《指数函数与对数函数》测试卷及答案解析

2020-2021学年高中数学必修一第四章《指数函数与对数函数》
测试卷
一．选择题（共8小题） 1．log 6432的值为（ ） A ．1
2
B ．2
C ．5
6
D ．6
5
【解答】解：log 6432=lg32lg64=5
6
． 故选：C ．
2．已知a ＝30.9，b ＝90.44，c ＝log 28.1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜c
B ．b ＜c ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
【解答】解：∵90.44＝30.88＜30.9＜3，log 28.1＞log 28＝3， ∴b ＜a ＜c ． 故选：A ．
3．计算（lg 2）2+lg 20×lg 5的结果是（ ） A ．1
B ．2
C ．lg 2
D ．lg 5
【解答】解：因为（lg 2）2+lg 20×lg 5＝（lg 2）2+（1+lg 2）•（1﹣lg 2）＝1， 故选：A ．
4．已知a ＝log 32，b ＝log 3π，c =2√2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．c ＜a ＜b
【解答】解：∵log 32＜log 33＝1＜log 3π，∴a ＜b ， ∵2√2＞2=log 39＞log 3π，∴c ＞b ， ∴a ＜b ＜c ． 故选：A ．
5．设a ＝30.5，b ＝log 0.53，c ＝0.53．则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞a ＞b
【解答】解：∵30.5＞1，log 0.53＜log 0.51＝0，0＜0.53＜1， ∴a ＞c ＞b ． 故选：C ．
6．设a ＝30.7，b ＝（1
3
）
﹣0.8
，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
【解答】解：a ＝30.7，b ＝（13
）﹣0.8
＝30.8，
则b ＞a ＞1，
log 0.70.8＜log 0.70.7＝1， ∴c ＜a ＜b ， 故选：D ． 7．2
log 23
=（ ）
A ．9
B ．
√33
C ．√3
D ．3
【解答】解：2log 23
=3．
故选：D ．
8．设a ＝0.74，b ＝40.7，c ＝log 40.7，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
【解答】解：∵a ＝0.74＜0.70＝1， b ＝40.7＞40＝1， c ＝log 40.7＜log 41＝0， ∴c ＜a ＜b ， 故选：D ．
二．多选题（共4小题）
9．下列四个等式正确的是（ ） A ．lg （lg 10）＝0 B ．lg （lne ）＝0
C ．若lgx ＝10，则x ＝10
D ．若lnx ＝e ，则x ＝e 2
【解答】解：对于A ，lg （lg 10）＝lg 1＝0，故A 正确； 对于B ，lg （lne ）＝lg 1＝0，故B 正确； 对于C ，若lgx ＝10，则x ＝1010，故C 错误； 对于D ，若lnx ＝e ，则x ＝e e ，故D 错误． 故选：AB ．
10．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （1+x ）＝f （1﹣x ），当0≤x ≤1时，f （x ）＝x ，关于函数g （x ）＝|f （x ）|+f （|x |），下列说法正确的是（ ） A ．g （x ）为偶函数
B．g（x）在（1，2）上单调递增
C．g（x）在[2016，2020]上恰有三个零点
D．g（x）的最大值为2
【解答】解：易知函数g（x）的定义域为R，且g（﹣x）＝|f（﹣x）|+f（|﹣x|）＝|﹣f （x）|+f（|x|）＝|f（x）|+f（|x|）＝g（x），
所以g（x）为偶函数，故A正确，
因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）是奇函数，所以f（x）是周期为4的函数，其部分图象如下图所示：
所以当x≥0时g(x)={2f(x)，x∈[4k，2+4k]
0，x∈(2+4k，4+4k]
，k∈N，当x∈（1，2）时，g（x）＝2f
（x），g（x）单调递减，故B错误，
g（x）在[2016，2020]上零点的个数等价于g（x）在[0，4]上零点的个数，而g（x）在[0，4]上有无数个零点，故C错误，
当x≥0时，易知g（x）的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当x＜0时，g（x）的最大值也为2，所以g（x）在整个定义域上的最大值为2，故D正确，
故选：AD．
11．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是（）
A．若f（a）•f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
B．若f（a）•f（b）＜0，则只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
C．若f（a）•f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
D．若f（a）•f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
【解答】解：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
所以，若f （a ）•f （b ）＞0，则不存在实数c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0，可能有零点．所以A 不正确．
若f （a ）•f （b ）＜0，则只存在一个实数c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0，可能由多个零点．所以B 不正确；
若f （a ）•f （b ）＞0，则有可能存在实数c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0，正确； 若f （a ）•f （b ）＜0，则有可能不存在实数c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0，错误； 故选：ABD ．
12．若a ＞0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＞0，则下列各式不恒成立的是（ ） A ．log a x 2＝2log a x
B ．log a x 2＝2log a |x |
C ．log a （xy ）＝log a x +log a y
D ．log a （xy ）＝log a |x |+log a |y |
【解答】解：A ．x ＜0时，log a x 不存在，∴该选项错误； B ．∵xy ＞0，∴|x |＞0，
∴log a x 2=2log a |x|，∴该选项正确； C ．x ＜0时，log a x 不存在，∴该选项错误； D ．∵xy ＞0，∴|x |＞0，|y |＞0，
∴log a （xy ）＝log a |x |+log a |y |，∴该选项正确． 故选：BD ．
三．填空题（共4小题）
13．设m ＝lg 2，n ＝lg 3，则102m ﹣
n ＝
43
．
【解答】解：m ＝lg 2，n ＝lg 3，∴10m ＝2，10n ＝3． 则10
2m ﹣n
=(10m )2
10n =4
3． 故答案为：43
．
14．e 0+√(1−√2)2−81
6+2log 22
3=
23
．
【解答】解：原式＝1+（√2−1）﹣23×
1
6
+23=1+√2−1−√2+23=2
3，
故答案为：2
3．
15．log 31
4+log 312的值为 1 ．
【解答】解：原式=log 3(1
4×12)=log 33=1．
故答案为：1．
16．设函数f （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）满足f （27）＝3，则f ﹣
1（log 92）的值是 √2 ．
【解答】解：∵f （27）＝3，即log a 27＝3， ∴a ＝3， ∴f （x ）＝log 3x ， ∴f ﹣
1（x ）＝3x ，
f ﹣
1（log 92）=3log 92=3log 3√2=√2．
四．解答题（共6小题）
17．指数函数f （x ）＝a x 图象过点（﹣2，9）． （1）求该函数的解析式； （2）求f （﹣1）及f （3）； （3）若x ＞2，求其值域．
【解答】解：（1）指数函数f （x ）＝a x 图象过点（﹣2，9）， ∴a ﹣
2＝9，解得a =1
3，
∴函数f （x ）=(13
)x ； （2）f （﹣1）=(1
3)−1=3， f （3）=(1
3)3=127；
（3）若x ＞2，则f （x ）=(1
3
)x ＜19
， 又(1
3)x ＞0，
∴f （x ）的值域为（0，1
9）．
18．计算：log 63+log 612+ln
1e π
+（√2020−√2019）0
+（9
4
）
−
12
+√(3−π)2．
【解答】解：原式＝log 6（3×12）﹣lne π+1+（49
）
12
+π﹣3，
＝1−π+2+2
3+π−3，=5
3 -1 19．已知常数a ∈R +，函数f （x ）＝x 2﹣ax +1
（1）若a ＝3，解方程log 3f （x ）＝1+log 3（x −4
3）；
（2）设函数g （x ）＝[f （x ）]1
2．若
g （x ）在[0，2
3
]上单调递减，求a 的取值范围；
（3）设集合A ＝{x |f （x ）＝x +a ﹣3，x ≥a ﹣1}的元素个数为n ，求n 关于a 的函数n （a ）在R +的表达式．
【解答】解：（1）a ＝3时f （x ）＝x 2﹣3x +1，所以方程为：log 3（x 2﹣3x +1）＝log 3[3（x −43
）]＝log 3（3x ﹣4），
所以可得：{x 2−3x +1=3x −4
x −4
3＞0
x 2−3x +1＞0
解得：x ＝5或x ＝1（舍），
所以方程的解为：x ＝5． （2）设函数g （x ）＝[f （x ）]
1
2．若
g （x ）在[0，2
3
]上单调递减可得：
f （x ）＞0，且f （x ）在x ∈[0，2
3
]单调递减，
所以可得{a 2≥23f(23)≥0解得{a ≥
43a ≤
136
，即43≤a ≤136 所以a 的取值范围为：[43
，
13
6
]；
（3）x ＝﹣1显然不是方程x 2﹣ax +1＝x +a ﹣3的解． 当x ≠﹣1时，原方程可变为a +3＝x +1+6
x+1， 令t ＝x +1∈[a ，+∞），则a +3＝t +6
t ， 所以当0＜a ＜2√6−3时，方程无解； 当a =2√6−3时，方程只有一解； 当2√6−3＜a ＜√6时，方程有两解； 当a ≥√6时，方程只有一解．
故n （a ）={0，0＜a ＜2√6−3
1，a =2√6−3或a ≥√62，2√6−3＜a ＜√6
．
20．已知函数f(x)=
x−6
． （1）求函数f （x ）的定义域； （2）若f （m ）＝8，求m 的值．
【解答】解：（1）根据题意，函数f(x)=x−6
， 则有x ﹣6＞0，解可得x ＞6， 即函数的定义域为{x |x ＞6}； （2）若f （m ）＝8，即√m−6
=8，
解可得：m ＝7或55， 故m 的值为7或55．
21．已知a ∈R ，函数f （x ）={1−1
2x ，x ＞0
(a −1)x +1，x ≤0． （1）证明：函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； （2）求函数f （x ）的零点．
【解答】（1）证明：∀0＜x 1＜x 2，则0＜2x 1＜2x 2．
∴f （x 1）﹣f （x 2）=1−12x 1−(1−12x 2)=2x
1−2x
2
2x 1+x 2
＜0，
∴f （x 1）＜f （x 2）．
∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；
（2）解：由（1）可知：函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无零点； 当x ≤0时，f （x ）＝（a ﹣1）x +1，
a ＞1时，函数f （x ）单调递增，f （x ）≤f （0）＝1，存在一个零点，x =−1
a−1
； 当a ＝1时，f （x ）＝1，无零点；
当a ＜1时，函数f （x ）单调递减，f （x ）≥f （0）＝1，不存在一个零点． 22．已知函数f(x)=
2
2x+1
2
2x+1
+2m
的定义域为R ，其图象关于点M(12，12
)对称．
（1）求常数m 的值；
（2）若g(x)=log 2[1−f(x)]log 2[4−x f(x)]−2，求g （x ）的零点 （3）若n ∈N *，求f(1n )+f(2n )+⋯+f(n−2n )+f(n−1n )+f(n
n )−
3n+2
6
的值． 【解答】解：（1）∵f(x)=2
2x+1
22x+1+2m =4x
4x +m
的定义域为R ，
∴m ≥0，
由题意有f(x)+f(1−x)=4x 4x +m +41−x 41−x +m
=1恒成立，⇒44+4x
⋅m =m
4x +m ⇒(4−m 2)4x =0，
又m ≥0， ∴m ＝2；
（2）由（1）知：f(x)=4x
4x +2
=2，即求log 2[1−f(x)]log 2[4−x f(x)]=2的解，
∴
log 2[1−f(x)]log 2[4−x f(x)]=log 2
24x
+2log 21
4x +2
=[log 2(4x +2)−1]log 2(4x +2)，
令log 2(4x +2)=t ，则原方程变为：t 2﹣t ﹣2＝0， 解之得t ＝﹣1或t ＝2，
当t ＝﹣1时，log 2(4x +2)=−1⇒4x =−3
2，无解， 当t ＝2时，log 2(4x +2)=2⇒4x =2⇒x =12， ∴g （x ）的零点的零点为1
2
；
（3）由（1）知f （x ）+f （1﹣x ）＝1，f(x)=4x
4x +2
，
设ℎ(n)=f(1n )+f(2n )+f(3n )+⋯+f(n−1n )+f(n
n
)， 可写成ℎ(n)=f(
n−1n )+f(n−2n )+f(n−3n )+⋯+f(1n )+f(n
n
)， 两式相加得2ℎ(n)=n −1+2f(n
n )=n −1+2f(1)=3n+1
3
， 所以ℎ(n)=
3n+1
6， 所以f(1
n )+f(2
n )+⋯+f(n−2
n )+f(n−1
n )+f(n
n )−3n+26=−1
6
．。