分式方程的增根与无解
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分式方程的增根与无解
分式方程的增根:
在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的解使最简公分母为0(使整式方程成立,
而在分式方程中分母为0),那么这个解叫做原分式方程的增根。
例如:解方程
2
1312
2x
x x x
-
=
--解:去分母,方程两边乘以
(2)x x -,
得232x x --=-解得0x =检验,当0x =时
(2)0
x x -=则0x =为原方程的增根所以原方程无解.
说明:无解时,方程本身就是个矛盾等式,
不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等。
如上题中,不论x 取何值,都不能使原方程两边的值相等,因此原方程无解;
又如对于方程
20x
=,不论x 取何值也不能使它成立,因此,这个方程也无解。
思考:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢?比如:方程
2221
1x x x x x x
+-=
++,去分母后化为(3)(1)0x x -+=,解得3x =或1x =-,此时,1x =-是原方程的增根,但原方程并不是无解,而是有一个解3x =;
又比如:方程21x x
+=,去分母后化为02x =-,不成立,原方程无解,同时原方程也没
有增根。
所以:有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根。
思考:增根与无解是什么关系呢?分式方程的无解有两种情况:
①分式方程所转化成的整式方程无解;例如:
2
1x x
+=②分式方程所转化成的整式方程有解,但是这个解使最简公分母为0.
例如:
2
13122x
x x x -
=
--思考:有没有办法可以避免增根呢?比如:方程
2
2211
x x x x x
x
+-
=
++,将等式右边化为
0,得
2
22101
x x x x x
x
+-
-
=++,左边通分2
2
22(1)0(1)x x x x --+=+,即2
23
0(1)
x x x x --=+,分子分解因式再约分,得
3
0x x
-=,由分子30x -=,得3x =。
原来的增根1x =-就没有出现。
注意:分式方程的增根不是原分式方程的解,
但它是分式方程去分母后所得的整式方程的解
.
Tip1:对于分式方程,分母的值为0时,等
式无意义。
所以分式方程本身隐含着分母不为0的限制条件。
当分式两边同时乘以最简公分母,将分式方程转化为整式方程时,限制条件被取消了,即方程中未知数的值范围扩大了
.
类型一:方程有无增根
问题1. 已知关于x 的方程211
x k
x x +=--有增根,求k 的值.
方法:先确定增根,再代入化为的整式方程,可求出相应字母的值. 小结:增根满足两点
①是所化为整式方程的解;②使最简公分母为
0.
练习:已知关于x 的方程
2
121
2
2
k x x x x +
=
-++-有增根,求k 的值.
变式:已知关于x 的方程
2
1222
1
(2)(1)
x x x ax x x x x -++-
=
-+-+无增根,求a 的值.
类型二:方程无解
问题1. 已知关于x 的方程
3
x m
m x +=-无解,求m 的值. 解:去分母,等式两边同时乘以
3x -,
得
(3)x m m x +=-………①
当方程①无解时,则原方程也无解,方程①化为
(1)4m x m -=-,当
1040
m m
-=-时,方程①无解,此时1m =;
当方程①有解,而这个解又恰好是原方程的增根,此时原方程也无解,所以,当方程①的解为3x =时原方程无解,将3x =代入方程①,得30m +=,故3m =-. 综上所诉:当1m =或3m =-时,原方程无解.
练习:已知关于
x 的方程322133x ax
x x
-++=---无解,求a 的值.。