计算不定式极限的一般方法洛必达法则

1 cos x 用倍角公式化为 例2 求 lim . x0 x2 第一个重要极限求.
解一 lim
x 0
x 2 sin 1 cos 2 x
2
x
2
lim
x 0
x
2
x sin 1 2 2 lim( ) 2 x0 x 2 1 . 2
x sin 2 1 lim x0 x 2
该题用洛必达法则计算更简单.
(1) x a(或x )时, f ( x ) 0, g( x ) 0; x） (2) f ( x ), g ( x )存在, 且g （ 0; f ( x ) (3) lim 存在（或是） , g ( x ) f ( x) 那么 lim lim g( x ) f ( x ) . g ( x )
2. 型
1 1 00 步骤： . 0 0 00
1 1 例10 求 lim( ). ( ) x 0 sin x x (x sin x) 0 解 原式 lim ( ) x 0 (x sin x ) 0
0 (1 cos x ) lim ( ) x 0(sin x x cos x ) 0
0, lim x x e0 1.
x 0
注意：洛必达法则的使用条件．
x cos x 例15 求 lim . ( ) x x 1 sin x 解 原式 lim lim(1 sin x ). x x 1
洛必达法则失效 利用无穷小量的性质求解： 极限不存在
sin x lim 1 x 0 x
在用洛必达法则求极限时，与以前学过
e 1 例3 求 lim 2 . x0 x x
x
0 型 0
解
e 1 lim 2 x0 x x
x
(e x 1) lim 2 x 0 ( x x )
0 ex lim x 0 2 x 0 1
一、两个基本类型不定式
如果当x a (或x )时, 两个函数f ( x )与 f ( x) g ( x )都趋于0, 或都趋于 , 那么极限 lim xa g( x ) ( x ) 可能存在, 也可能不存在.通常将这种极限叫作 0 不定式, 分别记为 , . 0
0 1. 型不定式 0 定理 如果函数f ( x )和g ( x )满足
sin x lim 0. x 0 2cos x x sin x
3. 0 ,1 , 型
0 0

幂函数与对数函数相 乘，将幂函数放在分母运 算简便.
步骤:
0 0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 . 0 ln 0
1 cos x 例2 求 lim . 2 x0 x 0
0
型
1 cos x (1 cos x ) lim 解二 lim 2 x 0 x0 x ( x 2 ) sin x 1 sin x lim lim x0 2 x 2 x0 x 1 . 2
的求极限方法相结合更好！
0
例12 求 lim x . ( 00 )
x0
x
ex是连续 函数
洛必达 法则
解 原式 lim e
x0
x ln x
e x 0
1 x 1 x2
lim (0 x ln x)
e
ln x x 0 1 x lim
lcos x 1 lim lim(1 cos x ) 1. x x x x
无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.
第二节
计算不定式极限的一般方法 洛必达法则
主要内容:
一、两个基本类型不定式
二、其他类型的不定式
在第二章介绍极限时,曾用特定的办 法计算过简单的两个无穷小量（无穷 大量）之比的极限，而无一般法则.本 节将以导数为工具，给出计算不定式 极限的一般方法，该方法称为洛必达 （L’ Hospital，法国人，1661 — 1704） 法则.
例 8 求 lim x cot 2 x . ( 0 )
x0
提示与分析： x与cot 2x，哪部分做分母，要以转化后极 限易算为准则.
x 0 ( x ) 解 原式 lim ( ) lim x 0 tan 2 x x 0 (tan 2 x ) 0
1 1 lim . 2 x 0 2sec 2 x 2
1.
2.
型不定式
定理 如果函数f ( x )和g ( x )满足 (1) x a (或x )时, f ( x ) , g ( x ) ; x） (2) f ( x ), g ( x )存在, 且g （ 0; f ( x ) (3) lim 存在（或是） , g ( x ) f ( x) 那么 lim lim g( x ) f ( x ) . g ( x )
二、其他类型的不定式
0 前述 型和 型是两种最基本的不定式， 0 除此之外，还有0 , ,1 , 和0 等类
0 0
型的不定式，这些不定式都可以通过适当 0 的变形化为 型和 型. 0
1. 0 型
1 1 步骤： 0 , 或 0 0 0
arctan x ) 0 例7 求 lim 2 . ( ) x 1 0 ( ) x
(
1 2 1 x 解 原式 lim x 1 2 x
π
x lim ( ) 2 x 1 x2 x
2 2
2x lim 1. x 2 x
还有其他 方法吗？ 1 x 2 1 lim 1 1 1. lim x x 1 x 2 1 x2
f ( x ) 0 如果 仍属 型，且f ( x ), g ( x )满足定 g ( x ) 0 理的条件，可以继续使用洛必达法则，即
f ( x) lim lim g( x )
f ( x ) lim g ( x )
f ( x ) g ( x )
.
sin x 例1 用洛必达法则计算 lim . x0 x sin 0 x (sin x ) cos x 解 lim 型 lim lim 1. x0 x 0 0 x x 0 x 1
例4
ln x (ln x ) 解 lim n ( ) lim x x x ( x n ) 无穷大量 1 1 x 0. lim lim n n 1 x nx x nx
若求导之后出现繁分式，一般应化简后再判 0 断是否为 型或者 型，然后再决定是否能继 0 续用洛必达法则.