余弦定理、正弦定理应用 高中数学教案6-4-3 第4课时

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例

学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．

知识点一基线的概念与选择原则

1．定义

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．

2．性质

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

知识点二测量中的有关角的概念

1．仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)

2．方向角

从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)

思考李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？

答案东南方向．

1．仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角．(√)

2．两点间不可到达又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解．

(√)

3．两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．

(

√)

4．高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决．(√)

一、距离问题

例1如图，为测量河对岸A ，B 两点间的距离，沿河岸选取相距40m 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，求A ，B 两点的距离．

解在△BCD 中，∠BDC ＝60°＋30°＝90°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝90°－45°＝∠BCD ，∴BD ＝CD ＝40，BC ＝BD 2＋CD 2＝40 2.

在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝60°＋45°＝105°，

∴∠CAD ＝180°－(30°＋105°)＝45°.

由正弦定理，得AC ＝CD sin 30°sin 45°

＝20 2.在△ABC 中，由余弦定理，得

AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠BCA ＝(202)2＋(402)2－2×202×402cos 60°＝2400，∴AB ＝206，

故A ，B 两点之间的距离为206m.

反思感悟

求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是

(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．

(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．

跟踪训练1(1)A ，B 两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C ，测得CA ＝7km ，CB ＝5km ，C ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________km.

答案

39解析由余弦定理，得

AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C

＝72＋52－2×7×5×12

＝39.

∴AB ＝39.(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120m ，则河的宽度是________m.

答案

60解析tan 30°＝CD AD ，tan 75°＝CD DB

，又AD ＋DB ＝120，

∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°，

∴AD ＝603，故CD ＝60.即河的宽度是60m.

二、高度问题

例2如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是()

A ．10m

B ．102m

C ．103m

D ．106m 答案

D 解析在△BCD 中，CD ＝10m ，∠BDC ＝45°，

∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，

由正弦定理，得

BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠DBC ，故BC ＝10sin 45°sin 30°

＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝

AB BC ，故AB ＝BC ×tan 60°＝106(m)．

反思感悟测量高度问题的解题策略

(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．

(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．跟踪训练2珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为()

A．10米B．9.72米

C．9.40米D．8.62米

答案C

解析根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin70°≈9.4(米)．

三、角度问题

例3甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？

解如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，

则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝3at(海里)，

B＝180°－60°＝120°，