等差数列复习课 (第一课时)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2
解：设{an}是等差数列即， 是等差数列即，
2 pn + p + 3 应该是一个与n无关的常数，所以 应该是一个与n无关的常数，
p=0
所以
p=0
时数列{ 时数列{an}是等差数列。 是等差数列。
三、实战训练
1、(2006年广东卷 已知等差数列共有 项，其中奇数项 、 年广东卷)已知等差数列共有 年广东卷 已知等差数列共有10项 之和15，偶数项之和为30，则其公差是( 之和 ，偶数项之和为 ，则其公差是 C ) A.5 B.4 C. 3 D.2
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型3】求等差数列的通项公式 题型 】
例题：已知数列{an}的前 项和 例题：已知数列 的前n项和 的前
s n =n +3
2
求
an
n≥2 时 2 2 a n = s n s n1 = (n +3) (n 1) +3 = 2n 1
解：当
[
]
当
n =1 时
a1 = 1
一、知识要点
[等差数列的通项公式 等差数列的通项公式] 等差数列的通项公式
如果等差数列的首项是 a1 ，公差是d，则 等差数列的通项为：a n = a1 + (n 1)d [ [说明]该公式整理后是关于n的一次函数 ] n
[等差数列的前 项和 等差数列的前n项和 等差数列的前 项和]
n 1、 S n 、 [说明 对于公式 整理后是关于 的没有常数 说明]对于公式 整理后是关于n的没有常数 说明 对于公式2整理后是关于 项的二次函数。 项的二次函数。
2、在等差数列{an}中，前15项的和 在等差数列 中 项的和
为（ A ） A.6 B.3 C.12
S15 = 90 则 a8
D.4
三、实战训练
3、在等差数列中，已知前10项和为5，前20项和为 在等差数列中，已知前10项和为 项和为5 20项和为 15，则前30项和为（ C ） 15，则前30项和为 项和为（ A、20 B、 B、25 C、 C、30 D、 D、35
例题：在三位正整数的集合中有多少个数是 的倍 例题：在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍 求它们的和。 数？求它们的和。
解：在三位正整数的集合里，5的倍数中最小是 在三位正整数的集合里， 的倍数中最小是 100，然后是 ，然后是105、110、115…即它们组成一个以 、 、 即它们组成一个以 100为首项，5为公差的等差数列，最大的是 为首项， 为公差的等差数列 最大的是995 为公差的等差数列， 为首项 设共有n项 设共有 项，即，a1 =100 ，d = 5 ， an =995
代入① 把d = 4 代入①得：a1 = 6
a14 = a1 + 13d = 6 + 13×4 = 58 ×
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算 题型 】
例题：等差数列 例题：等差数列{an}中，若a2 = 10，a6 = 26 ，求 中 ，
a14
解：法二、 法二、 由性质， 由性质，
三、实战训练（答案） 实战训练（答案）
2、在等差数列 an}中，前15项的和 在等差数列{ 中 项的和
为（ A ） A.6 解： B.3 C.12 D.4
S15 = 90 则 a8
15(a1+a15 ) +a s15 = = 90 2
∴a 1 + a 15 = 12
∴a 8 + a 8 = 12
∴a 8 = 6
三、实战训练（答案） 实战训练（答案）
证明： 因为数列 {an} 是等差数列数列 证明： 设数列{ 设数列{an} 的公差为d（d为常数）即an+1 - an=d 的公差为d 为常数） 又因为bn= 3an + 4 ,
bn+1= 3an+1 + 4
所以bn+1 – bn = （3an+1 + 4）-（3an + 4） 4） = 3（an+1- an）=3d 3（ 所以数列 { bn }是等差数列
a n = 33，则n是（ C ） ， 是 A.48 解： ∵a 把
2
B.49
C.50
D.51
+a 5 = 4
∴ 2a1 +5d = 4
2 d= 3
1 a1 = 代入上式得 3
∵a n =a 1 +(n 1)d
解得： 解得：
n = 50
1 2 ∴ + (n 1) = 33 3 3
【题型2】等差数列的前 项和 题型 】等差数列的前n项和
a n = a m + (n m)d 得： a6 = a2 + 4d
∴d = 4 = 26 + 8×4 = 58 ×
∴ 26 = 10 + 4d ∴a14 =
a6 + 8d
【题型1】等差数列的基本运算 题型 】
1 练习：等差数列{a 中 已知a 练习：等差数列 n}中，已知 1= ，a 2 + a 5 =4 3
而
s1 = 4
时
所以上面的通式不适合 n = 1
所以： 所以：
4 ( n = 1) an= 2n 1 (n ≥ 2)
【题型3】求等差数列的通项公式 题型 】
练习：设等差数列{ 的前n项和公式是 练习：设等差数列 an}的前 项和公式是 S n = 5n 2 + 3n 的前
求它的通项公式__________ 求它的通项公式 a n = 10n 2
4.在数列 {a }中，若 a1 = 1 ，a n +1 = a n + 2( n ≥ 1) ，则
n
2n 1 该数列的通项 a n = __________
5、已知等差数列{an}。若a10 = 30，a20 = 50 已知等差数列{ 30，
Sn=242, 求 n
n = 11
四、归纳小结 主要内容： 主要内容：
②
( ① + ② 得： a 1 + a 20 ) + (a 2 + a 19 ) + (a 3 + a 18 ) = 54
∵a1+ a 20 = a 2 + a19 = a 3 + a18
∴ 3(a 1 + a 20 ) = 54
20 ( a 1 + a 20 ) 20 * 18 = = 180 ∴ (a 1 + a 20 ) = 18 ∴s 20 = 2 2
{a n } ，若 n + m = p + q
则:
an + am = a p + aq
3．若数列 ． 那么 Sk 是等差数列， 是其前n项的和 项的和， {a n }是等差数列， S n 是其前 项的和， k ∈ N ， S S ， S 3k S 2 k 成公差为 n 2 d 2k k
*
的等差数列.。 的等差数列 。
2
一、知识要点
[等差数列的性质] 等差数列的性质] 1．等差数列任意两项间的关系：如果 a n 是等差数列 ．等差数列任意两项间的关系： 的第n项 是等差数列的第m项 公差为d， 的第 项， a m 是等差数列的第 项，公差为 ，则有
a n = a m + ( n m) d
2 ．对于等差数列 对于等差 等差数列
解：当
n≥2
2
时
a n =s n s n1= (5n +3n) 5(n 1) +3(n 1) = 10n 2
2
[
]
当 所以
n =1 时
a1 = 8
，s 1 = 8
a n = 10n 2
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型4】等差数列性质的灵活应用 题型 】
例题：已知等差数列 例题：已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 5+ a 8 解：由等差数列性质易知： 由等差数列性质易知：
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型5】等差数列的判定与证明 题型 】
练习：已知数列 练习：已知数列{an}的通项公式 a n = pn +3n ( p ∈ R ) 的通项公式
2
当
是等差数列。 满足什么条件时，数列{ p 满足什么条件时，数列 an}是等差数列。 是等差数列
an+1an=[ p(n+1) +3(n+1) ] ( pn +3n) = 2pn+ p+3
五、作业布置
1、已知等差数列{an}，若a5 = 3，求 已知等差数列{ 3，
S9
2、课本
p 53 第五题
再 见
三、实战训练（答案） 实战训练（答案）
1、(2006年广东卷 已知等差数列共有 项，其中奇数项 、 年广东卷)已知等差数列共有 年广东卷 已知等差数列共有10项 之和15，偶数项之和为30，则其公差是( 之和 ，偶数项之和为 ，则其公差是 C ) A.5 解： B.4 C. 3 D.2
等差数列复习课 等差数列复习课
(第一课时 第一课时) 第一课时
一、知识要点
[等差数列的定义] 等差数列的定义] 如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第 项起，每一项与前一项的差 等 项起 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 [等差数列的判定方法] 等差数列的判定方法] 1、定义法：对于数列 {a n }，若 a n +1 a n = d (常数)，则 定义法： 常数) 是等差数列。 数列 {a n } 是等差数列。 2．等差中项：对于数列 {a n } ，若 2 an +1 = an + an + 2 则 等差中项： 是等差数列。 数列 {a n } 是等差数列。
练习：等差数列 练习：等差数列{an}中, a1 + a2 + a3 = 24, a18 + a19 + a20 = 78 中 则此数列前20项的和等于 项的和等于（ 则此数列前 项的和等于（ B ） A.160 B.180 C.200 ① D.220
解： 1 + a 2 + a 3 = a
24
a 18 + a 19 + a 20 = 78
n (a1 + a = 2
)
n ( n 1) S 2、 n = na 1 + 2 d 、
一、知识要点
[等差中项] 等差中项] 成等差数列，那么A叫做 叫做a与 的等 如果 a， A ，b 成等差数列，那么 叫做 与b的等 ， 差中项。 差中项。即： A = a + b 或 2 A = a + b
本节课主要复习了等差数列的概念、 本节课主要复习了等差数列的概念、等差数 列的通项公式与前n项和公式 项和公式， 列的通项公式与前 项和公式，以及一些相 关的性质
应当掌握： 应当掌握：
1、基本方法：掌握等差数列通项公式和前n 、基本方法：掌握等差数列通项公式和前 项和公式； 项和公式； 2、利用性质：掌握等差数列的重要性质； 、利用性质：掌握等差数列的重要性质； 掌握一些比较有效的技巧； 掌握一些比较有效的技巧；
a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 15
a 2 + a 4 + a 6 + a8 + a10 = 30
(1)
(2)
(2) (1) : (a2 a1) + (a4 a3 ) + (a6 a5 ) + (a8 a7 ) + (a10a9 ) = 15
∴ 5d = 15
∴d = 3
由 a n = a1 + (n 1)d 得 995 =100 + 5（n-1） 即 n =180 （ ）
180(100 + 995) S 180= = 98550 2
所以在三位正整数的集合中5的倍数有 所以在三位正整数的集合中 的倍数有180个，它 的倍数有 个 们的和是98550 们的和是
【题型2】等差数列的前 项和 题型 】等差数列的前n项和
项和S9等于 （ C ） 等于 A.18 B.27 C.36 D.4 5
解： ∵a 1 + a 9 = a 2 + a 8 =
8
9(a 1 + a 9 ) 9 * 8 ∴s 9 = = = 36 2 2
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型5】等差数列的判定与证明 题型 】
例题： 是等差数列,b 例题：已知数列 { an } 是等差数列 n= 3an + 4，证明 ， 是等差数列。 数列 { bn } 是等差数列。
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算 题型 】
例题：等差数列 例题：等差数列{an}中，若a2 = 10，a6 = 26 ，求 中 ，
a14
解：法一 由已知可得， 由已知可得，a1 + d = 10 … ① ②-①得：4d = 16 ∴d = 4 ① ∴
a1 + 5d = 26 3 + a10 = a5+ a8
∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a5+ a8）=36 （ ∴ a5+ a8 =18
【题型4】等差数列性质的灵活应用 题型 】
练习：已知等差数列{ 则该数列前9 练习：已知等差数列 an}中,a2+a8=8,则该数列前 中 则该数列前
解：设{an}是等差数列即， 是等差数列即，
2 pn + p + 3 应该是一个与n无关的常数，所以 应该是一个与n无关的常数，
p=0
所以
p=0
时数列{ 时数列{an}是等差数列。 是等差数列。
三、实战训练
1、(2006年广东卷 已知等差数列共有 项，其中奇数项 、 年广东卷)已知等差数列共有 年广东卷 已知等差数列共有10项 之和15，偶数项之和为30，则其公差是( 之和 ，偶数项之和为 ，则其公差是 C ) A.5 B.4 C. 3 D.2
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型3】求等差数列的通项公式 题型 】
例题：已知数列{an}的前 项和 例题：已知数列 的前n项和 的前
s n =n +3
2
求
an
n≥2 时 2 2 a n = s n s n1 = (n +3) (n 1) +3 = 2n 1
解：当
[
]
当
n =1 时
a1 = 1
一、知识要点
[等差数列的通项公式 等差数列的通项公式] 等差数列的通项公式
如果等差数列的首项是 a1 ，公差是d，则 等差数列的通项为：a n = a1 + (n 1)d [ [说明]该公式整理后是关于n的一次函数 ] n
[等差数列的前 项和 等差数列的前n项和 等差数列的前 项和]
n 1、 S n 、 [说明 对于公式 整理后是关于 的没有常数 说明]对于公式 整理后是关于n的没有常数 说明 对于公式2整理后是关于 项的二次函数。 项的二次函数。
2、在等差数列{an}中，前15项的和 在等差数列 中 项的和
为（ A ） A.6 B.3 C.12
S15 = 90 则 a8
D.4
三、实战训练
3、在等差数列中，已知前10项和为5，前20项和为 在等差数列中，已知前10项和为 项和为5 20项和为 15，则前30项和为（ C ） 15，则前30项和为 项和为（ A、20 B、 B、25 C、 C、30 D、 D、35
例题：在三位正整数的集合中有多少个数是 的倍 例题：在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍 求它们的和。 数？求它们的和。
解：在三位正整数的集合里，5的倍数中最小是 在三位正整数的集合里， 的倍数中最小是 100，然后是 ，然后是105、110、115…即它们组成一个以 、 、 即它们组成一个以 100为首项，5为公差的等差数列，最大的是 为首项， 为公差的等差数列 最大的是995 为公差的等差数列， 为首项 设共有n项 设共有 项，即，a1 =100 ，d = 5 ， an =995
代入① 把d = 4 代入①得：a1 = 6
a14 = a1 + 13d = 6 + 13×4 = 58 ×
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算 题型 】
例题：等差数列 例题：等差数列{an}中，若a2 = 10，a6 = 26 ，求 中 ，
a14
解：法二、 法二、 由性质， 由性质，
三、实战训练（答案） 实战训练（答案）
2、在等差数列 an}中，前15项的和 在等差数列{ 中 项的和
为（ A ） A.6 解： B.3 C.12 D.4
S15 = 90 则 a8
15(a1+a15 ) +a s15 = = 90 2
∴a 1 + a 15 = 12
∴a 8 + a 8 = 12
∴a 8 = 6
三、实战训练（答案） 实战训练（答案）
证明： 因为数列 {an} 是等差数列数列 证明： 设数列{ 设数列{an} 的公差为d（d为常数）即an+1 - an=d 的公差为d 为常数） 又因为bn= 3an + 4 ,
bn+1= 3an+1 + 4
所以bn+1 – bn = （3an+1 + 4）-（3an + 4） 4） = 3（an+1- an）=3d 3（ 所以数列 { bn }是等差数列
a n = 33，则n是（ C ） ， 是 A.48 解： ∵a 把
2
B.49
C.50
D.51
+a 5 = 4
∴ 2a1 +5d = 4
2 d= 3
1 a1 = 代入上式得 3
∵a n =a 1 +(n 1)d
解得： 解得：
n = 50
1 2 ∴ + (n 1) = 33 3 3
【题型2】等差数列的前 项和 题型 】等差数列的前n项和
a n = a m + (n m)d 得： a6 = a2 + 4d
∴d = 4 = 26 + 8×4 = 58 ×
∴ 26 = 10 + 4d ∴a14 =
a6 + 8d
【题型1】等差数列的基本运算 题型 】
1 练习：等差数列{a 中 已知a 练习：等差数列 n}中，已知 1= ，a 2 + a 5 =4 3
而
s1 = 4
时
所以上面的通式不适合 n = 1
所以： 所以：
4 ( n = 1) an= 2n 1 (n ≥ 2)
【题型3】求等差数列的通项公式 题型 】
练习：设等差数列{ 的前n项和公式是 练习：设等差数列 an}的前 项和公式是 S n = 5n 2 + 3n 的前
求它的通项公式__________ 求它的通项公式 a n = 10n 2
4.在数列 {a }中，若 a1 = 1 ，a n +1 = a n + 2( n ≥ 1) ，则
n
2n 1 该数列的通项 a n = __________
5、已知等差数列{an}。若a10 = 30，a20 = 50 已知等差数列{ 30，
Sn=242, 求 n
n = 11
四、归纳小结 主要内容： 主要内容：
②
( ① + ② 得： a 1 + a 20 ) + (a 2 + a 19 ) + (a 3 + a 18 ) = 54
∵a1+ a 20 = a 2 + a19 = a 3 + a18
∴ 3(a 1 + a 20 ) = 54
20 ( a 1 + a 20 ) 20 * 18 = = 180 ∴ (a 1 + a 20 ) = 18 ∴s 20 = 2 2
{a n } ，若 n + m = p + q
则:
an + am = a p + aq
3．若数列 ． 那么 Sk 是等差数列， 是其前n项的和 项的和， {a n }是等差数列， S n 是其前 项的和， k ∈ N ， S S ， S 3k S 2 k 成公差为 n 2 d 2k k
*
的等差数列.。 的等差数列 。
2
一、知识要点
[等差数列的性质] 等差数列的性质] 1．等差数列任意两项间的关系：如果 a n 是等差数列 ．等差数列任意两项间的关系： 的第n项 是等差数列的第m项 公差为d， 的第 项， a m 是等差数列的第 项，公差为 ，则有
a n = a m + ( n m) d
2 ．对于等差数列 对于等差 等差数列
解：当
n≥2
2
时
a n =s n s n1= (5n +3n) 5(n 1) +3(n 1) = 10n 2
2
[
]
当 所以
n =1 时
a1 = 8
，s 1 = 8
a n = 10n 2
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型4】等差数列性质的灵活应用 题型 】
例题：已知等差数列 例题：已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 5+ a 8 解：由等差数列性质易知： 由等差数列性质易知：
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型5】等差数列的判定与证明 题型 】
练习：已知数列 练习：已知数列{an}的通项公式 a n = pn +3n ( p ∈ R ) 的通项公式
2
当
是等差数列。 满足什么条件时，数列{ p 满足什么条件时，数列 an}是等差数列。 是等差数列
an+1an=[ p(n+1) +3(n+1) ] ( pn +3n) = 2pn+ p+3
五、作业布置
1、已知等差数列{an}，若a5 = 3，求 已知等差数列{ 3，
S9
2、课本
p 53 第五题
再 见
三、实战训练（答案） 实战训练（答案）
1、(2006年广东卷 已知等差数列共有 项，其中奇数项 、 年广东卷)已知等差数列共有 年广东卷 已知等差数列共有10项 之和15，偶数项之和为30，则其公差是( 之和 ，偶数项之和为 ，则其公差是 C ) A.5 解： B.4 C. 3 D.2
等差数列复习课 等差数列复习课
(第一课时 第一课时) 第一课时
一、知识要点
[等差数列的定义] 等差数列的定义] 如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第 项起，每一项与前一项的差 等 项起 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 [等差数列的判定方法] 等差数列的判定方法] 1、定义法：对于数列 {a n }，若 a n +1 a n = d (常数)，则 定义法： 常数) 是等差数列。 数列 {a n } 是等差数列。 2．等差中项：对于数列 {a n } ，若 2 an +1 = an + an + 2 则 等差中项： 是等差数列。 数列 {a n } 是等差数列。
练习：等差数列 练习：等差数列{an}中, a1 + a2 + a3 = 24, a18 + a19 + a20 = 78 中 则此数列前20项的和等于 项的和等于（ 则此数列前 项的和等于（ B ） A.160 B.180 C.200 ① D.220
解： 1 + a 2 + a 3 = a
24
a 18 + a 19 + a 20 = 78
n (a1 + a = 2
)
n ( n 1) S 2、 n = na 1 + 2 d 、
一、知识要点
[等差中项] 等差中项] 成等差数列，那么A叫做 叫做a与 的等 如果 a， A ，b 成等差数列，那么 叫做 与b的等 ， 差中项。 差中项。即： A = a + b 或 2 A = a + b
本节课主要复习了等差数列的概念、 本节课主要复习了等差数列的概念、等差数 列的通项公式与前n项和公式 项和公式， 列的通项公式与前 项和公式，以及一些相 关的性质
应当掌握： 应当掌握：
1、基本方法：掌握等差数列通项公式和前n 、基本方法：掌握等差数列通项公式和前 项和公式； 项和公式； 2、利用性质：掌握等差数列的重要性质； 、利用性质：掌握等差数列的重要性质； 掌握一些比较有效的技巧； 掌握一些比较有效的技巧；
a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 15
a 2 + a 4 + a 6 + a8 + a10 = 30
(1)
(2)
(2) (1) : (a2 a1) + (a4 a3 ) + (a6 a5 ) + (a8 a7 ) + (a10a9 ) = 15
∴ 5d = 15
∴d = 3
由 a n = a1 + (n 1)d 得 995 =100 + 5（n-1） 即 n =180 （ ）
180(100 + 995) S 180= = 98550 2
所以在三位正整数的集合中5的倍数有 所以在三位正整数的集合中 的倍数有180个，它 的倍数有 个 们的和是98550 们的和是
【题型2】等差数列的前 项和 题型 】等差数列的前n项和
项和S9等于 （ C ） 等于 A.18 B.27 C.36 D.4 5
解： ∵a 1 + a 9 = a 2 + a 8 =
8
9(a 1 + a 9 ) 9 * 8 ∴s 9 = = = 36 2 2
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型5】等差数列的判定与证明 题型 】
例题： 是等差数列,b 例题：已知数列 { an } 是等差数列 n= 3an + 4，证明 ， 是等差数列。 数列 { bn } 是等差数列。
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算 题型 】
例题：等差数列 例题：等差数列{an}中，若a2 = 10，a6 = 26 ，求 中 ，
a14
解：法一 由已知可得， 由已知可得，a1 + d = 10 … ① ②-①得：4d = 16 ∴d = 4 ① ∴
a1 + 5d = 26 3 + a10 = a5+ a8
∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a5+ a8）=36 （ ∴ a5+ a8 =18
【题型4】等差数列性质的灵活应用 题型 】
练习：已知等差数列{ 则该数列前9 练习：已知等差数列 an}中,a2+a8=8,则该数列前 中 则该数列前