2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学
试卷
一、填空题（共54分）
1．设是两个单位向量，它们的夹角是60°，则＝．2．已知sinθ+cosθ＝，则sin2θ＝．
3．函数的最小正周期不大于4，则实数k的最小值为．
4．已知函数在[0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是．
5．在三角形ABC中，有命题：在△ABC中，有命题：
①﹣＝；
②++＝；
③若（+）•（﹣）＝0，则三角形ABC为等腰三角形；
④若•＞0，则三角形ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是．
6．若，则＝．
7．若函数f（x）＝tan2x﹣a tan x（|x|≤）的最小值为﹣6，求实数a的值为．8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为cm2．
9．已知函数在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为．
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2＝2021c2，则
的值为．
11．已知函数的部分图象如图所示，若f（x0）＝（﹣
＜x0＜），则cos3x0＝．
12．已知函数f（x）＝，若关于x的不等式f（x）≥|ax+1|在R上恒成立，
则实数a的取值范围是．
二、选择题（每小题5分，共20分）
13．下列说法正确的是（）
A．函数y＝cos x在第一、二象限都是减函数
B．第二象限角大于第一象限角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第二象限，则是第一或第三象限角
14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（）
A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称
C．关于点（，0）对称D．关于直线x＝对称
15．已知向量，为单位向量，且•＝﹣，向量与共线，则|+|的最小值为（）A．1B．C．D．
16．若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ＝0，4β3+sinβcosβ+λ＝0，则cos（+β）的值为（）
A．0B．C．D．
三、解答题（共76分）
17．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．
（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；
（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2+3c2﹣4．（1）求sin A；
（2）若3c sin A＝a sin B，且c＝，求△ABC的周长．
19．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D 分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．
（1）当∠EFP＝时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．
20．（16分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）
图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f （x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＜P•f（x）成立，则称函数f（x）是D 上的P级递减周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝P•f（x）成立，则称函数f（x）
是D上的P级周期函数，周期为T．
（1）已知函数f（x）＝x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a 的取值范围；
（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数P的取值范围；
（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．
参考答案
一、填空题（共54分）
1．设是两个单位向量，它们的夹角是60°，则＝．解：∵是两个单位向量，它们的夹角是60°，
∴||＝||＝1，•＝1×＝，
∴﹣•＝1﹣＝．
故答案为：．
2．已知sinθ+cosθ＝，则sin2θ＝﹣．
解：因为sinθ+cosθ＝，
两边平方，可得1+2sinθcosθ＝，
则sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣．
故答案为：﹣．
3．函数的最小正周期不大于4，则实数k的最小值为π．解：∵函数的最小正周期不大于4，≤4，∴k≥π，
则实数k的最小值为π，
故答案为：π．
4．已知函数在[0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（0，1）．解：因为函数在[0，2]上单调递减，
所以＞1，所以0＜a＜1，
所以a的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
5．在三角形ABC中，有命题：在△ABC中，有命题：
①﹣＝；
②++＝；
③若（+）•（﹣）＝0，则三角形ABC为等腰三角形；
④若•＞0，则三角形ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是②③．
解：在三角形ABC中，由于﹣＝，故①不正确．
由于++＝+＝，故②正确．
由于（+）•（﹣）＝＝0，故有AB＝AC，三角形ABC为等腰三角形，故③正确．
由于＝||•||cos A＞0，故A为锐角，但B和C的范围不确定，故不能推出三角形ABC为锐角三角形，故④不正确．
故答案为②③．
6．若，则＝．
解：因为，
所以4（）＝1，
所以sin（x+）＝，
则＝sin[π]＝sin（x+）＝，
故答案为：．
7．若函数f（x）＝tan2x﹣a tan x（|x|≤）的最小值为﹣6，求实数a的值为±7．解：∵|x|≤，∴m＝tan x∈[﹣1，1]，
∴y＝tan2x﹣a tan x＝m2﹣am，m∈[﹣1，1]，
由二次函数知识可知：
当＜﹣1即a＜﹣2时，函数y＝m2﹣am在m∈[﹣1，1]上单调递增，
故当m＝﹣1时，函数取最小值，即1+a＝﹣6，解得a＝﹣7符合题意；
当＞1即a＞2时，函数y＝m2﹣am在m∈[﹣1，1]上单调递减，
故当m＝1时，函数取最小值，即1﹣a＝﹣6，解得a＝7符合题意；
当﹣1≤≤1即﹣2≤a≤2时，函数y＝m2﹣am在m∈[﹣1，]上单调递减，
在m∈[，1]上单调递增，故当m＝时，函数取最小值，
即﹣＝﹣6，解得a＝±2，均不符合题意
综上可得a的值为：±7
故答案为：±7
8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为704cm2．
解：如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
由题意可得：，
解得：r＝，
所以，S扇面＝S扇形OCD﹣S扇形OAB＝×64×（+16）﹣×24×＝704cm2．
故答案为：704．
9．已知函数在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为[，）．
解：f（x）＝ωx+cosωx＝2sin（ωx+），
因为x∈[0，π]，所以ωx+∈[，ω]，
要使f（x）在[0，π]上有两个零点，
则2π≤ω≤3π，解得≤ω＜，
所以ω的取值范围为[，）．
故答案为：[，）．
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2＝2021c2，则
的值为1010．
解：由已知得a2+b2﹣c2＝2020c2，
即2020c2＝2ab cos C，
所以cos C＝，
则＝＝＝＝＝1010．
故答案为：1010．
11．已知函数的部分图象如图所示，若f（x0）＝（﹣＜x0＜），则cos3x0＝．
解：设f（x）的最小正周期为T，则有，
故，所以ω＝±3，
因为，
所以，
当ω＝3时，则，不符合题意；
当ω＝﹣3时，则，又，所以，
故，
则，
因为，所以，
又因为，所以，
故，
所以
．
故答案为：．
12．已知函数f（x）＝，若关于x的不等式f（x）≥|ax+1|在R上恒成立，则实数a的取值范围是[0，]．
解：当x＞0时，f（x）≥|ax+1|在R上恒成立，即为|ax+1|≤x+，也即﹣x﹣≤ax+1≤x+，
可得﹣1﹣﹣≤a≤1﹣+，
由y＝1﹣+＝4（﹣）2+≥，可得a≤，
由y＝﹣1﹣﹣＝﹣4（+）2﹣＜﹣，可得a≥﹣，
则﹣≤a≤；
当x＝0时，f（0）＝2＞|a•0+1|恒成立；
当x＜0时，﹣（x2+2x+2）≤ax+1≤x2+2x+2，
即x++2≤a≤﹣x﹣﹣2恒成立，
由y＝﹣x﹣﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当x＝﹣时，取得等号，可得a ≤2﹣2；
由y＝x++2≤﹣2+2＝0，当且仅当x＝﹣1取得等号，可得a≥0，
则0≤a≤2﹣2，
综上可得，a的取值范围是[0，]．
故答案为：[0，]．
二、选择题（每小题5分，共20分）
13．下列说法正确的是（）
A．函数y＝cos x在第一、二象限都是减函数
B．第二象限角大于第一象限角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第二象限，则是第一或第三象限角
解：对于A，y＝cos x在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z上是减函数，是余弦函数在每个对应区间上单调递减，第一、二象限内的角不一定在一个区间内，所以选项A错误；
对于B，第二象限角不一定大于第一象限角，如α＝是第二象限角，β＝是第一象限角，所以选项B错误；
对于C，三角形内角的取值范围是（0，π），内角为时不是象限角，所以选项C错误；
对于D，当α是第二象限时，2kπ+≤α≤2kπ+π，k∈Z，则kπ+≤≤kπ+，k∈Z；
k为偶数时，是第一象限角，k为奇数时，为第三象限角；所以选项D正确．故选：D．
14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（）
A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称
C．关于点（，0）对称D．关于直线x＝对称
解：由题意可得＝π，解得ω＝2，故函数f（x）＝sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为
y＝sin[2（x﹣）+φ]＝sin（2x﹣+φ）是奇函数，又|φ|＜，故φ＝﹣，故函数f（x）＝sin（2x﹣），故当x＝时，函数f（x）＝sin＝1，故函数f（x）＝sin（2x﹣）关于直线x＝对称，
故选：D．
15．已知向量，为单位向量，且•＝﹣，向量与共线，则|+|的最小值为（）A．1B．C．D．
解：∵向量与共线，∴存在实数λ使得．
∴＝
＝
＝
＝＝，
当且仅当时取等号．
故选：D．
16．若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ＝0，4β3+sinβcosβ+λ＝0，则cos（+β）的值为（）
A．0B．C．D．
解：∵4β3+sinβcosβ+λ＝0，∴（﹣2β）3﹣2sinβcosβ﹣2λ＝0，即（﹣2β）3+sin（﹣2β）﹣2λ＝0．
再由（α﹣）3﹣cosα﹣2λ＝0，可得（α﹣）3+sin（α﹣）﹣2λ＝0．
故﹣2β和α﹣是方程x3+sin x﹣2λ＝0 的两个实数解．
再由α∈[0，π]，β∈[﹣，]，所以﹣α和2β的范围都是[﹣，]，
由于函数x3+sin x在[﹣，]上单调递增，故方程x3+sin x﹣2λ＝0在[﹣，]
上只有一个解，
所以，﹣α＝2β，所以+β＝，所以cos（+β）＝．
故选：D．
三、解答题（共76分）
17．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．
（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；
（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．
解：（1）∵向量与的方向相反，
∴存在实数λ＜0，使，且不共线，
∴，解得或（舍去），
∴；
（2）∵，
∴＝，
＝，，
∴，且θ∈[0，π]，
∴．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2+3c2﹣4．（1）求sin A；
（2）若3c sin A＝a sin B，且c＝，求△ABC的周长．
解：（1）因为3b2+3c2﹣4，
所以b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
由A为三角形内角得sin A＝；
（2）因为3c sin A＝a sin B，
由正弦定理得3sin C sin A＝sin A sin B，
因为sin A＞0，
所以3sin C＝sin B，即3c＝b，
因为c＝，所以b＝3，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+2﹣2×＝3，
故a＝．
所以△ABC的周长为．
19．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D 分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．
（1）当∠EFP＝时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．
解：（1）当∠EFP＝时，由条件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝．
所以∠FPE＝．所以FN⊥BC，
四边形MNPE为矩形．…3分
所以四边形MNPE的面积S＝PN•MN＝2m2．…5分
（2）解法一：
设，由条件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ．
所以，，．…8分
由得
所以四边形MNPE面积为＝＝＝＝…12分
．
当且仅当，即时取“＝”．…14分
此时，（*）成立．
答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，
最大值为m2．…16分
解法二：
设BE＝tm，3＜t＜6，则ME＝6﹣t．
因为∠EFP＝∠EFD＝∠FEP，所以PE＝PF，即．
所以，．…8分
由得
所以四边形MNPE面积为＝＝…12分
＝．
当且仅当，即时取“＝”．…14分
此时，（*）成立．
答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，
最大值为m2．…16分．
20．（16分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）
图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f （x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）角φ的终边经过点，
∴，…
∵，∴．…
由|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，
即，∴ω＝3…..
∴…
（2）由，
可得，…
∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈z…
（3 ）当时，，…
于是，2+f（x）＞0，
∴mf（x）+2m≥f（x）等价于…
由，得的最大值为…
∴实数m的取值范围是．…
21．（18分）已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＜P•f（x）成立，则称函数f（x）是D 上的P级递减周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝P•f（x）成立，则称函数f（x）
是D上的P级周期函数，周期为T．
（1）已知函数f（x）＝x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a 的取值范围；
（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数P的取值范围；
（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．
解：（1）由题意，函数f（x）＝x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数可知：f（x+1）＜2f（x），
即（x+1）2+a＜2x2+2a对x∈[2，+∞）恒成立，
也即a＞﹣x2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，
∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2在x∈[2，+∞）上单调递减，
∴，
∴a＞1．
（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，
∴当x∈[1，2）时，f（x）＝Pf（x﹣1）＝P•2x﹣1，
当x∈[n，n+1）时，f（x）＝Pf（x﹣1）＝P2f（x﹣2）＝…＝P n f（x﹣n）＝P n•2x﹣n，
即x∈[n，n+1）时，f（x）＝P n•2x﹣n，n∈N*，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴P＞0且P n•2n﹣n≥P n﹣1•2n﹣（n﹣1），即P≥2．
（3）由已知，应有f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，
即对一切实数x恒成立，
也即cos k（x+T）＝T•2T cos kx对一切实数x恒成立，
当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是cos kx∈[﹣1，1]，cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，故要使cos k（x+T）＝T•2T cos kx恒成立，只有T•2T＝±1，
①当T•2T＝1时，即（*）时，
由函数y＝2x与的图象存在交点，故方程（*）有解；
此时cos（kx+kT）＝cos kx恒成立，则kT＝2mπ，m∈Z，；
②当T•2T＝﹣1（**）时，类似①中分析可得，方程（**）无解；
综上，存在，符合题意，其中T满足T•2T＝1．。