2021届高考数学一轮总复习第7章不等式第2节一元二次不等式及其解法跟踪检测文含解析

第七章 不等式
第二节 一元二次不等式及其解法
A 级·基础过关|固根基|
1.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2} B ．{0，1，2} C ．{1}
D ．{1，2，3}
解析：选A ∵A＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
⎪x －2x ≤0＝{x|0<x≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．故选A.
2．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪1m <x<2，则m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
D ．(－∞，0)
解析：选D 由不等式的解集形式知m<0.故选D.
3．若不等式x 2
－2x ＋5≥a 2
－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]
B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D ．[－2，5]
解析：选A x 2
－2x ＋5＝(x －1)2
＋4的最小值为4，所以x 2
－2x ＋5≥a 2
－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2
－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.
4．(2019届内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax 2
－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为( )
解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，
－2＋1＝1a ，
－2×1＝－c
a
，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＝－1，c ＝－2，
则函数f(x)＝－x 2
－x ＋2，那么y ＝f(－x)＝
－x 2
＋x ＋2，结合选项可知选C.
5．在关于x 的不等式x 2
－(a ＋1)x ＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]
D ．[－2，4]
解析：选D 因为关于x 的不等式x 2
－(a ＋1)x ＋a<0可化为(x －1)(x －a)<0， 当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，
要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a 的取值范围是a∈[－2，4]，故选D.
6．不等式2
x ＋1
<1的解集是________．
解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1
x ＋1>0⇒x>1或x<－1.
答案：{x|x>1或x<－1}
7．已知函数f(x)＝x 2
＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，则实数c 的值为________．
解析：因为函数f(x)＝x 2
＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以函数的最小值为0，可得Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝14a 2.又因为关于x 的不等式f(x)<c 可化成x 2＋ax ＋b －c<0，所以x 2
＋ax ＋14
a 2－c<0，
若不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，
也就是方程x 2
＋ax ＋14a 2－c ＝0的两根分别为x 1＝m ，
x 2＝m ＋8，所以⎩⎪⎨⎪
⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝14a 2
－c ， 可得|x 1－x 2|2
＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，
即(－a)2
－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫14a 2－c ＝64，解得c ＝16.
答案：16
8．已知函数f(x)＝－x 2
＋ax ＋b 2
－b ＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则a ＝________，b 的取值范围是________．
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的图象关于直线x ＝1对称，即a
2＝1，解得a ＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min ＝f(－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2
－b －2. 又因为f(x)>0恒成立，即b 2
－b －2>0成立， 解得b<－1或b>2.
答案：2 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
9．已知函数f(x)＝ax 2
＋(b －8)x －a －ab ，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0；当x∈(－3，2)时，f(x)>0.
(1)求f(x)在[0，1]内的值域；
(2)若ax 2
＋bx ＋c≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 当x∈(－3，2)时，f(x)>0.
所以－3，2是方程ax 2
＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－b
a ，－3×2＝－a －ab
a ，
所以a ＝－3，b ＝5，
所以f(x)＝－3x 2
－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122
＋754.
因为函数图象关于x ＝－1
2对称且抛物线开口向下，
所以f(x)在[0，1]上为减函数，
所以f(x)max ＝f(0)＝18，f(x)min ＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．
(2)由(1)知不等式ax 2
＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2
＋5x ＋c≤0，要使－3x 2
＋5x ＋c≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－25
12
，
所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0.
解：对于方程x 2
－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2
－8，所以当Δ<0，即－2<a< 2 时，x 2
－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；
当Δ＝0时，即a ＝± 2 时，x 2
－2ax ＋2＝0有两个相等的实根，当a ＝2时，原不等式的解集为{x|x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x|x ＝－2}；
当Δ>0，即a>2或a<－ 2 时，x 2
－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2
－2，x 2＝a ＋a 2
－2，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为{x|a －a 2
－2≤x ≤a ＋ a 2
－2}．
综上，当a>2或a<－ 2 时，解集为{x|a －a 2
－2≤x ≤a ＋ a 2
－2}；当a ＝ 2 时，解集为{x|x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.
B 级·素养提升|练能力|
11.设f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2
－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]，当a∈[－1，1]时都成立，则t 的取值范围是( )
A ．－12≤t ≤12
B ．t ≥2或t≤－2或t ＝0
C ．t ≥12或t≤－1
2
或t ＝0
D ．－2≤t≤2
解析：选B 若函数f(x)≤t 2
－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]时都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，∴1≤t 2
－2at ＋1对a∈[－1，1]时都成立，即2ta －t 2
≤0对a ∈[－1，1]都成立．
设g(a)＝2ta －t 2
(－1≤a≤1)，欲使2ta －t 2
≤0恒成立，
只需满足⎩
⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0⇒t ≥2或t ＝0或t≤－2.故选B.
12．(一题多解)若不等式x 2
＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 恒成立，则a 的最小值是( )
A ．0
B ．－2
C ．－52
D ．－3
解析：选C 解法一：令f(x)＝x 2
＋ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22
＋1－a 2
4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.当0<－a 2<12，即－1<a<0时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1－a 2
4，要使不等式x 2
＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12恒成立，只需1－a 2
4≥0，显然成立．
当－a 2≥12，即a≤－1时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54＋a
2，同理，要使原不等
式恒成立，需有54＋a 2≥0，解得a≥－52，∴－5
2
≤a ≤－1.
当－a 2≤0，即a≥0时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，f(x)>f(0)＝1>0恒成立． 综上，a 的取值范围是a≥－52，其最小值为－5
2
.故选C.
解法二：因为x∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12，所以不等式x 2
＋ax ＋1≥0
可化为a≥－x －1x ，令f(x)＝－x －1x ，则f′(x)＝－1＋1x 2＝（1－x ）（1＋x ）x 2>0，所以f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－52，由题意得a≥－52，故a 的最小值为－52.故选C.
13．(2019届云南昆明适应性检测)关于x 的不等式a≤34x 2
－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，则b －a ＝
________．
解析：画出函数f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34
(x －2)2
＋1的图象，如图．
可得f(x)min ＝f(2)＝1，
由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x 2
－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件，
因此a≤1，此时a≤34x 2
－3x ＋4恒成立．
又不等式a≤34x 2
－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，
所以a≤1<b，f(a)＝f(b)＝b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b ，
34b 2
－3b ＋4＝b ，
由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2
－16b ＋16＝0， 解得b ＝4
3
或b ＝4.
当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝8
3，不符合题意，舍去．
所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 答案：4
14．函数f(x)＝x 2
＋ax ＋3.
(1)当x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)因为当x∈R 时，x 2
＋ax ＋3－a≥0恒成立， 只需Δ＝a 2
－4(3－a)≤0，即a 2
＋4a －12≤0， 所以实数a 的取值范围是[－6，2]．
(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x 2
＋ax ＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g(x)的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2
－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如图②，g(x)的图象与x 轴有交点，
但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g （－2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2
－4（3－a ）≥0，
－a 2
≤－2，
4－2a ＋3－a≥0，
可得⎩⎪⎨
⎪⎧a ≥2或a≤－6，
a≥4，a ≤73
，解得a∈∅.
③如图③，g(x)的图象与x 轴有交点， 但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.
即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2
－4（3－a ）≥0，
－a
2
≥2，
7＋a≥0，
可得⎩⎪⎨⎪
⎧a ≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.所以－7≤a≤－6，
综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．
(3)令h(a)＝xa ＋x 2
＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．
只需⎩⎪⎨⎪⎧h （4）≥0，h （6）≥0，即⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，
解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.
所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。