2019-2020年高三考前热身(二)数学试题 含答案

2019-2020年高三考前热身（二）数学试题 含答案
一．填空题（本大题满分56分）
1．设集合，，则___________． 2．设、，为虚数单位，若，则复数的模______．
3．函数)(sin cos 3
3)(R x x
x x f ∈=
的最小值为_____________．
4．已知是函数的反函数，则________． 5．（理）一质地均匀的正方体三个面标有数字，另外三个面标有数字.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望=___________.
（文）设、满足约束条件24,1,20,x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，则目标函数的最大值为 .
6．设等差数列的前n 项和为，若，则通项公式 . 7．已知的展开式中的第项为，则___________．
8．已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点________． 9．如图：球O 的半径为2，圆是一球O 的一个小圆，，
A 、
B 是圆上两点，若=，则A,B 两点间的球面距离为 .
10．已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，则整数的 值为 .
11．
则该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于的概率为 .
12．在中,是边的中点，,点在直线上，且满足,则 等于 .
13．若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数
的取值范围是 .
14．已知函数，点为函数图像上横坐标为（）的点，为坐标原点，向量．记为向量与的夹角，则=+++n θθθtan tan tan 21 ____ _____．
二．选择题（本大题满分20分）
15．“”是“”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
16．下列命题中正确的是（ ）
A ．若，则
B ．若，则
C ．若，则
D ．若，则 17．（理）参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是（ ） (A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆
（文）如图，四棱锥的底面是的菱形，且，，则该四棱
锥的主视图（主视图投影平面与平面平行）可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
18．对任意实数，关于的方程0)12(log 2
2=-++m x ax 恒有解，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三．解答题（本大题满分74分）
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2
如图，角的始边落在轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点、 （），△为等边三角形．
（1）若点的坐标为，求的值；
（2）设，求函数的解析式和值域。

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2如图，在正三棱柱中，，．
（1）求三棱柱的表面积；
（2）设为棱的中点，求异面直线与所成角的大小。

（结果用反三角函数值表示）．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
已知
（1）若()f x 在(0,1)上是增函数,求a 的取值范围; （2）若，且在上恒成立，求的取值范围。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
C A
D
P
E
C
B
A
A 1
B 1
C 1
设向量，（），函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足，
1
21109-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=+++n n b b b ．
（1）求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，
求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知椭圆（）满足，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直于且与交于点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（3）设曲线与轴交于点，上有不同的两点、，且满足，求点的横坐标的取值范围．
参考答案
1、 2、 3、 4、 5、 6、
7、1 8、 9、 10、1 11、 12、4 13、 14、
15、B 16、C 17、D 18、C 19（1）由题意，，因为点的坐标为， 所以，，…………（3分） 所以10
3
34235321543cos cos -=⋅
-⋅=⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
=∠πθBOC ．…………（6分） （2）解法一：在△中，由余弦定理，
BOC OC OB OC OB BC ∠-+=cos ||||2||||||222，……（7分）
所以．…………（10分）
因为，所以，……
所以．…………（12分） 因此，函数（），的值域是． 解法二：由题意，，，……（7分） 所以
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 22)cos sin 3(223sin 21cos ||2
2
2
πθθθθθBC ……………………………………（10分）
因为，所以，…（11分） 所以． 所以，函数（），的值域是．（12分） 20（1），……（1分） ． ……（3分） 所以． ……（6分） （2）取中点，连结、．
因为∥，所以就是异面直线与 所成角（或其补角）．……（8分）
F
E A 1
B 1
C 1
在△中，，，
．…………（12分）
所以异面直线与所成角的大小为．…………（14分） 21（1）在上任意取
))(()()(2
2212
11221a x x x x x x x f x f -++-=- 由题意，得在上恒成立 所以： （2）
22（1）由已知，2)4()12(2)(2
-++=-++=x n x x n x x y ……（2分） 而函数在上是增函数，……（3分）
所以12412+=-+++-=n n a n ．……（4分）
（2）因为1
21109-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=+++n n b b b ，
所以2
1
21109--⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+++n n b b b （），………………（6分）
两式相减，得（．…………（8分）
所以，数列的通项公式为⎪⎩
⎪
⎨⎧⎪
⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-.109101,1,12n n n b …………（10分）
（3）因为，（），……（12分）
由题意，为的最大项，则，
要使为最大值，则 ……（13分）
即⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⎪⎭⎫
⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+----1
23
210910210910110910109101k k k k k k k k ……（14分）
解得或． …………（15分）
所以存在或，使得对所有成立．…………（16分）
23（1）由已知，可设，（），
所以椭圆的方程为，……（2分）
因为椭圆过点，所以有，解得，……（3分） 所以椭圆的方程为．……（4分） （2），，所以直线的方程为，……（5分） 由题意，，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
……（8分）
所以轨迹的方程是． ……（10分） （3），设，，
所以，，
因为，所以
0)(16
)
(121212
221=-+-y y y y y y ，……（12分） 因为，，化简得，……（15分）
所以，当且仅当，时等号成立．……（16分） 所以，点的横坐标的取值范围是．……（18分）。