2020年安徽省黄山市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年安徽省黄山市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={x|−1≤x <3}，B ={x ∈Z|x 2<4}，则A ∩B =( )
A. {0,1}
B. {−1,0，1，2}
C. {−1,0，1}
D. {−2,−1,0，1，2}
2. 复数z 满足(1+i)z =|√3−i|，则z −
=( )
A. 1+i
B. 1−i
C. −1−i
D. −1+i
3. 若log 4[log 3(log 2x)]=0，则x −1
2等于 ( )
A. √24
B. √22
C. 8
D. 4
4. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,
−9≤3x +y ≤3,
则z =x +y 的最小值为( )
A. 1
B. −3
C. −5
D. −6
5. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2)，有
f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1
<0，则( )
A. f(3)<f(2)<f(4)
B. f(1)<f(2)<f(3)
C. f(2)<f(1)<f(3)
D. f(3)<f(1)<f(0)
6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的m =15，n =12，则输出的n 是( )
A. 15
B. 12
C. 3
D. 180
7. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a
5a 3
=5
9，则S
9
S 5
=( )
A. 1
B. −1
C. 2
D. 1
2
8. 若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班
级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )
A. 甲同学：平均数为2，众数为1
B. 乙同学：平均数为2，方差小于1
C. 丙同学：中位数为2，众数为2
D. 丁同学：众数为2，方差大于1
9. 若角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线y =−4x 上，且x ≤0，则( )
A. sinα=−√1717
B. cosα=4√1717
C. tanα=−4
D. 以上都错
10. 已知四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是正方形，
AB =2，CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )
A. 1
2
B. √10
10 C. √105
D. 1
5
11. 已知双曲线C:x 2−
y 2
3
=1，F 1为双曲线C 的左焦点，D 为双曲线C 右支上的动点，点G(1,2)，
则|DF 1|+|DG|的最小值为( )
A. 2
B. √5
C. √5+2
D. 4
12. 已知函数f(x)=e x −e −x ，若对任意的x ∈(0,+∞)，f(x)>mx 恒成立，则m 的取值范围为( )
A. (−∞,1)
B. (−∞,1]
C. (−∞,2)
D. (−∞,2]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若(1−2x)2018=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2018x 2018(x ∈R)，则(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+
a 3)+⋯+(a 0+a 2018)=________(用数字作答). 14. 函数f(x)=log 2(x −1)的零点是__________．
15. 在平行四边形中，AB =4，AD =3，∠BAD =60°，点E 在BC 上，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 是DC 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．
16. 已知点P(t,4)在抛物线y 2=4x 上，抛物线的焦点为F ，那么|PF|= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，b =√2，c =1，cosB =3
4．
(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．
18.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，AB=2，BC=BB1=1．
(Ⅰ)求证：平面DB1C1⊥平面DCC1D1；
(Ⅱ)求二面角D−EB1−C1的余弦值．
19.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左，右顶点分别是A1，A2，右焦点为F，直线l：bx−ay+
√3ab=0与以线段A1A2为直径的圆相切．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设点P(√2,y0)(y0>0)在椭圆C上，且PF=1，求y0的值．
20.某商场以分期付款方式销售某利商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期
数ξ的分布列为：
其中0<a<1，0<b<1．
(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率：
(2)商场销售，一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择
分3期付款，则商场获得的利润为250元：若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位：元)．
(ⅰ)求X的分布列；
(ⅰ)若P(X≤500)≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．
21.已知函数f(x)=e x−a
x
,a∈R．
(1)若f(x)在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；
(2)求证：当0<a<1，x>0时，f(x)>1恒成立．
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφ
y=2sinφ
(其中φ为参数)，以坐标
原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=2sin(θ+π
4)
，设
l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．
(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；
(2)求|PQ|
|MP|⋅|MQ|
的值．
23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．
(1)求不等式f(x)≥1
3
(x−1)的解集；
(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2
a +1
b
的最小值．
-------- 答案与解析 --------1.答案：C
解析：解：A={x|−1≤x<3}，B={x∈Z|x2<4}={−1,0，1}，
则A∩B={−1,0，1}，
故选：C．
求出B中的元素，从而求出A、B的交集即可．
本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．
2.答案：A
解析：
本题主要考查复数的应用，属于中档题．
解：由题意得，z=|√3−i|
1+i =2
1+i
=2(1−i)
(1+i)(1−i)
=1−i，
则z=1+i，
故选A．
3.答案：A
解析：
本题主要考查对数运算，由log4[log3(log2x)]=0可得log2x=3，即可得出x=23=8，进一步得出答案，属于基础题．
解：因为log4[log3(log2x)]=0，
所以log3(log2x)=1，
即log2x=3，
即x=23=8，
所以x−1
2=8−
1
2=2√2=√
2
4
．
故选A．4.答案：C
解析：【试题解析】
解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1
−9≤3x +y ≤3，
表示的平面区域，如图所示的阴影部分：
由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，
由题意可得，{1=x −y
−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，
当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．
作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．
本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．
5.答案：D
解析：
本题考查函数单调性的应用，属于基础题． 根据函数的单调性，即可得出结论． 解：若对任意的x 1，x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1
<0，
则函数f(x)满足在[0,+∞)上单调递减， 则f(3)<f(1)<f(0)， 故选：D ．
6.答案：C
解析：解：模拟程序的运行，可得 m =15，n =12 r =3
不满足条件r =0，执行循环体，m =12，n =3，r =0 满足条件r =0，退出循环，输出n 的值为3．
故选：C．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．
7.答案：A
解析：
本题考查等差数列的性质与求和，属于基础题．
利用等差数列的前n项和的计算公式及等差数列的性质即可求解．
解：∵S9=9(a1+a9)
2
=9a5，
S5=5(a1+a5)
2
=5a3，
∴S9
S5=9a5
5a3
=9
5
×5
9
=1．
故选A．
8.答案：B
解析：
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的定义及意义，根据题意利用排除法即可得到结果．解：根据题意可得甲可以是1，1，4，丙可以是2，2，4，丁可以是2，2，5，
对于乙同学，平均数为2，若有名次超过3，则方差一定大于1，
所以乙同学连续3次考试的名次都不超过3，
因此一定是尖子生的是乙．
故选B．
9.答案：C
解析：
本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．利用任意角三角函数定义直接求解即可．
解：根据题意，在角α的终边上取一点(−1,4)，
则r=√(−1)²+4²=√17，
故sinα=y
r =4
√17
=4√17
17
；
cosα=x
r =−1
√17
=−√17
17
；
tanα=y
x
=−4．
故选C．
10.答案：D
解析：解：如图，
连接AD1，B1D1，则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成角，由已知可得：AB1=AD1=√5，B1D1=2√2．
∴cos∠B1AD1=
2×5×5=1
5
．
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为1
5
．
故选：D．
由已知画出图形，找出异面直线AB1与BC1所成角，再由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．
11.答案：C
解析：
本题考查双曲线的定义，属于中档题．
由双曲线定义可知|DF1|−|DF2|=2，则|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2，当且仅当G，D，F2三点共线时|DF2|+|DG|最小为|GF2|，即可得解．
解：设F2为双曲线C的右焦点，则F2(2,0)．
由已知，得|DF1|−|DF2|=2，即|DF1|=|DF2|+2，
所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2，
当且仅当G，D，F2三点共线时取等号．
因为|GF2|=√(1−2)2+22=√5，
所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=√5+2，
故|DF1|+|DG|的最小值为√5+2．
故选C．
12.答案：D
解析：解：令g(x)=e x−e−x−mx，x∈(0,+∞)，
则g′(x)=e x+e−x−m，x∈(0,+∞)，
易得函数y=e x+e−x>2在x∈(0,+∞)恒成立，
故当m≤2时，g′(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立，
故g(x)在(0,+∞)递增，又g(0)=0，故f(x)<mx恒成立，
当m>2时，∵g′(x)在x∈(0,+∞)递增，
故存在x0∈(0,+∞)恒成立，使得g′(x0)=0，
故g(x)在(0,x0)递减，在(x0,+∞)递增，
又g(0)=0，则g(x0)<0，这与g(x)>0恒成立矛盾，
故m≤2，
即m的范围是(−∞,2]，
故选：D．
求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13.答案：2018
解析：
本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，考查计算能力，属于中档题.令x =0，则a 0=1，令x =1，可计算得答案．
解：在(1−2x)2018=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2018x 2018中，
令x =0，则a 0=1，令x =1，
则a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018=(−1)2018=1，
故(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+⋯+(a 0+a 2018)
=2 017a 0+a 0+a 1+a 2+a 3…+a 2018=2 018．
故答案为：2 018．
14.答案：2
解析：
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，属于基础题型，直接求解即可．
解：令log 2(x −1)=0，解得x =2，
所以函数f(x)=log 2(x −1)的零点是2;
故答案为2．
15.答案：2
解析：
建立平面直角坐标系，求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标进行
计算即可．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档
题．
解：以AB 为x 轴，以A 为原点建立平面直角
坐标系，如图，
则A(0,0)，B(4,0)，C(112,3√32)，D(32,3√32)，E(5,√3)，F(72,3√32
). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,√3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,3√32
)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =5×(−12)+√3×3√3
2=2．
故答案为：2．
建立平面直角坐标系，求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标进行计算即可．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
16.答案：5
解析：
本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
点P(t,4)在抛物线y 2=4x 上，代入解得t ，利用|PF|=t +1即可得出．
解：点P(t,4)在抛物线y 2=4x 上，其准线方程为x =−1，
∴42=4t ，解得t =4．
那么|PF|=t +1=5．
故答案为：5．
17.答案：(本题满分为12分)
解：(1)∵b =√2，c =1，cosB =34．
∴sinB =√1−cos 2B =√74
， ∴由正弦定理可得：sinC =
csinB b =1×√74√2=√148
…4分 (2)∵c <b ，C 为锐角， ∴由(1)可得：cosC =√1−sin 2C =5√28
， ∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√7
4×5√28+34×√148=√144， ∴S △ABC =12bcsinA =12×√2×1×√144=√74
…12分
解析：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，由正弦定理可得sin C 的值．
(2)由c <b ，可得C 为锐角，由(1)可得cos C ，利用两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，利用三角形面积公式即可得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.答案：解：(Ⅰ)证明：∵ABCD −A 1B 1C 1D 1是长方体，
∴B 1C 1⊥平面DCC 1D 1，
又B 1C 1⊂平面DB 1C 1，
∴平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1．
(Ⅱ)以D 1为坐标原点，以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则D(0,0，1)，B 1(1,2，0)，E(0,1，0)，
DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1),EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)．
设n
⃗ =(x 0,y 0,z 0)是平面DEB 1的一个法向量， ∵{DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅n ⃗ =0
,∴{y 0−z 0=0x 0+y 0=0, 令z 0=1，则x 0=−1，y 0=1，n
⃗ =(−1,1，1)， 易知平面EB 1C 1的一个法向量为D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，
cos <n ⃗ ,D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅D 1D
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3×1=√33
， 显然，二面角D −EB 1−C 1是钝角，
∴二面角D −EB 1−C 1的余弦值为−√3
3．
解析：本题考查了面面垂直的判定、二面角的求解，属于中档题．
(Ⅰ)由B 1C 1⊥平面DCC 1D 1，即可得平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1．
(II)以D 1为坐标原点，以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面DEB 1的一个法向量和平面EB 1C 1的一个法向量即可得二面角D −EB 1−C 1的余弦值． 19.答案：(1)直线l ：bx −ay +√3ab =0与以线段A 1A 2为直径的圆相切， 即√3ab
22=a ，即a 2=2b 2．
设F (c,0),c >0，由于a 2=b 2+c 2．
a 2=2c 2， 故c a =√2
2，
(2)由(1)可知，a=√2c,b=c．
所以椭圆方程可为：x2+2y2=2c2．
因为点P(√2,y0) ( y0>0)在椭圆C上，
2+2y02=2c2，
即1+y02=c2．
由F(c,0),c>0，且PF=1，可得√(√2−c)2+y
2=1,(y0>0)
解得y0=1．
解析：本题考查椭圆的离心率和椭圆的性质，属于中档题．
(1)利用椭圆的几何性质求解即可；
(2)根据直线与椭圆的位置关系求解即可．
20.答案：解：(1)设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意，得η～B(3,0.4)，则P(η=2)=C32(0.4)2×(1−0.4)=0.288，
故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288;
(2)解：(ⅰ)依题意，X的取值分别为400，450，500，550，600．
P(X=400)=0.4×0.4=0.16，P(X=450)=2×0.4a=0.8a，
P(X=500)=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P(X=550)=2ab，
P(X=600)=b2．
所以X的分布列为：
(ⅰ)P(X≤500)=P(X=400)+P(X=450)+P(X=500)
=0.16+0.8(a+b)+a2．
根据题意知0.4+a+b=1，得a+b=0.6，得b=0.6−a，
由P(X≤500)≥0.8，得0.16+0.48+a2≥0.8，
解得a≥0.4或a≤−0.4．
又a>0，则a≥0.4．
又b>0，得0.6−a>0，解得a<0.6．
所以a∈[0.4,0.6)．
EX =400×0.16+450×0.8a +500×(0.8b +a 2)+1100ab +600b 2
=520−100a ．
当a =0.4时，EX 的最大值为480．
所以X 的数学期望EX 的最大值为480．
解析：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．
(1)由题意知购买该商品的3位顾客中恰有2位选择2期付款人数为η，得η～B(3,0.4)，根据概率公式得到结果．
(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为400元，450元，500元，550元，600元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列并求出期望的最大值．
21.答案：解：(1)由题意知f′(x)=e x (x−1)+a
x 2，
令g(x)=e x (x −1)+a ，(x ≠0)，则g′(x)=e x ⋅x ，
当x <0时，g′(x)<0，g(x)在(−∞,0)上单调递减，
当x >0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又g(0)=a −1，∵f(x)在定义域内无极值点，
∴a >1，
又当a =1时，f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上都单调递增也满足题意，
所以a ≥1；
(2)证明：f′(x)=e x (x−1)+a
x 2，令g(x)=e x (x −1)+a ，
由(1)可知g(x)在(0,+∞)上单调递増，
又{g(0)=a −1<0g(1)=a >0
，所以f′(x)存在唯一的零点x 0∈(0,1)， 故f(x)在(0,x 0)上单调递减，
在(x 0,+∞)上单调递増，
∴f(x)≥f(x 0)，
由e x 0(x 0−1)+a =0知f(x 0)=e x 0>1，
即当0<a <1，x >0时，f(x)>1恒成立．
解析：本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)求出导函数，构造函数g(x)=e x(x−1)+a(x≠0)，求出g′(x)=e x⋅x，通过当x<0时，当x>0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，转化求解即可．
(2)求出f′(x)=e x(x−1)+a
x2
，令g(x)=e x(x−1)+a，求出函数的最值，证明结论即可．
22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφ
y=2sinφ，消去参数φ，
得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．
由曲线l1的极坐标方程ρsin(θ−π
4)=√2
2
，得ρsinθ+ρcosθ=1，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；
(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l
2=−1
k l1
=1，所以l
2的倾斜角为
π
4
，
又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的
参数方程为{x=tcosπ
4
y=1+tsinπ
4
,(t为参数)，
即{x=√2
2
t
y=1+√2
2
t
,(t为参数)，
代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，
设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，
所以|PQ|
|MP|⋅|MQ|=4
|−2|
=2．
解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−1
3x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2
，
因为f(x)≥1
3
(x−1)，
所以{x<−1
x−5≥1
3
(x−1)或{
−1≤x≤2
3x−3≥1
3
(x−1)或{
x>2
−x+5≥1
3
(x−1)，
解得1≤x≤2或2<x≤4．
故不等式f(x)≥1
3
(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．
因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2
a +1
b
=1
3
(2a+b)(2
a
+1
b
)=1
3
(2a
b
+2b
a
+5)≥1
3
×(2×2+5)=3，
当且仅当a=b=1时，等号成立，
故2
a +1
b
的最小值是3．
解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；
(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．
本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。