），而其余三科可 任意排入另三节， 任意排入另三节，的N2= P1 P1 P1 P 3 = 108
5 第三步：其余5人坐其余5个位置，得 P5
∴ N1 = P51 P51 P55
第二类： 第一步：甲坐末位，得 P 1
1
第二步：其余6人坐其余6个位置，得 P66
∴ N 2 = P66
所以，满足条件的不同坐法共有： N=N1+N2=3720 种
解法二：间接法 七人并坐，共有 甲坐首位，有 P6 种方法，乙坐末位，有 P 6 种方 6 法，甲坐首位，乙坐末位都不符合题意要求，所以 要从 7 中扣除，但在扣除的过程中，甲坐首位恰 P7 乙坐末位的情况被减了两次，因此还需补回一个 P55 所以，不同的坐法数为N= N=
二、组合数的概念
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 m(m≤n) 的所有组合的个数，叫做从n 的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中 m 组合数。 表示。 取出m个元素的组合数 取出m个元素的组合数。用符号Cn 表示。
三、组合数公式
一般地，求从n个不同元素中取出m 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步：
N=P
3 5
（2）先组后排
四件不同的奖品，全部奖给三位同学，并要求每人至少一件， 四件不同的奖品，全部奖给三位同学，并要求每人至少一件， 有几种奖励方法？ 有几种奖励方法？ 分析： 分析： 设四件奖品为a， ， ， ，显然，要将它们分成2,1,1 设四件奖品为 ，b，c，d，显然，要将它们分成 2 三组，因此第一步是组合， 三组，因此第一步是组合，得
因此， 因此，共有排法 N=N1+N2=108+48=156 种
（2）直接法和间接法
七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有几种不同的立法？ 七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有几种不同的立法？
解法一：直接法 第一类：
1 第一步：甲在第2-6号位中择一而坐，得 P5
P51 第二步：乙在第1-6号位中余下的5个位置中择一而坐，得
3 2 3 3
上午 数 体
下午 班 因此， 因此，共有排法 N=N1+N2=48+108=156
解法二： 解法二：从体育课入手
P31 P31 P21 P33 = 108 第一类：体育课排在上午， 第一类：体育课排在上午，N1=
2 4 第二类：体育课排在下午， 第二类：体育课排在下午，N2= P2 P4 = 48
(m 、 n ∈ N 且 m ≤ n)
*
第三部分
例题
1 在由数字1,2,3,4,5组成数字不重复的五位数 中，小于50000的偶数有（ C ） A.60个 B.48个 C.36个 D.24个
题目分析: 题目分析
因为是偶数，所以个位数在 和 中选 中选； 因为是偶数，所以个位数在2和4中选；又因为小于 50000，所以万位数在 里选。 ，所以万位数在1,2,3,4里选。 里选
第一部分 简单排列问题
• 从甲，乙，丙3名同学中 选出两名参加某天的一 项活动，其中一名同学 参加上午的活动，一名 同学参加下午的活动， 有多少种不同的方法
上午 甲 乙 丙
下午 乙 丙 甲 丙 甲 乙
我们先把所有 的情况都列出 来，然后来看 看有什么规律
• 通过上面那个例子我 们发现有6种情况： • 甲乙 问 题 • 甲丙 可 以 • 乙甲 转 化 • 乙丙 为 • 丙甲 • 丙乙 • 个 个 有 种排 列
（1）元素、位置分析法
3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 封不同的信， 个信箱可供投递， 封不同的信 个信箱可供投递 共有多少种投信的方法？
解法一：元素分析法（以信为主） 第一步：投第一封信，有4种不同 的投法； 第二步：再投第二封信，也有4种 不同的投法； 第三步：最后投第三封信，仍然有 4种不同的投法 因此，投信的方法共有： 4X4X4=64种 解法二:位置分析法（以信箱为主） 第一类：四个信箱中的某一个信箱有3 封信，有投信方法N1= C 1C 3
C4
d 是一种组合，再让它们坐到甲、 是一种组合，再让它们坐到甲、 我们假定 a，b c 3 丙三个位置上去，因此第二步是排列， 乙、丙三个位置上去，因此第二步是排列，得
P3
所以不同的奖励法共有：N= 所以不同的奖励法共有：
C P = 36
2 3 4 3
(3)先和后分
5本不同的理科书和 本不同的文科书并排放在书架上，要求 本不同的理科书和3本不同的文科书并排放在书架上 要求3 本不同的理科书和 本不同的文科书并排放在书架上， 本文科书并列，有几种不同的放法？ 本文科书并列，有几种不同的放法？ 分析： 分析： 有 先把3本文科书作一个单元与 本理科书一起进行全排列 先把 本文科书作一个单元与5本理科书一起进行全排列， 本文科书作一个单元与 本理科书一起进行全排列， 6 种排法。 种排法。
由此可得出所有的排法 • abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb • 4×3×2=24 4 3 2=24
由上面的两个例子我们可得结论 结论 个不同元素中取出m﹝ 从n个不同元素中取出 ﹝m≤n﹞个元素，按照一定 个不同元素中取出 ﹞个元素， 的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素 的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素 的一个排列。 的一个排列。
个不同元素中取出m个元素的组合数 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 步 先求出从这n个不同元素中取出 第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 步 求每一个组合中m个元素的全排列数
根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到： ．
P = C ⋅P
m n m n
m m
n! = m!(n − m)!
B.48
C.60
D.96
3 从4台A型和 台B型的电视机中，任取 台， 型和5台 型的电视机中 任取3台 型的电视机中， 台 型和 要求至少有A型和 型各一台的取法数为 要求至少有 型和B型各一台的取法数为 型和 A （ ） A.70 B.140 C.84 D.35
题目分析： 题目分析： 如取一台A型 则其余 台可都是 台可都是B型 如取一台 型，则其余2台可都是 型；如取 一台B型 则其余2台可都是 台可都是A型 一台 型，则其余 台可都是 型。
• 我们可以得到这样一个公式 •
P
m n =m(m-1)(m-2)…(m-n+1)
• 当从n个不同元素中全部取出一个排列时， 叫做n个不同元素的一个全排列 全排列 •
P
n n =n!
问题
名同学中选出2名分别参加某 （1）从甲、乙、丙3名同学中选出 名分别参加某 ）从甲、 名同学中选出 天上、下午的活动，有多少种不同的选法？ 天上、下午的活动，有多少种不同的选法？